Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

 

A. Lí thuyết cơ bản

 

1. Công thức Nhị thức Newton

displaystyle {{(a+b)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}=C_{n}^{0}}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}

2. Nhận xét

  • – Trong khai triển displaystyle {{(apm b)}^{n}} có displaystyle n+1 số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau : displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}
  • – Số hạng tổng quát dạng : displaystyle {{T}_{n+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}} và số hạng thứ displaystyle N thì displaystyle k=N-1.
  • – Trong khai triển displaystyle {{(a-b)}^{n}} thì dấu đan nhau nghĩa là displaystyle +, rồi displaystyle -, rồi displaystyle +,…..
  • – Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
  • – Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :

  •                displaystyle {{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+....+C_{n}^{n}xrightarrow{x=1}C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+....+C_{n}^{n}={{2}^{n}}.

    • displaystyle {{(1-x)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}xrightarrow{x=1}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

                        * C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}

                        * C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0

3. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển: displaystyle {{(a+b)}^{0}},{{(a+b)}^{1}},{{(a+b)}^{2}},....,{{(a+b)}^{n}} có thể xếp thành một tam giác gọi

là tam giác PASCAL.

n = 0 :    1                            

n = 1 :     1    1

n = 2 :     1    2    1

n = 3 :    1    3    3    1

n = 4 :    1    4    6    4    1

n = 5 :    1    5    10    10    5    1

n = 6 :    1    6    15    20    15    6    1

n = 7 :    1    7    21    35    35    21    7    1

Hằng đẳng thức PASCAL

 

 

 

B. Bài tập

 

Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

 

A. Phương pháp

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

{{left( a{{x}^{p}}+b{{x}^{q}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{left( a{{x}^{p}} right)}^{n-k}}{{left( b{{x}^{q}} right)}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}{{x}^{np-pk+qk}}}

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:

Số hạng chứa {{x}^{m}} ứng với giá trị k thỏa: np-pk+qk=m.

Từ đó tìm k=frac{m-np}{p-q}

Vậy hệ số của số hạng chứa {{x}^{m}} là: C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}} với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc k>n thì trong khai triển không chứa {{x}^{m}}, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa {{x}^{m}} trong khai triển

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  25 mẫu nhà phố có garage để xe đẹp nhiều người ưa chuộng năm 2021 2022 | Mytranshop.com

Pleft( x right)={{left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{n}}được viết dưới dạng{{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}.

Ta làm như sau:

* Viết Pleft( x right)={{left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{k}}};

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng {{left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{k}} thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của {{x}^{m}}.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số {{a}_{k}} theo k và n;

* Giải bất phương trình {{a}_{k-1}}le {{a}_{k}} với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Trong khai triển {{left( 2a-b right)}^{5}}, hệ số của số hạng thứ3bằng:

A. -80.                    B. 80.                   C. -10.                    D. 10.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: {{left( 2a-b right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{left( 2a right)}^{5}}-C_{5}^{1}{{left( 2a right)}^{4}}b+C_{5}^{2}{{left( 2a right)}^{3}}{{b}^{2}}+...

Do đó hệ số của số hạng thứ3bằngC_{5}^{2}.8=80.

Ví dụ 2: Trong khai triển {{left( 3{{x}^{2}}-y right)}^{10}}, hệ số của số hạng chính giữa là:

A. {{3}^{4}}.C_{10}^{4}.                 B. -{{3}^{4}}.C_{10}^{4}.             C. {{3}^{5}}.C_{10}^{5}.             D. -{{3}^{5}}.C_{10}^{5}.

Lời giải:

Chọn D.

Trong khai triển {{left( 3{{x}^{2}}-y right)}^{10}}có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}.

Ví dụ 3: Trong khai triển {{left( x+frac{2}{sqrt[{}]{x}} right)}^{6}}, hệ số của {{x}^{3}},left( x>0 right) là:

A. 60.                       B. 80.                       C. 160.                    D. 240.

Lời giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-frac{1}{2}k}}

Yêu cầu bài toán xảy ra khi 6-k-frac{1}{2}k=3Leftrightarrow k=3.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Nhôm (Al), trắc nghiệm hóa học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Khi đó hệ số của {{x}^{3}} là:C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160.

Ví dụ 4: Tìm hệ số của {{x}^{7}} trong khai triển biểu thức sau:
g(x)={{(1+x)}^{7}}+{{(1-x)}^{8}}+{{(2+x)}^{9}}

    A. 29                    B. 30                        C. 31                         D. 32

Lời giải:

Chọn A.

Hệ số của {{x}^{7}}trong khai triển {{(1+x)}^{7}}=sumlimits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}} là : C_{7}^{7}=1

Hệ số của {{x}^{7}}trong khai triển {{(1-x)}^{8}}=sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}} là : C_{8}^{7}{{(-1)}^{7}}=-8

Hệ số của {{x}^{7}}trong khai triển {{(1+x)}^{9}}=sumlimits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}} là : C_{7}^{9}=36.

Vậy hệ số chứa {{x}^{7}} trong khai triển g(x) thành đa thức là: 29.

Chú ý:

* Với ane 0 ta có: {{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}} với nin mathbb{N}.

* Với age 0 ta có: sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{frac{m}{n}}} với m,nin mathbb{N};nge 1.    

Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa {{x}^{8}} trong khai triển nhị thức Niutơn của {{left( frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt{{{x}^{5}}} right)}^{n}} biết C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right).

    A. 495                      B. 313                      C. 1303                        D. 13129

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right)Leftrightarrow left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} right)-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right)

        Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7left( n+3 right)Leftrightarrow frac{left( n+2 right)left( n+3 right)}{2!}=7left( n+3 right)

        Leftrightarrow n+2=7.2!=14Leftrightarrow n=12.

Khi đó: {{left( frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt{{{x}^{5}}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{left( {{x}^{-3}} right)}^{k}}.{{left( {{x}^{frac{5}{2}}} right)}^{12-k}}}=sumlimits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{frac{60-11k}{2}}}}.

Số hạng chứa {{x}^{8}} ứng với k thỏa: frac{60-11k}{2}=8Leftrightarrow k=4.

Do đó hệ số của số hạng chứa {{x}^{8}} là: C_{12}^{4}=frac{12!}{4!left( 12-4 right)!}=495.

Ví dụ 6: Xác định hệ số của {{x}^{8}} trong các khai triển sau:f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}

    A. 37845                       B. 14131                    C. 324234                     D. 131239

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: f(x)=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{10}{sumlimits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}

Số hạng chứa {{x}^{8}} ứng với cặp (k,j) thỏa: left{ begin{array}{l}0le jle kle 10\j=2k-12end{array} right.

Nên hệ số của {{x}^{8}} là:

C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845

 

Dạng 2. Tính tổng sumlimits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}C_{n}^{k}}{{b}^{k}}

A. Phương pháp

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

{{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+{{a}^{n-1}}bC_{n}^{1}+{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{b}^{n}}C_{n}^{n}.

Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Tại Sao Môi Bị Thâm 2022 | Mytranshop.com

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}

C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}

sumlimits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}}=0

sumlimits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}}=frac{1}{2}sumlimits_{k=0}^{2n}{C_{2n}^{k}}

sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}={{(1+a)}^{n}}.

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

B. Bài tập ví dụ    

Ví dụ 1: Tính các tổng sau:

    a) {{S}_{1}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}.

    b) {{S}_{2}}={{3}^{10}}C_{10}^{0}-{{3}^{9}}C_{10}^{1}+...-{{3.2}^{9}}C_{10}^{9}+{{2}^{10}}C_{10}^{10}.

    c) {{S}_{3}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}.

Lời giải:

    a) Ta có: {{left( a+b right)}^{7}}=C_{7}^{0}{{a}^{7}}+C_{7}^{1}{{a}^{6}}b+C_{7}^{2}{{a}^{5}}{{b}^{2}}+C_{7}^{3}{{a}^{4}}{{b}^{3}}+C_{7}^{4}{{a}^{3}}{{b}^{4}}+C_{7}^{5}{{a}^{2}}{{b}^{5}}+C_{7}^{6}a{{b}^{6}}+C_{7}^{7}{{b}^{7}}

    Chọn a=1,,b=2 ta được {{left( 1+2 right)}^{7}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}.

    Vậy {{S}_{1}}={{3}^{7}}.

    b) Ta có: {{left( a-b right)}^{10}}=C_{10}^{0}{{a}^{10}}-C_{10}^{1}{{a}^{9}}b+C_{10}^{2}{{a}^{8}}{{b}^{2}}-...-C_{10}^{9}a{{b}^{9}}+C_{10}^{10}{{b}^{10}}.

    Chọn a=3,,b=2 ta được: {{S}_{2}}=1.

    c) Ta có:

{{left( x+1 right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}+C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}+...+C_{15}^{14}x+C_{15}^{15}

    Cho x=1 ta được: displaystyle {{2}^{15}}=C_{15}^{0}+C_{15}^{1}+C_{15}^{2}+...+C_{15}^{14}+C_{15}^{15} (1)

{{left( x-1 right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}-C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}-...+C_{15}^{14}x-C_{15}^{15}

    Cho x=1 ta được: displaystyle 0=C_{15}^{0}-C_{15}^{1}+C_{15}^{2}-...+C_{15}^{14}-C_{15}^{15} (2)

    Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:

    {{2}^{15}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}.

Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho: C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243

    A. 4                        B. 11                        C. 12                         D. 5

Lời giải:

Chọn D.

Xét khai triển: {{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}

Cho x=2 ta có: C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}={{3}^{n}}

Do vậy ta suy ra {{3}^{n}}=243={{3}^{5}}Rightarrow n=5.

Ví dụ 3: Tính tổng {{left( C_{n}^{0} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{1} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{2} right)}^{2}}+...+{{left( C_{n}^{n} right)}^{2}}    

    A. C_{2n}^{n}                     B. C_{2n}^{n-1}                   C. 2C_{2n}^{n}                        D. C_{2n-1}^{n-1}

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:{{left( x+1 right)}^{n}}{{left( 1+x right)}^{n}}={{left( x+1 right)}^{2n}}.

Vế trái của hệ thức trên chính là:

left( C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+...+C_{n}^{n} right)left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+...+C_{n}^{n}{{x}^{n}} right)

Và ta thấy hệ số của {{x}^{n}} trong vế trái là

{{left( C_{n}^{0} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{1} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{2} right)}^{2}}+...+{{left( C_{n}^{n} right)}^{2}}

Còn hệ số của {{x}^{n}} trong vế phải {{left( x+1 right)}^{2n}} là C_{2n}^{n}

Do đó {{left( C_{n}^{0} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{1} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{2} right)}^{2}}+...+{{left( C_{n}^{n} right)}^{2}}=C_{2n}^{n}

 

Leave a Comment