Nhị thức Newton, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

Mục lục

A. Lí thuyết cơ bản
B. Bài tập

A. Lí thuyết cơ bản

1. Công thức Nhị thức Newton

$displaystyle {{(a+b)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}=C_{n}^{0}}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$

2. Nhận xét

– Trong khai triển $displaystyle {{(apm b)}^{n}}$ có $displaystyle n+1$ số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau : $displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
– Số hạng tổng quát dạng : $displaystyle {{T}_{n+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$ và số hạng thứ $displaystyle N$ thì $displaystyle k=N-1$ .
– Trong khai triển $displaystyle {{(a-b)}^{n}}$ thì dấu đan nhau nghĩa là $displaystyle +$ , rồi $displaystyle -$ , rồi $displaystyle +$ ,…..
– Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.
– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :
.
- $displaystyle {{(1-x)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}xrightarrow{x=1}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+....+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

* $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

* $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

3. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển: $displaystyle {{(a+b)}^{0}},{{(a+b)}^{1}},{{(a+b)}^{2}},....,{{(a+b)}^{n}}$ có thể xếp thành một tam giác gọi

là tam giác PASCAL.

n = 0 : 1

n = 1 : 1 1

n = 2 : 1 2 1

n = 3 : 1 3 3 1

n = 4 : 1 4 6 4 1

n = 5 : 1 5 10 10 5 1

n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1

Hằng đẳng thức PASCAL

B. Bài tập

Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

A. Phương pháp

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

${{left( a{{x}^{p}}+b{{x}^{q}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{left( a{{x}^{p}} right)}^{n-k}}{{left( b{{x}^{q}} right)}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}{{x}^{np-pk+qk}}}$

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:

Số hạng chứa ${{x}^{m}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa: $np-pk+qk=m$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Những mẫu nhà ống chữ l 2 tầng mái bằng hiện đại hot nhất hiện nay - 2022 | Mytranshop.com

Từ đó tìm $k=frac{m-np}{p-q}$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{m}}$ là: $C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}.{{b}^{k}}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên.

Nếu $k$ không nguyên hoặc $k>n$ thì trong khai triển không chứa ${{x}^{m}}$ , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa ${{x}^{m}}$ trong khai triển

$Pleft( x right)={{left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{n}}$ được viết dưới dạng ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}$ .

Ta làm như sau:

* Viết $Pleft( x right)={{left( a+b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{k}}}$ ;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng ${{left( b{{x}^{p}}+c{{x}^{q}} right)}^{k}}$ thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${{x}^{m}}$ .

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ${{a}_{k}}$ theo $k$ và $n$ ;

* Giải bất phương trình ${{a}_{k-1}}le {{a}_{k}}$ với ẩn số $k$ ;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Trong khai triển ${{left( 2a-b right)}^{5}}$ , hệ số của số hạng thứ $3$ bằng:

A. $-80$ . B. $80$ . C. $-10$ . D. $10$ .

Lời giải:

Chọn B.

Ta có: ${{left( 2a-b right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{left( 2a right)}^{5}}-C_{5}^{1}{{left( 2a right)}^{4}}b+C_{5}^{2}{{left( 2a right)}^{3}}{{b}^{2}}+...$

Do đó hệ số của số hạng thứ $3$ bằng $C_{5}^{2}.8=80$ .

Ví dụ 2: Trong khai triển ${{left( 3{{x}^{2}}-y right)}^{10}}$ , hệ số của số hạng chính giữa là:

A. ${{3}^{4}}.C_{10}^{4}$ . B. $-{{3}^{4}}.C_{10}^{4}$ . C. ${{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ . D. $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ .

Lời giải:

Chọn D.

Trong khai triển ${{left( 3{{x}^{2}}-y right)}^{10}}$ có tất cả $11$ số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ $6$ .

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là $-{{3}^{5}}.C_{10}^{5}$ .

Ví dụ 3: Trong khai triển ${{left( x+frac{2}{sqrt[{}]{x}} right)}^{6}}$ , hệ số của ${{x}^{3}},left( x>0 right)$ là:

A. $60$ . B. $80$ . C. $160$ . D. $240$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 10 tư thế sai của các bài tập Gym cần khắc phục ngay 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}.{{x}^{6-k}}{{2}^{k}}.{{x}^{-frac{1}{2}k}}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi $6-k-frac{1}{2}k=3Leftrightarrow k=3$ .

Khi đó hệ số của ${{x}^{3}}$ là: $C_{6}^{3}{{.2}^{3}}=160$ .

Ví dụ 4: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức sau:
$g(x)={{(1+x)}^{7}}+{{(1-x)}^{8}}+{{(2+x)}^{9}}$

A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

Lời giải:

Chọn A.

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{7}}=sumlimits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{7}=1$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1-x)}^{8}}=sumlimits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{(-1)}^{k}}{{x}^{k}}}$ là : $C_{8}^{7}{{(-1)}^{7}}=-8$

Hệ số của ${{x}^{7}}$ trong khai triển ${{(1+x)}^{9}}=sumlimits_{k=0}^{9}{C_{9}^{k}{{x}^{k}}}$ là : $C_{7}^{9}=36$ .

Vậy hệ số chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển $g(x)$ thành đa thức là: $29$ .

Chú ý:

* Với $ane 0$ ta có: ${{a}^{-n}}=frac{1}{{{a}^{n}}}$ với $nin mathbb{N}$ .

* Với $age 0$ ta có: $sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{frac{m}{n}}}$ với $m,nin mathbb{N};nge 1$ .

Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${{left( frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt{{{x}^{5}}} right)}^{n}}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right)$ .

A. 495 B. 313 C. 1303 D. 13129

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right)Leftrightarrow left( C_{n+3}^{n}+C_{n+3}^{n+1} right)-C_{n+3}^{n}=7left( n+3 right)$

$Leftrightarrow C_{n+3}^{n+1}=7left( n+3 right)Leftrightarrow frac{left( n+2 right)left( n+3 right)}{2!}=7left( n+3 right)$

$Leftrightarrow n+2=7.2!=14Leftrightarrow n=12$ .

Khi đó: ${{left( frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt{{{x}^{5}}} right)}^{n}}=sumlimits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{left( {{x}^{-3}} right)}^{k}}.{{left( {{x}^{frac{5}{2}}} right)}^{12-k}}}=sumlimits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{x}^{frac{60-11k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với $k$ thỏa: $frac{60-11k}{2}=8Leftrightarrow k=4$ .

Do đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{8}}$ là: $C_{12}^{4}=frac{12!}{4!left( 12-4 right)!}=495$ .

Ví dụ 6: Xác định hệ số của ${{x}^{8}}$ trong các khai triển sau: $f(x)={{(1+x+2{{x}^{2}})}^{10}}$

A. 37845 B. 14131 C. 324234 D. 131239

Lời giải:

Chọn A.

Ta có: $f(x)=sumlimits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(2{{x}^{2}})}^{10-k}}{{(1+x)}^{k}}}=sumlimits_{k=0}^{10}{sumlimits_{j=0}^{k}{C_{10}^{k}C_{k}^{j}{{.2}^{10-k}}{{x}^{20-2k+j}}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{8}}$ ứng với cặp $(k,j)$ thỏa: $left{ begin{array}{l}0le jle kle 10\j=2k-12end{array} right.$

Nên hệ số của ${{x}^{8}}$ là:

$C_{10}^{6}C_{6}^{0}{{.2}^{4}}+C_{10}^{7}C_{7}^{2}{{2}^{3}}+C_{10}^{8}C_{8}^{4}{{2}^{2}}+C_{10}^{9}C_{9}^{6}2+C_{10}^{10}C_{10}^{8}=37845$

Dạng 2. Tính tổng $sumlimits_{k=0}^{n}{{{a}_{k}}C_{n}^{k}}{{b}^{k}}$

A. Phương pháp

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Mẫu biệt thự 3 tầng kiểu Pháp của Mr. Hùng tại Hải Phòng 2022 | Mytranshop.com

${{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+{{a}^{n-1}}bC_{n}^{1}+{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{b}^{n}}C_{n}^{n}$ .

Ta chọn những giá trị $a,b$ thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

* $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}$

* $sumlimits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}}=0$

* $sumlimits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}}=sumlimits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}}=frac{1}{2}sumlimits_{k=0}^{2n}{C_{2n}^{k}}$

* $sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}={{(1+a)}^{n}}$ .

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa $k$ ) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tính các tổng sau:

a) ${{S}_{1}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}$ .

b) ${{S}_{2}}={{3}^{10}}C_{10}^{0}-{{3}^{9}}C_{10}^{1}+...-{{3.2}^{9}}C_{10}^{9}+{{2}^{10}}C_{10}^{10}$ .

c) ${{S}_{3}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: ${{left( a+b right)}^{7}}=C_{7}^{0}{{a}^{7}}+C_{7}^{1}{{a}^{6}}b+C_{7}^{2}{{a}^{5}}{{b}^{2}}+C_{7}^{3}{{a}^{4}}{{b}^{3}}+C_{7}^{4}{{a}^{3}}{{b}^{4}}+C_{7}^{5}{{a}^{2}}{{b}^{5}}+C_{7}^{6}a{{b}^{6}}+C_{7}^{7}{{b}^{7}}$

Chọn $a=1,,b=2$ ta được ${{left( 1+2 right)}^{7}}=C_{7}^{0}+2C_{7}^{1}+4C_{7}^{2}+8C_{7}^{3}+16C_{7}^{4}+32C_{7}^{5}+64C_{7}^{6}+128C_{7}^{7}$ .

Vậy ${{S}_{1}}={{3}^{7}}$ .

b) Ta có: ${{left( a-b right)}^{10}}=C_{10}^{0}{{a}^{10}}-C_{10}^{1}{{a}^{9}}b+C_{10}^{2}{{a}^{8}}{{b}^{2}}-...-C_{10}^{9}a{{b}^{9}}+C_{10}^{10}{{b}^{10}}$ .

Chọn $a=3,,b=2$ ta được: ${{S}_{2}}=1$ .

c) Ta có:

${{left( x+1 right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}+C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}+...+C_{15}^{14}x+C_{15}^{15}$

Cho $x=1$ ta được: $displaystyle {{2}^{15}}=C_{15}^{0}+C_{15}^{1}+C_{15}^{2}+...+C_{15}^{14}+C_{15}^{15}$ (1)

${{left( x-1 right)}^{15}}=C_{15}^{0}{{x}^{15}}-C_{15}^{1}{{x}^{14}}+C_{15}^{2}{{x}^{13}}-...+C_{15}^{14}x-C_{15}^{15}$

Cho $x=1$ ta được: $displaystyle 0=C_{15}^{0}-C_{15}^{1}+C_{15}^{2}-...+C_{15}^{14}-C_{15}^{15}$ (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta được:

${{2}^{15}}=C_{15}^{0}{{2}^{16}}+C_{15}^{2}{{2}^{14}}+C_{15}^{4}{{2}^{12}}+C_{15}^{6}{{2}^{10}}+C_{15}^{8}{{2}^{8}}+C_{15}^{10}{{2}^{6}}+C_{15}^{12}{{2}^{4}}+C_{15}^{14}{{2}^{2}}$ .

Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243$

A. 4 B. 11 C. 12 D. 5

Lời giải:

Chọn D.

Xét khai triển: ${{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$

Cho $x=2$ ta có: $C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}={{3}^{n}}$

Do vậy ta suy ra ${{3}^{n}}=243={{3}^{5}}Rightarrow n=5$ .

Ví dụ 3: Tính tổng ${{left( C_{n}^{0} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{1} right)}^{2}}+{{left( C_{n}^{2} right)}^{2}}+...+{{left( C_{n}^{n} right)}^{2}}$