Phép đối xứng tâm, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

by

 

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Cho điểm displaystyle I. Phép biến hình biến điểm displaystyle I thành chính nó và biến mỗi điểm displaystyle Mkhác displaystyle I thành điểm displaystyle M' sao cho displaystyle I là trung điểm của displaystyle MM' được gọi là phép đối xứng tâm displaystyle I.

Phép đối xứng tâm displaystyle I được kí hiệu là .

Vậy 

Nếu  thì displaystyle I được gọi là tâm đối xứng của hình displaystyle left( H right).

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

Trong mặt phẳng displaystyle Oxy cho displaystyle Ileft( a;b right), displaystyle Mleft( x;y right), gọi displaystyle M'left( x';y' right) là ảnh của displaystyle M qua phép đối xứng tâm displaystyle I thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=2a-x\y'=2b-yend{array} right.

3. Tính chất phép đối xứng tâm.

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.

– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm.

Ví dụ 1. Cho điểm displaystyle Ileft( 1;1 right)và đường thẳng displaystyle d:x+2y+3=0. Tìm ảnh của displaystyle d qua phép đối xứng tâm displaystyle I.

   Lời giải:

Cách 1. Lấy điểm displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow x+2y+3=0text{ }left( * right)

Gọi  thì displaystyle left{ begin{array}{l}x'=2-x\y'=2-yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=2-x'\y=2-y'end{array} right..

Thay vào displaystyle left( * right) ta được displaystyle left( 2-x' right)+2left( 2-y' right)+3=0Leftrightarrow x'+2y'-9=0

Vậy ảnh của displaystyle d là đường thẳng displaystyle d':x+2y-3=0.

Cách 2. Gọi displaystyle d' là ảnh của displaystyle d qua phép đối xứng tâm displaystyle I, thì displaystyle d' song song hoặc trùng với displaystyle d nên phương trình displaystyle d' có dạng displaystyle x+2y+c=0.

Lấy displaystyle Nleft( -3;0 right)in d, gọi  thì displaystyle N'left( 5;2 right).

Lại có displaystyle N'in d'Rightarrow 5+2.2+c=0Leftrightarrow c=-9.

Vậy displaystyle d':x+2y-3=0.

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng displaystyle d:x-2y+6=0 và displaystyle d':x-2y-10=0. Tìm phép đối xứng tâm displaystyle I biến displaystyle dthành displaystyle d' và biến trục displaystyle Ox thành chính nó.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Lượng thủy ngân trong nhiệt kế có nhiều không? Xử lý nhiệt kế vỡ thế nào? 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Tọa độ giao điểm của displaystyle d,d' với displaystyle Ox lần lượt là displaystyle Aleft( -6;0 right) và displaystyle Bleft( 10;0 right).

Do phép đối xứng tâm biến displaystyle d thành displaystyle d' và biến trục displaystyle Ox thành chính nó nên biến giao điểm displaystyle A của displaystyle d với displaystyle Ox thành giao điểm displaystyle A' của displaystyle d' với displaystyle Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của displaystyle AA'. Vậy tâm đỗi xứng là displaystyle Ileft( 2;0 right).

Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH.

Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đường cong displaystyle left( C right)có phương trình displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3.

Lời giải:

Lấy điểm displaystyle Mleft( x;y right)in left( C right)Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2text{ }left( * right)

Gọi displaystyle Ileft( a;b right) là tâm đối xứng của displaystyle left( C right) và displaystyle M'left( x';y' right) là ảnh của displaystyle M qua phép đối xứng tâm displaystyle I. Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}x'=2a-x\y'=2b-yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=2a-x'\y=2b-y'end{array} right.

Thay vào displaystyle left( * right) ta được displaystyle 2b-y'={{left( 2a-x' right)}^{3}}-3{{left( 2a-x' right)}^{2}}+3

displaystyle Leftrightarrow y'=x{{'}^{3}}-3x{{'}^{2}}+3+(6-6a)x{{'}^{2}}+left( 12{{a}^{2}}-12a right)x'-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b+6text{ }left( * right)

Mặt khác displaystyle M'in left( C right) nên displaystyle y'=x{{'}^{3}}-3x{{'}^{2}}+3 do đó

 displaystyle left( * right)displaystyle Leftrightarrow displaystyle (6-6a)x{{'}^{2}}+left( 12{{a}^{2}}-12a right)x'-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b-6text{ }=0,forall x'displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}6-6a=0\12{{a}^{2}}-12a=0\-8{{a}^{3}}+12{{a}^{2}}+2b-6=0end{array} right.displaystyle Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=1\b=1end{array} right..

Vậy displaystyle Ileft( 1;1 right) là tâm đối xứng của displaystyle left( C right).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành.

Lời giải:

 

Giả sử tứ giác displaystyle ABCD có tâm đối xứng là displaystyle I. Vì qua phép biến hình đỉnh của một đa giác cũng được biến thành đỉnh của đa giác nên đỉnh displaystyle A có thể được biến thành displaystyle A,B,C hay displaystyle D.

Vậy displaystyle A được biến thành displaystyle C, lí luận tương tự thì displaystyle B chỉ được biến thành displaystyle D, vì vậy displaystyle I là trung điểm của hai đường chéo displaystyle AC và displaystyle BD nên tứ giác displaystyle ABCD phải là hình bình hành.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay  nào đó.

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}} và hai điểm displaystyle A,G không thuộc displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}. Hãy dựng tam giác displaystyle ABC có trọng tâm displaystyle G và hai đỉnh displaystyle B,C lần lượt thuộc displaystyle {{d}_{1}} và displaystyle {{d}_{2}}.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Phòng tập gym Hatha Fitness & Yoga, Bến Vân Đồn, Quận 4 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dượng được tam giác displaystyle ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi displaystyle I là trung điểm của displaystyle BC thì  mà displaystyle Cin {{d}_{2}} nên displaystyle Bin {{d}_{2}}' với displaystyle {{d}_{2}}' là ảnh của displaystyle d qua phép đối xứng tâm displaystyle I. Lại có displaystyle Bin {{d}_{1}}Rightarrow B={{d}_{1}}cap {{d}_{2}}'.

Cách dựng:

+ Dựng điểm displaystyle I sao cho displaystyle overrightarrow{AI}=frac{3}{2}overrightarrow{AG}

+ Dựng đường thẳng displaystyle {{d}_{2}}' ảnh của displaystyle {{d}_{2}} qua 

+ Gọi displaystyle B={{d}_{1}}cap {{d}_{2}}'

+ Dựng điểm 

Tam giác displaystyle ABC là tam giác phải dựng.

Chứng minh:

Dựa vào cách dựng ta có displaystyle Ilà trung điểm của displaystyle BCvà displaystyle overrightarrow{AI}=frac{3}{2}overrightarrow{AG} nên displaystyle G là trọng tâm của tam giác displaystyle ABC.

Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của displaystyle {{d}_{1}} và displaystyle {{d}_{2}}'.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right)cắt nhau tại hai điểm displaystyle A,B vá số displaystyle a>0. Dựng đường thẳng displaystyle d đi qua displaystyle A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng displaystyle a.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường thẳng displaystyle d cắt displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right) tại displaystyle M,M' sao cho displaystyle AM-AM'=a( giả sử displaystyle AM>AM').

Xét phép đối xứng 

Gọi , displaystyle H,Klần lượt là trung điểm của displaystyle AN và displaystyle AM, khi đó displaystyle H{{O}_{1}}bot AM và displaystyle OKbot AM. Gọi displaystyle I là hình chiếu của displaystyle O trên displaystyle {{O}_{1}}H, ta có displaystyle OIparallel =KH, mặt khác displaystyle KH=KA-HA

displaystyle =frac{AM-AN}{2}=frac{AM-AM'}{2}=frac{a}{2}nên displaystyle OI=frac{a}{2}. Vậy điểm displaystyle I thuộc đường tròn tâm displaystyle O bán kính displaystyle r=frac{a}{2}.

 

 Mặt khác displaystyle I thuộc đường tròn đường kính displaystyle O{{O}_{1}} nên displaystyle I là giao điểm của đường tròn đường kính displaystyle O{{O}_{1}} với đường tròndisplaystyle left( O;frac{a}{2} right)do đó displaystyle I xác định và displaystyle d là đường thẳng đi qua displaystyle A và song song với displaystyle OI.

Cách dựng:

+ Dựng displaystyle left( {{O}_{1}} right) ảnh của displaystyle left( O right) qua .

+ Dựng đường tròn đường kính displaystyle O{{O}_{1}}.

+ Dựng đường tròn displaystyle left( O;frac{a}{2} right), và dựng giao điểm displaystyle I của đường tròn đường kính displaystyle O{{O}_{1}} với đường tròndisplaystyle left( O;frac{a}{2} right).

+ Từ displaystyle A dựng đường thẳng displaystyle dparallel OI cắt displaystyle left( O right)tại displaystyle M và cắt displaystyle left( O' right) tại displaystyle M' thì displaystyle d là đường thẳng cần dựng.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Vai trò và đặc điểm của công nghiệp. Các nhân tố ảnh hưởng tới phát triển và phân bố công nghiệp 2022 | Mytranshop.com

Chứng minh:

Gọi displaystyle H,K lần lượt là trung điểm của displaystyle AN,AM ta có displaystyle KH=OI=frac{a}{2}.

Mà displaystyle KH=AK-AH=frac{AM}{2}-frac{AN}{2}=frac{AM-AM'}{2}Rightarrow AM-AM'=a.

Biện luận : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn displaystyle left( O;frac{a}{2} right) và đường tròn đường kính displaystyle O{{O}_{1}}.

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Ví dụ 1. Cho tam giác displaystyle ABC và đường tròn displaystyle left( O right). Trên displaystyle AB lấy điểm displaystyle E sao cho displaystyle BE=2AE, displaystyle F là trung điểm của displaystyle AC và displaystyle I là đỉnh thứ tư của hình bình hành displaystyle AEIF. Với mỗi điểm displaystyle P trên đường tròn displaystyle left( O right), ta dựng điểm displaystyle Q sao cho displaystyle overrightarrow{PA}+2overrightarrow{PB}+3overrightarrow{PC}=6overrightarrow{IQ}. Tìm tập hợp điểm displaystyle Q khi displaystyle P thay đổi trên displaystyle left( O right)

Lời giải:

Gọi displaystyle K là điểm xác định bởi displaystyle overrightarrow{KA}+2overrightarrow{KB}+3overrightarrow{KC}=overrightarrow{0}.

Khi đó:

displaystyle begin{array}{l}overrightarrow{KA}+2left( overrightarrow{KA}+overrightarrow{AB} right)\+3left( overrightarrow{KA}+overrightarrow{AC} right)=overrightarrow{0}\Leftrightarrow overrightarrow{AK}=frac{1}{3}overrightarrow{AB}+frac{1}{2}overrightarrow{AC}end{array}

Mặt khác displaystyle AEIF là hình bình hành nên displaystyle overrightarrow{AI}=overrightarrow{AE}+overrightarrow{AF}=frac{1}{3}overrightarrow{AB}+frac{1}{2}overrightarrow{AC} nên displaystyle Kequiv I.

Từ giả thiết suy ra displaystyle 6overrightarrow{PK}+left( overrightarrow{KA}+2overrightarrow{KB}+3overrightarrow{KC} right)=6overrightarrow{IQ}Leftrightarrow overrightarrow{PK}=overrightarrow{IQ}, hay displaystyle overrightarrow{PI}=overrightarrow{IQ}.

Vậy  , mà displaystyle P di động trên đường tròn displaystyle left( O right) nên displaystyle Q di động trên đường tròn displaystyle left( O' right), ảnh của đường tròn displaystyle left( O right) qua phép đối xứng tâm displaystyle I.

Ví dụ 2. Cho đường tròn displaystyle left( O right) và dây cung displaystyle AB cố định, displaystyle M là một điểm di động trên displaystyle left( O right), displaystyle M không trùng với displaystyle A,B. Hai đường tròn displaystyle left( {{O}_{1}} right),left( {{O}_{2}} right) cùng đi qua displaystyle M và tiếp xúc với displaystyle AB tại displaystyle A và displaystyle B. Gọi displaystyle N là giao điểm thứ hai của displaystyle left( {{O}_{1}} right) và displaystyle left( {{O}_{2}} right). Tìm tập hợp điểm displaystyle N khi displaystyle M di động.

Lời giải:

Gọi displaystyle I=MNcap AB, ta có displaystyle I{{A}^{2}}=IM.INtext{ }left( 1 right)

Tương tự displaystyle I{{B}^{2}}=IM.INtext{ }left( 2 right).

Từ displaystyle left( 1 right) và displaystyle left( 2 right) suy ra displaystyle IA=IB nên displaystyle I là trung điểm của displaystyle AB.

Gọi displaystyle P là giao điểm thứ hai của displaystyle MN với đường tròn displaystyle left( O right).

Dễ thấy displaystyle {{P}_{I/left( O right)}}=-IM.IP=-IA.IB=-I{{A}^{2}}

Do đó displaystyle -IM.IN=-IM.IPRightarrow IN=IP vậy displaystyle I là trung điểm của displaystyle NP do đó , mà displaystyle P di động trên đường tròn displaystyle left( O right) nên displaystyle N di động trên đường tròn displaystyle left( O' right)ảnh của đường tròn displaystyle left( O right) qua phép đối xứng tâm displaystyle I.

Vậy tập hợp điểm displaystyle N là đường tròn displaystyle left( O' right)ảnh của đường tròn displaystyle left( O right) qua phép đối xứng tâm displaystyle I.

Leave a Comment