Phép tịnh tiến, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $displaystyle M$ thành điểm $displaystyle M'$ sao cho $displaystyle overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ .

Phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ được kí hiệu là $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

Vậy thì $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M'Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}$ .

Nhận xét: $displaystyle {{T}_{overrightarrow{0}}}left( M right)=M$ .

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng $displaystyle Oxy$ cho điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ và $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ .

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'-x=a\y'-y=bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.text{ }left( * right)$

Hệ $displaystyle left( * right)$ được gọi là biểu thức tọa độ của $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

3. Tính chất của phép tịnh tiến

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $displaystyle ABC$ , dựng ảnh của tam giác $displaystyle ABC$ qua phép tịnh tiến theo vec tơ $displaystyle overrightarrow{BC}$ .

Lời giải:

Ta có $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( B right)=C$ .

Để tìm ảnh của điểm $displaystyle A$ ta dựng hình bình hành $displaystyle ABCD$ . Do $displaystyle overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}$ nên $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( A right)=D$ , gọi $displaystyle E$ là điểm đối xứng với $displaystyle B$ qua $displaystyle C$ , khi đó $displaystyle overrightarrow{CE}=overrightarrow{BC}$

Suy ra $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( C right)=E$ . Vậy ảnh của tam giác $displaystyle ABC$ là tam giác $displaystyle DCE$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho $displaystyle overrightarrow{v}=left( -2;3 right)$ . Hãy tìm ảnh của các điểm $displaystyle Aleft( 1;-1 right),Bleft( 4;3 right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ .

Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.$ .

Gọi $displaystyle A'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( A right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=1+(-2)\y'=-1+3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=-1\y'=2end{array} right.Rightarrow A'left( -1;2 right)$ .

Tương tự ta có ảnh của $displaystyle B$ là điểm $displaystyle B'left( 2;6 right)$ .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho $displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-3 right)$ và đường thẳng $displaystyle d$ có phương trình $displaystyle 2x-3y+5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $displaystyle d'$ là ảnh của $displaystyle d$ qua phép tịnh tiến $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

A. $displaystyle d':2x-y-6=0$ .	B. $displaystyle d':x-y-6=0$ .
C. $displaystyle d':2x-y+6=0$ .	D. $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc $displaystyle d$ , ta có $displaystyle 2x-3y+5=0text{ }left( * right)$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Top Điểm Chạy Bộ Ở Gò Vấp, Hồ Chí Minh 2022 | Mytranshop.com

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+1\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-1\y=y'+3end{array} right.$

Thay vào (*) ta được phương trình $displaystyle 2left( x'-1 right)-3left( y'+3 right)+5=0Leftrightarrow 2x'-3y'-6=0$ .

Vậy ảnh của $displaystyle d$ là đường thẳng $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do $displaystyle d'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)$ nên $displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $displaystyle d$ , vì vậy phương trình đường thẳng $displaystyle d'$ có dạng $displaystyle 2x-3y+c=0$ .(**)

Lấy điểm $displaystyle Mleft( -1;1 right)in d$ . Khi đó $displaystyle M'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=left( -1+1;1-3 right)=left( 0;-2 right)$ .

Do $displaystyle M'in d'Rightarrow 2.0-3.left( -2 right)+c=0Leftrightarrow c=-6$

Vậy ảnh của $displaystyle d$ là đường thẳng $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 3. Để viết phương trình $displaystyle d'$ ta lấy hai điểm phân biệt $displaystyle M,N$ thuộc $displaystyle d$ , tìm tọa độ các ảnh $displaystyle M',N'$ tương ứng của chúng qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ . Khi đó $displaystyle d'$ đi qua hai điểm $displaystyle M'$ và $displaystyle N'$ .

Cụ thể: Lấy $displaystyle Mleft( -1;1 right),Nleft( 2;3 right)$ thuộc $displaystyle d$ , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là $displaystyle M'left( 0;-2 right),N'left( 3;0 right)$ . Do $displaystyle d'$ đi qua hai điểm $displaystyle M',N'$ nên có phương trình $displaystyle frac{x-0}{3}=frac{y+2}{2}Leftrightarrow 2x-3y-6=0$ .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho đường tròn $displaystyle left( C right)$ có phương trình $displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ . Tìm ảnh của $displaystyle left( C right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right)$ .

A. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+2y-7=0$ .	B. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-7=0$ .
C. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .	D. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-8=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc đường tròn $displaystyle left( C right)$ , ta có $displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0text{ }left( * right)$

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+2\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-2\y=y'+3end{array} right.$

Thay vào phương trình (*) ta được $displaystyle begin{array}{l}{{left( x'-2 right)}^{2}}+{{left( y'+3 right)}^{2}}+2left( x'-2 right)-4left( y'+3 right)-4=0\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}-2x'+2y'-7=0end{array}$ .

Vậy ảnh của $displaystyle left( C right)$ là đường tròn $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy $displaystyle left( C right)$ có tâm $displaystyle Ileft( -1;2 right)$ và bán kính $displaystyle r=3$ . Gọi $displaystyle left( C' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( C right) right)$ và $displaystyle I'left( x';y' right);r'$ là tâm và bán kính của $displaystyle (C')$ .

Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-1+2=1\y'=2-3=-1end{array} right.Rightarrow I'left( 1;-1 right)$ và $displaystyle r'=r=3$ nên phương trình của đường tròn $displaystyle left( C' right)$ là $displaystyle {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=9$

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $displaystyle overrightarrow{v}$ . Để tìm tọa độ của $displaystyle overrightarrow{v}$ ta có thể giả sử $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $displaystyle a,b$ và giải hệ tìm $displaystyle a,b$ .

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ ,cho đường thẳng $displaystyle d:3x+y-9=0$ . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ $displaystyle overrightarrow{v}$ có giá song song với $displaystyle Oy$ biến $displaystyle d$ thành $displaystyle d'$ đi qua điểm $displaystyle Aleft( 1;1 right)$ .

A. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;5 right)$ .	B. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-5 right)$ .
C. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right)$ .	D. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right)$ .

Lời giải:

$displaystyle overrightarrow{v}$ có giá song song với $displaystyle Oy$ nên $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;k right)left( kne 0 right)$

Lấy $displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow 3x+y-9=0text{ }left( * right)$ . Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x\y'=y+kend{array} right.$ thay vào $displaystyle left( * right)Rightarrow 3x'+y'-k-9=0$

Hay $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d':3x+y-k-9=0$ , mà $displaystyle d$ đi qua $displaystyle Aleft( 1;1 right)Rightarrow k=-5$ .

Vậy $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right)$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho đường hai thẳng $displaystyle d:2x-3y+3=0$ và $displaystyle d':2x-3y-5=0$ . Tìm tọa độ $displaystyle overrightarrow{v}$ có phương vuông góc với $displaystyle d$ để $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d'$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Top 12 loại thuốc trị sẹo vết thương hở tốt nhất hiện nay 2022 | Mytranshop.com

A. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{6}{13};frac{4}{13} right)$ .	B. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{1}{13};frac{2}{13} right)$ .
C. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};-frac{24}{13} right)$ .	D. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right)$ .

Lời giải:

Đặt $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ , lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc $displaystyle d$ , ta có $displaystyle d:2x-3y+3=0text{ }left( * right)$

Gọi sử $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)$ .Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-a\y=y'-bend{array} right.$ , thay vào (*) ta được phương trình $displaystyle 2x'-3y'-2a+3b+3=0$ .

Từ giả thiết suy ra $displaystyle -2a+3b+3=-5Leftrightarrow 2a-3b=-8$ .

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $displaystyle d$ là $displaystyle overrightarrow{n}=left( 2;-3 right)$ suy ra VTCP $displaystyle overrightarrow{u}=left( 3;2 right)$ .

Do $displaystyle overrightarrow{v}bot overrightarrow{u}Rightarrow overrightarrow{v}.overrightarrow{u}=3a+2b=0$ .

Ta có hệ phương trình $displaystyle left{ begin{array}{l}2a-3b=-8\3a+2b=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=-frac{16}{13}\b=frac{24}{13}end{array} right.$ .Vậy $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right)$ .

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm $displaystyle M$ ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $displaystyle M$ là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( N right)=M$ và $displaystyle Nin left( H right)$ thì $displaystyle Min left( H' right)$ trong đó $displaystyle left( H' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( H right) right)$ và kết hợp với $displaystyle M$ thuộc hình $displaystyle left( K right)$

(trong giả thiết) suy ra $displaystyle Min left( H' right)cap left( K right)$ .

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $displaystyle O$ , bán kính $displaystyle R$ và hai điểm phân biệt $displaystyle C,D$ nằm ngoài $displaystyle left( O right)$ . Hãy dựng dây cung $displaystyle AB$ của đường tròn $displaystyle left( O right)$ sao cho $displaystyle ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung $displaystyle AB$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do $displaystyle ABCD$ là hình bình hành nên $displaystyle overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$
$displaystyle Rightarrow {{T}_{overrightarrow{CD}}}left( A right)=B$ .

Nhưng $displaystyle Ain left( O right)Rightarrow Bin left( O' right)={{T}_{overrightarrow{DC}}}left( left( O right) right)$ . Vậy $displaystyle B$ vừa thuộc $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ nên $displaystyle B$ chính là giao điểm của $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ .

Cách dựng:

– Dựng đường tròn $displaystyle left( O' right)$ là ảnh của đường tròn $displaystyle left( O right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}$ .

– Dựng giao điểm $displaystyle B$ của $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ .

– Dựng đường thẳng qua $displaystyle B$ và song song với $displaystyle CD$ cắt $displaystyle left( O right)$ tại $displaystyle A$ .

Dây cung $displaystyle AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có $displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}left( A right)=BRightarrow overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Biện luận:

– Nếu $displaystyle CD>2R$ thì bài toán vô nghiệm .

– Nếu $displaystyle CD=2R$ thì có một nghiệm .

– Nếu $displaystyle CD<2R$ thì có hai nghiệm.

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ . Dựng đường thẳng $displaystyle d$ song song với $displaystyle BC$ , cắt hai cạnh $displaystyle AB,AC$ lần lượt tại $displaystyle M,N$ sao cho $displaystyle AM=CN$ .

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $displaystyle d$ thỏa mãn bài toán. Từ $displaystyle M$ dựng đường thẳng song song với $displaystyle AC$ cắt $displaystyle BC$ tại $displaystyle P$ , khi đó $displaystyle MNCP$ là hình bình hành nên $displaystyle CN=PM$ . Lại có $displaystyle AM=CN$ suy ra $displaystyle MP=MA$ , từ đó ta có $displaystyle AP$ là phân giác trong của góc $displaystyle A$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Mê mẩn cùng mẫu nhà ống 2 tầng 500 triệu đồng ở Phú Thọ 2022 | Mytranshop.com

Cách dựng:

– Dựng phân giác trong $displaystyle AP$ của góc $displaystyle A$ .

– Dựng đường thẳng đi qua $displaystyle P$ song song với $displaystyle AC$ cắt $displaystyle AB$ tại $displaystyle M$ .

– Dựng ảnh $displaystyle N={{T}_{overrightarrow{PM}}}left( C right)$ .

Đường thẳng $displaystyle MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh:
Từ cách dựng ta có $displaystyle MNCP$ là hình bình hành suy ra $displaystyle MNparallel BC$ và $displaystyle CN=PM$ , ta có $widehat{MAP}text{= }widehat{CAP}=widehat{APM}Rightarrow Delta MAP$ cân tại $displaystyle M$ $displaystyle Rightarrow AM=MP$ .

Vậy $displaystyle AM=CN$ .

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn $displaystyle left( {{O}_{1}} right)$ và $displaystyle left( {{O}_{2}} right)$ cắt nhau tại $displaystyle A,B$ . Dựng đường thẳng $displaystyle d$ đi qua $displaystyle A$ cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai $displaystyle M,N$ sao cho $displaystyle MN=2l$ cho trước.

Lời giải:

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M'$ và đểm $displaystyle M$ di động trên hình $displaystyle left( H right)$ thì điểm $displaystyle M'$ thuộc hình $displaystyle left( H' right)$ , trong đó $displaystyle left( H' right)$ là ảnh của hình $displaystyle left( H right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt $displaystyle B,C$ cố định trên đường tròn $displaystyle left( O right)$ tâm $displaystyle O$ . Điểm $displaystyle A$ di động trên $displaystyle left( O right)$ . Chứng minh khi $displaystyle A$ di động trên $displaystyle left( O right)$ thì trực tâm của tam giác $displaystyle ABC$ di động trên một đường tròn.

Lời giải:

Gọi $displaystyle H$ là trực tâm của tam giác $displaystyle ABC$ và $displaystyle M$ là trung điểm của $displaystyle BC$ . Tia $displaystyle BO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$ tại $displaystyle D$ . Vì $displaystyle widehat{BCD}={{90}^{0}}$ , nên $displaystyle DCparallel AH$ . Tương tự $displaystyle ADparallel CH$ , do đó $displaystyle ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $displaystyle overrightarrow{AH}=overrightarrow{DC}=2overrightarrow{OM}$ không đổi.

$displaystyle Rightarrow {{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( A right)=H$ , vì vậy khi $displaystyle A$ di động trên dường tròn $displaystyle left( O right)$ thì $displaystyle H$ di động trên đường tròn $displaystyle left( O' right)={{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( left( O right) right)$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ có đỉnh $displaystyle A$ cố định, $displaystyle widehat{BAC}=alpha$ không đổi và $displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $displaystyle B,C$ .

Lời giải:

Gọi $displaystyle O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$ , khi đó theo định lí sin ta có $displaystyle frac{BC}{sin alpha }=2R$ không đổi

( do $displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v}$ không đổi).

Vậy $displaystyle OA=R=frac{BC}{2sin alpha }$ , nên $displaystyle O$ di động trên đường tròn tâm $displaystyle A$ bán kính $displaystyle AO=frac{BC}{2sin alpha }$ . Ta có $displaystyle OB=OC=R$ không đổi và $displaystyle widehat{BOC}=2alpha$ không đổi suy ra $displaystyle widehat{OBC}=widehat{OCB}=frac{{{180}^{0}}-2alpha }{2}$ không đổi. Mặt khác $displaystyle overrightarrow{BC}$ có phương không đổi nên $displaystyle overrightarrow{OB},overrightarrow{OC}$ cũng có phương không đổi.

Đặt $displaystyle overrightarrow{OB}=overrightarrow{{{v}_{1}}},overrightarrow{OC}=overrightarrow{{{v}_{2}}}$ không đổi , thì $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}left( O right)=B,{{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}left( O right)=C$ .

Vậy tập hợp điểm $displaystyle B$ là đường tròn $displaystyle left( {{A}_{1}};frac{BC}{2sin alpha } right)$ ảnh của $displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}$ , và tập hợp điểm $displaystyle C$ là đường tròn $displaystyle left( {{A}_{2}};frac{BC}{2sin alpha } right)$ ảnh của $displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}$ .