Phép tịnh tiến, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

 

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ displaystyle overrightarrow{v}. Phép biến hình biến mỗi điểm displaystyle M thành điểm displaystyle M' sao cho displaystyle overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v} được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ displaystyle overrightarrow{v}.

Phép tịnh tiến theo vectơ displaystyle overrightarrow{v} được kí hiệu là displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}

Vậy thì displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M'Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}.

Nhận xét: displaystyle {{T}_{overrightarrow{0}}}left( M right)=M.

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng displaystyle Oxy cho điểm displaystyle Mleft( x;y right) và displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right).

Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'-x=a\y'-y=bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.text{  }left( * right)

Hệ displaystyle left( * right) được gọi là biểu thức tọa độ của displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}.

3. Tính chất của phép tịnh tiến

         – Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

         – Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

         – Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

         – Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

         – Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác displaystyle ABC, dựng ảnh của tam giác displaystyle ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ displaystyle overrightarrow{BC}

Lời giải:

Ta có displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( B right)=C.

Để tìm ảnh của điểm displaystyle A ta dựng hình bình hành displaystyle ABCD. Do displaystyle overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC} nên displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( A right)=D, gọi displaystyle E là điểm đối xứng với displaystyle B qua displaystyle C, khi đó displaystyle overrightarrow{CE}=overrightarrow{BC}

Suy ra displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( C right)=E. Vậy ảnh của tam giác displaystyle ABC là tam giác displaystyle DCE.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy , cho displaystyle overrightarrow{v}=left( -2;3 right). Hãy tìm ảnh của các điểm displaystyle Aleft( 1;-1 right),Bleft( 4;3 right) qua phép tịnh tiến theo vectơ displaystyle overrightarrow{v}.

            Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right. .

Gọi displaystyle A'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( A right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=1+(-2)\y'=-1+3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=-1\y'=2end{array} right.Rightarrow A'left( -1;2 right).

Tương tự ta có ảnh của displaystyle B là điểm displaystyle B'left( 2;6 right).

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy , cho displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-3 right)và đường thẳng displaystyle d có phương trình displaystyle 2x-3y+5=0. Viết phương trình đường thẳng displaystyle d' là ảnh của displaystyle d qua phép tịnh tiếndisplaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}.

A. displaystyle d':2x-y-6=0.  B. displaystyle d':x-y-6=0.
C. displaystyle d':2x-y+6=0  D. displaystyle d':2x-3y-6=0.

             Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm displaystyle Mleft( x;y right) tùy ý thuộc displaystyle d, ta có displaystyle 2x-3y+5=0text{   }left( * right)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  25 mẫu thiết kế phòng ngủ đẹp hiện đại mở rộng không gian 2022 | Mytranshop.com

Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+1\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-1\y=y'+3end{array} right.

Thay vào (*) ta được phương trình displaystyle 2left( x'-1 right)-3left( y'+3 right)+5=0Leftrightarrow 2x'-3y'-6=0.

Vậy ảnh của displaystyle d là đường thẳng displaystyle d':2x-3y-6=0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do displaystyle d'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right) nên displaystyle d' song song hoặc trùng với displaystyle d, vì vậy phương trình đường thẳng displaystyle d' có dạng displaystyle 2x-3y+c=0.(**)

Lấy điểm displaystyle Mleft( -1;1 right)in d. Khi đó displaystyle M'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=left( -1+1;1-3 right)=left( 0;-2 right).

Do displaystyle M'in d'Rightarrow 2.0-3.left( -2 right)+c=0Leftrightarrow c=-6

Vậy ảnh của displaystyle d là đường thẳng displaystyle d':2x-3y-6=0.

Cách 3. Để viết phương trình displaystyle d' ta lấy hai điểm phân biệt displaystyle M,N thuộc displaystyle d, tìm tọa độ các ảnh displaystyle M',N' tương ứng của chúng qua displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}. Khi đó displaystyle d' đi qua hai điểm displaystyle M' và displaystyle N'.

Cụ thể: Lấy displaystyle Mleft( -1;1 right),Nleft( 2;3 right) thuộc displaystyle d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là displaystyle M'left( 0;-2 right),N'left( 3;0 right). Do displaystyle d' đi qua hai điểm displaystyle M',N' nên có phương trình displaystyle frac{x-0}{3}=frac{y+2}{2}Leftrightarrow 2x-3y-6=0.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy , cho đường tròn displaystyle left( C right) có phương trình displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0. Tìm ảnh của displaystyle left( C right) qua phép tịnh tiến theo vectơ displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right).

A. displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+2y-7=0.  B. displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-7=0.
C. displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0.   D. displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-8=0.

              Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm displaystyle Mleft( x;y right) tùy ý thuộc đường tròn displaystyle left( C right), ta có displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0text{  }left( * right)

Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+2\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-2\y=y'+3end{array} right.

Thay vào phương trình (*) ta được displaystyle begin{array}{l}{{left( x'-2 right)}^{2}}+{{left( y'+3 right)}^{2}}+2left( x'-2 right)-4left( y'+3 right)-4=0\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}-2x'+2y'-7=0end{array}.

Vậy ảnh của displaystyle left( C right) là đường tròndisplaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy displaystyle left( C right) có tâm displaystyle Ileft( -1;2 right) và bán kính displaystyle r=3. Gọi displaystyle left( C' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( C right) right) và displaystyle I'left( x';y' right);r' là tâm và bán kính của displaystyle (C').

Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-1+2=1\y'=2-3=-1end{array} right.Rightarrow I'left( 1;-1 right) và displaystyle r'=r=3 nên phương trình của đường tròn displaystyle left( C' right) là displaystyle {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=9

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của displaystyle overrightarrow{v}. Để tìm tọa độ của displaystyle overrightarrow{v} ta có thể giả sử displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right), sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn displaystyle a,b và giải hệ tìm displaystyle a,b.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy,cho đường thẳng displaystyle d:3x+y-9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ displaystyle overrightarrow{v} có giá song song với displaystyle Oy biến displaystyle d thành displaystyle d' đi qua điểm displaystyle Aleft( 1;1 right).

    A. displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;5 right).  B. displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-5 right).
    C. displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right).   D. displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right).

   Lời giải:

displaystyle overrightarrow{v} có giá song song với displaystyle Oy nên displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;k right)left( kne 0 right)

Lấy displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow 3x+y-9=0text{ }left( * right). Gọi displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x\y'=y+kend{array} right. thay vào displaystyle left( * right)Rightarrow 3x'+y'-k-9=0

Hay displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d':3x+y-k-9=0, mà displaystyle d đi qua displaystyle Aleft( 1;1 right)Rightarrow k=-5.

Vậy displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right).

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ displaystyle Oxy , cho đường hai thẳng displaystyle d:2x-3y+3=0 và displaystyle d':2x-3y-5=0. Tìm tọa độ displaystyle overrightarrow{v} có phương vuông góc với displaystyle d để displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d'.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Top thực phẩm, thực phẩm chức năng, sữa tăng cân cho nam nhanh nhất 2022 | Mytranshop.com
    A. displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{6}{13};frac{4}{13} right).  B. displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{1}{13};frac{2}{13} right) .
    C. displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};-frac{24}{13} right) .   D. displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right).

    Lời giải:

Đặt displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right), lấy điểm displaystyle Mleft( x;y right)tùy ý thuộc displaystyle d, ta có displaystyle d:2x-3y+3=0text{ }left( * right)

Gọi sử displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right).Ta có displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-a\y=y'-bend{array} right., thay vào (*) ta được phương trình displaystyle 2x'-3y'-2a+3b+3=0.

Từ giả thiết suy ra displaystyle -2a+3b+3=-5Leftrightarrow 2a-3b=-8.

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng displaystyle d là displaystyle overrightarrow{n}=left( 2;-3 right)suy ra VTCP displaystyle overrightarrow{u}=left( 3;2 right).

Do displaystyle overrightarrow{v}bot overrightarrow{u}Rightarrow overrightarrow{v}.overrightarrow{u}=3a+2b=0.

Ta có hệ phương trình displaystyle left{ begin{array}{l}2a-3b=-8\3a+2b=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=-frac{16}{13}\b=frac{24}{13}end{array} right..Vậy displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right).

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm displaystyle M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem displaystyle M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( N right)=M và displaystyle Nin left( H right)thì displaystyle Min left( H' right)trong đó displaystyle left( H' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( H right) right) và kết hợp với displaystyle M thuộc hình displaystyle left( K right)

(trong giả thiết) suy ra displaystyle Min left( H' right)cap left( K right).

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm displaystyle O, bán kính displaystyle R và hai điểm phân biệt displaystyle C,D nằm ngoài displaystyle left( O right). Hãy dựng dây cung displaystyle AB của đường tròn displaystyle left( O right) sao cho displaystyle ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung displaystyle AB thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do displaystyle ABCD là hình bình hành nên displaystyle overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}
displaystyle Rightarrow {{T}_{overrightarrow{CD}}}left( A right)=B.

Nhưng displaystyle Ain left( O right)Rightarrow Bin left( O' right)={{T}_{overrightarrow{DC}}}left( left( O right) right). Vậy displaystyle B vừa thuộc displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right) nên displaystyle B chính là giao điểm của displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right).

Cách dựng:

         – Dựng đường tròn displaystyle left( O' right) là ảnh của đường tròn displaystyle left( O right) qua displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}.

         – Dựng giao điểm displaystyle B của displaystyle left( O right) và displaystyle left( O' right).

         – Dựng đường thẳng qua displaystyle B và song song với displaystyle CD cắt displaystyle left( O right) tại displaystyle A.

Dây cung displaystyle AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}left( A right)=BRightarrow overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrow ABCD là hình bình hành.

Biện luận:

          – Nếu displaystyle CD>2R thì bài toán vô nghiệm .

          – Nếu displaystyle CD=2R thì có một nghiệm .

          – Nếu displaystyle CD<2R thì có hai nghiệm.

 Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC. Dựng đường thẳng displaystyle d song song với displaystyle BC, cắt hai cạnh displaystyle AB,AC lần lượt tại displaystyle M,N sao cho displaystyle AM=CN.

Lời giải:

 Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng displaystyle d thỏa mãn bài toán. Từ displaystyle M dựng đường thẳng song song với displaystyle AC cắt displaystyle BC tại displaystyle P, khi đó displaystyle MNCP là hình bình hành nên displaystyle CN=PM. Lại có displaystyle AM=CN suy ra displaystyle MP=MA, từ đó ta có displaystyle AP là phân giác trong của góc displaystyle A.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Chạy bộ tại chỗ có tác dụng gì và có tốt không? 2022 | Mytranshop.com

Cách dựng:

         – Dựng phân giác trong displaystyle AP của góc displaystyle A.

         – Dựng đường thẳng đi qua displaystyle P song song với displaystyle AC cắt displaystyle AB tại displaystyle M.

         – Dựng ảnh displaystyle N={{T}_{overrightarrow{PM}}}left( C right).

Đường thẳng displaystyle MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh:
Từ cách dựng ta có displaystyle MNCP là hình bình hành suy ra displaystyle MNparallel BC và displaystyle CN=PM, ta có widehat{MAP}text{= }widehat{CAP}=widehat{APM}Rightarrow Delta MAP cân tại displaystyle Mdisplaystyle Rightarrow AM=MP.

Vậy displaystyle AM=CN.

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

 Ví dụ 3. Cho hai đường tròn displaystyle left( {{O}_{1}} right) và displaystyle left( {{O}_{2}} right) cắt nhau tại displaystyle A,B. Dựng đường thẳng displaystyle d đi qua displaystyle A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai displaystyle M,N sao cho displaystyle MN=2l cho trước.

Lời giải:

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M' và đểm displaystyle M di động trên hình displaystyle left( H right) thì điểm displaystyle M' thuộc hình displaystyle left( H' right), trong đódisplaystyle left( H' right)là ảnh của hình displaystyle left( H right) qua displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}.

Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt displaystyle B,C cố định trên đường tròn displaystyle left( O right)tâm displaystyle O. Điểm displaystyle A di động trên displaystyle left( O right). Chứng minh khi displaystyle A di động trên displaystyle left( O right) thì trực tâm của tam giác displaystyle ABC di động trên một đường tròn.

Lời giải:

Gọi displaystyle H là trực tâm của tam giác displaystyle ABC và displaystyle M là trung điểm của displaystyle BC. Tia displaystyle BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle ABC tại displaystyle D. Vì displaystyle widehat{BCD}={{90}^{0}}, nên displaystyle DCparallel AH. Tương tự displaystyle ADparallel CH, do đó displaystyle ADCH là hình bình hành.Suy ra displaystyle overrightarrow{AH}=overrightarrow{DC}=2overrightarrow{OM} không đổi.

displaystyle Rightarrow {{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( A right)=H, vì vậy khi displaystyle A di động trên dường tròn displaystyle left( O right) thì displaystyle H di động trên đường tròndisplaystyle left( O' right)={{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( left( O right) right).

Ví dụ 2. Cho tam giác displaystyle ABC có đỉnh displaystyle A cố định, displaystyle widehat{BAC}=alpha  không đổi và displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v}không đổi. Tìm tập hợp các điểm displaystyle B,C.

Lời giải:

Gọi displaystyle O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác displaystyle ABC, khi đó theo định lí sin ta có displaystyle frac{BC}{sin alpha }=2R không đổi

( do displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v} không đổi).

Vậy displaystyle OA=R=frac{BC}{2sin alpha }, nên displaystyle O di động trên đường tròn tâm displaystyle A bán kính displaystyle AO=frac{BC}{2sin alpha }. Ta có displaystyle OB=OC=R không đổi và displaystyle widehat{BOC}=2alpha  không đổi suy ra displaystyle widehat{OBC}=widehat{OCB}=frac{{{180}^{0}}-2alpha }{2} không đổi. Mặt khác displaystyle overrightarrow{BC} có phương không đổi nên displaystyle overrightarrow{OB},overrightarrow{OC} cũng có phương không đổi.

Đặt displaystyle overrightarrow{OB}=overrightarrow{{{v}_{1}}},overrightarrow{OC}=overrightarrow{{{v}_{2}}} không đổi , thì displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}left( O right)=B,{{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}left( O right)=C.

Vậy tập hợp điểm displaystyle B là đường tròn displaystyle left( {{A}_{1}};frac{BC}{2sin alpha } right) ảnh của displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right) qua displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}, và tập hợp điểm displaystyle C là đường tròn displaystyle left( {{A}_{2}};frac{BC}{2sin alpha } right) ảnh của displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right) qua displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}.

Leave a Comment