A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm
thành điểm
sao cho
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
.
Phép tịnh tiến theo vectơ được kí hiệu là
.
Vậy thì .
Nhận xét: .
2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng cho điểm
và
.
Gọi
Hệ được gọi là biểu thức tọa độ của
.
3. Tính chất của phép tịnh tiến
– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
– Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
– Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
B. BÀI TẬP
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Ví dụ 1. Cho tam giác , dựng ảnh của tam giác
qua phép tịnh tiến theo vec tơ
.
Lời giải:
Ta có
.
Để tìm ảnh của điểm ta dựng hình bình hành
. Do
nên
, gọi
là điểm đối xứng với
qua
, khi đó
Suy ra . Vậy ảnh của tam giác
là tam giác
.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ , cho
. Hãy tìm ảnh của các điểm
qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
Lời giải:
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến .
Gọi .
Tương tự ta có ảnh của là điểm
.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ , cho
và đường thẳng
có phương trình
. Viết phương trình đường thẳng
là ảnh của
qua phép tịnh tiến
.
A. |
B. |
C. |
D. |
Lời giải:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Lấy điểm tùy ý thuộc
, ta có
Gọi
Thay vào (*) ta được phương trình .
Vậy ảnh của là đường thẳng
.
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Do nên
song song hoặc trùng với
, vì vậy phương trình đường thẳng
có dạng
.(**)
Lấy điểm . Khi đó
.
Do
Vậy ảnh của là đường thẳng
.
Cách 3. Để viết phương trình ta lấy hai điểm phân biệt
thuộc
, tìm tọa độ các ảnh
tương ứng của chúng qua
. Khi đó
đi qua hai điểm
và
.
Cụ thể: Lấy thuộc
, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là
. Do
đi qua hai điểm
nên có phương trình
.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn
có phương trình
. Tìm ảnh của
qua phép tịnh tiến theo vectơ
.
A. |
B. |
C. |
D. |
Lời giải:
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.
Lấy điểm tùy ý thuộc đường tròn
, ta có
Gọi
Thay vào phương trình (*) ta được .
Vậy ảnh của là đường tròn
.
Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
Dễ thấy có tâm
và bán kính
. Gọi
và
là tâm và bán kính của
.
Ta có và
nên phương trình của đường tròn
là
Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.
Phương pháp:
Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của . Để tìm tọa độ của
ta có thể giả sử
, sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn
và giải hệ tìm
.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ ,cho đường thẳng
. Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ
có giá song song với
biến
thành
đi qua điểm
.
A. |
B. |
C. |
D. |
Lời giải:
có giá song song với
nên
Lấy . Gọi
thay vào
Hay , mà
đi qua
.
Vậy .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường hai thẳng
và
. Tìm tọa độ
có phương vuông góc với
để
.
A. |
B. |
C. |
D. |
Lời giải:
Đặt , lấy điểm
tùy ý thuộc
, ta có
Gọi sử .Ta có
, thay vào (*) ta được phương trình
.
Từ giả thiết suy ra .
Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng là
suy ra VTCP
.
Do .
Ta có hệ phương trình .Vậy
.
Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một điểm ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem
là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.
Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu và
thì
trong đó
và kết hợp với
thuộc hình
(trong giả thiết) suy ra .
Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm , bán kính
và hai điểm phân biệt
nằm ngoài
. Hãy dựng dây cung
của đường tròn
sao cho
là hình bình hành.
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung thỏa mãn yêu cầu bài toán
Do là hình bình hành nên
.
Nhưng . Vậy
vừa thuộc
và
nên
chính là giao điểm của
và
.
Cách dựng:
– Dựng đường tròn là ảnh của đường tròn
qua
.
– Dựng giao điểm của
và
.
– Dựng đường thẳng qua và song song với
cắt
tại
.
Dây cung là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh: Từ cách dựng ta có là hình bình hành.
Biện luận:
– Nếu thì bài toán vô nghiệm .
– Nếu thì có một nghiệm .
– Nếu thì có hai nghiệm.
Ví dụ 2. Cho tam giác . Dựng đường thẳng
song song với
, cắt hai cạnh
lần lượt tại
sao cho
.
Lời giải:
Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng thỏa mãn bài toán. Từ
dựng đường thẳng song song với
cắt
tại
, khi đó
là hình bình hành nên
. Lại có
suy ra
, từ đó ta có
là phân giác trong của góc
.
Cách dựng:
– Dựng phân giác trong của góc
.
– Dựng đường thẳng đi qua song song với
cắt
tại
.
– Dựng ảnh .
Đường thẳng chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Chứng minh:
Từ cách dựng ta có là hình bình hành suy ra
và
, ta có
cân tại
.
Vậy .
Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn và
cắt nhau tại
. Dựng đường thẳng
đi qua
cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai
sao cho
cho trước.
Lời giải:
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp:
Nếu và đểm
di động trên hình
thì điểm
thuộc hình
, trong đó
là ảnh của hình
qua
.
Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt cố định trên đường tròn
tâm
. Điểm
di động trên
. Chứng minh khi
di động trên
thì trực tâm của tam giác
di động trên một đường tròn.
Lời giải:
Gọi là trực tâm của tam giác
và
là trung điểm của
. Tia
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại
. Vì
, nên
. Tương tự
, do đó
là hình bình hành.Suy ra
không đổi.
, vì vậy khi
di động trên dường tròn
thì
di động trên đường tròn
.
Ví dụ 2. Cho tam giác có đỉnh
cố định,
không đổi và
không đổi. Tìm tập hợp các điểm
.
Lời giải:
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
, khi đó theo định lí sin ta có
không đổi
( do không đổi).
Vậy , nên
di động trên đường tròn tâm
bán kính
. Ta có
không đổi và
không đổi suy ra
không đổi. Mặt khác
có phương không đổi nên
cũng có phương không đổi.
Đặt không đổi , thì
.
Vậy tập hợp điểm là đường tròn
ảnh của
qua
, và tập hợp điểm
là đường tròn
ảnh của
qua
.