Phép tịnh tiến, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

Mục lục

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN
B. BÀI TẬP

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $displaystyle M$ thành điểm $displaystyle M'$ sao cho $displaystyle overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ .

Phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ được kí hiệu là $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

Vậy thì $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M'Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}$ .

Nhận xét: $displaystyle {{T}_{overrightarrow{0}}}left( M right)=M$ .

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng $displaystyle Oxy$ cho điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ và $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ .

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Leftrightarrow overrightarrow{MM'}=overrightarrow{v}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'-x=a\y'-y=bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.text{ }left( * right)$

Hệ $displaystyle left( * right)$ được gọi là biểu thức tọa độ của $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

3. Tính chất của phép tịnh tiến

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

– Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

– Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $displaystyle ABC$ , dựng ảnh của tam giác $displaystyle ABC$ qua phép tịnh tiến theo vec tơ $displaystyle overrightarrow{BC}$ .

Lời giải:

Ta có $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( B right)=C$ .

Để tìm ảnh của điểm $displaystyle A$ ta dựng hình bình hành $displaystyle ABCD$ . Do $displaystyle overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}$ nên $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( A right)=D$ , gọi $displaystyle E$ là điểm đối xứng với $displaystyle B$ qua $displaystyle C$ , khi đó $displaystyle overrightarrow{CE}=overrightarrow{BC}$

Suy ra $displaystyle {{T}_{overrightarrow{BC}}}left( C right)=E$ . Vậy ảnh của tam giác $displaystyle ABC$ là tam giác $displaystyle DCE$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho $displaystyle overrightarrow{v}=left( -2;3 right)$ . Hãy tìm ảnh của các điểm $displaystyle Aleft( 1;-1 right),Bleft( 4;3 right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}$ .

Lời giải:

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.$ .

Gọi $displaystyle A'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( A right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=1+(-2)\y'=-1+3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x'=-1\y'=2end{array} right.Rightarrow A'left( -1;2 right)$ .

Tương tự ta có ảnh của $displaystyle B$ là điểm $displaystyle B'left( 2;6 right)$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Giải Quần Vợt ATP 500 Là Gì? ATP World Tour 500 2022 | Mytranshop.com

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho $displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-3 right)$ và đường thẳng $displaystyle d$ có phương trình $displaystyle 2x-3y+5=0$ . Viết phương trình đường thẳng $displaystyle d'$ là ảnh của $displaystyle d$ qua phép tịnh tiến $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

A. $displaystyle d':2x-y-6=0$ .	B. $displaystyle d':x-y-6=0$ .
C. $displaystyle d':2x-y+6=0$ .	D. $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc $displaystyle d$ , ta có $displaystyle 2x-3y+5=0text{ }left( * right)$

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+1\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-1\y=y'+3end{array} right.$

Thay vào (*) ta được phương trình $displaystyle 2left( x'-1 right)-3left( y'+3 right)+5=0Leftrightarrow 2x'-3y'-6=0$ .

Vậy ảnh của $displaystyle d$ là đường thẳng $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do $displaystyle d'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)$ nên $displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $displaystyle d$ , vì vậy phương trình đường thẳng $displaystyle d'$ có dạng $displaystyle 2x-3y+c=0$ .(**)

Lấy điểm $displaystyle Mleft( -1;1 right)in d$ . Khi đó $displaystyle M'={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=left( -1+1;1-3 right)=left( 0;-2 right)$ .

Do $displaystyle M'in d'Rightarrow 2.0-3.left( -2 right)+c=0Leftrightarrow c=-6$

Vậy ảnh của $displaystyle d$ là đường thẳng $displaystyle d':2x-3y-6=0$ .

Cách 3. Để viết phương trình $displaystyle d'$ ta lấy hai điểm phân biệt $displaystyle M,N$ thuộc $displaystyle d$ , tìm tọa độ các ảnh $displaystyle M',N'$ tương ứng của chúng qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ . Khi đó $displaystyle d'$ đi qua hai điểm $displaystyle M'$ và $displaystyle N'$ .

Cụ thể: Lấy $displaystyle Mleft( -1;1 right),Nleft( 2;3 right)$ thuộc $displaystyle d$ , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là $displaystyle M'left( 0;-2 right),N'left( 3;0 right)$ . Do $displaystyle d'$ đi qua hai điểm $displaystyle M',N'$ nên có phương trình $displaystyle frac{x-0}{3}=frac{y+2}{2}Leftrightarrow 2x-3y-6=0$ .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho đường tròn $displaystyle left( C right)$ có phương trình $displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0$ . Tìm ảnh của $displaystyle left( C right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right)$ .

A. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+2y-7=0$ .	B. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-7=0$ .
C. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .	D. $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+y-8=0$ .

Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc đường tròn $displaystyle left( C right)$ , ta có $displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y-4=0text{ }left( * right)$

Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x+2\y'=y-3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-2\y=y'+3end{array} right.$

Thay vào phương trình (*) ta được $displaystyle begin{array}{l}{{left( x'-2 right)}^{2}}+{{left( y'+3 right)}^{2}}+2left( x'-2 right)-4left( y'+3 right)-4=0\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}-2x'+2y'-7=0end{array}$ .

Vậy ảnh của $displaystyle left( C right)$ là đường tròn $displaystyle left( C' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy $displaystyle left( C right)$ có tâm $displaystyle Ileft( -1;2 right)$ và bán kính $displaystyle r=3$ . Gọi $displaystyle left( C' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( C right) right)$ và $displaystyle I'left( x';y' right);r'$ là tâm và bán kính của $displaystyle (C')$ .

Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=-1+2=1\y'=2-3=-1end{array} right.Rightarrow I'left( 1;-1 right)$ và $displaystyle r'=r=3$ nên phương trình của đường tròn $displaystyle left( C' right)$ là $displaystyle {{left( x-1 right)}^{2}}+{{left( y+1 right)}^{2}}=9$

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của $displaystyle overrightarrow{v}$ . Để tìm tọa độ của $displaystyle overrightarrow{v}$ ta có thể giả sử $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn $displaystyle a,b$ và giải hệ tìm $displaystyle a,b$ .

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ ,cho đường thẳng $displaystyle d:3x+y-9=0$ . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ $displaystyle overrightarrow{v}$ có giá song song với $displaystyle Oy$ biến $displaystyle d$ thành $displaystyle d'$ đi qua điểm $displaystyle Aleft( 1;1 right)$ .

A. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;5 right)$ .	B. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 1;-5 right)$ .
C. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 2;-3 right)$ .	D. $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right)$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bảng Tra Kích Thước Ren | Kiến Thức Xây Dựng 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

$displaystyle overrightarrow{v}$ có giá song song với $displaystyle Oy$ nên $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;k right)left( kne 0 right)$

Lấy $displaystyle Mleft( x;y right)in dRightarrow 3x+y-9=0text{ }left( * right)$ . Gọi $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)Rightarrow left{ begin{array}{l}x'=x\y'=y+kend{array} right.$ thay vào $displaystyle left( * right)Rightarrow 3x'+y'-k-9=0$

Hay $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d':3x+y-k-9=0$ , mà $displaystyle d$ đi qua $displaystyle Aleft( 1;1 right)Rightarrow k=-5$ .

Vậy $displaystyle overrightarrow{v}=left( 0;-5 right)$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $displaystyle Oxy$ , cho đường hai thẳng $displaystyle d:2x-3y+3=0$ và $displaystyle d':2x-3y-5=0$ . Tìm tọa độ $displaystyle overrightarrow{v}$ có phương vuông góc với $displaystyle d$ để $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( d right)=d'$ .

A. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{6}{13};frac{4}{13} right)$ .	B. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{1}{13};frac{2}{13} right)$ .
C. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};-frac{24}{13} right)$ .	D. $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right)$ .

Lời giải:

Đặt $displaystyle overrightarrow{v}=left( a;b right)$ , lấy điểm $displaystyle Mleft( x;y right)$ tùy ý thuộc $displaystyle d$ , ta có $displaystyle d:2x-3y+3=0text{ }left( * right)$

Gọi sử $displaystyle M'left( x';y' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)$ .Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}x'=x+a\y'=y+bend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=x'-a\y=y'-bend{array} right.$ , thay vào (*) ta được phương trình $displaystyle 2x'-3y'-2a+3b+3=0$ .

Từ giả thiết suy ra $displaystyle -2a+3b+3=-5Leftrightarrow 2a-3b=-8$ .

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng $displaystyle d$ là $displaystyle overrightarrow{n}=left( 2;-3 right)$ suy ra VTCP $displaystyle overrightarrow{u}=left( 3;2 right)$ .

Do $displaystyle overrightarrow{v}bot overrightarrow{u}Rightarrow overrightarrow{v}.overrightarrow{u}=3a+2b=0$ .

Ta có hệ phương trình $displaystyle left{ begin{array}{l}2a-3b=-8\3a+2b=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=-frac{16}{13}\b=frac{24}{13}end{array} right.$ .Vậy $displaystyle overrightarrow{v}=left( -frac{16}{13};frac{24}{13} right)$ .

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm $displaystyle M$ ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem $displaystyle M$ là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( N right)=M$ và $displaystyle Nin left( H right)$ thì $displaystyle Min left( H' right)$ trong đó $displaystyle left( H' right)={{T}_{overrightarrow{v}}}left( left( H right) right)$ và kết hợp với $displaystyle M$ thuộc hình $displaystyle left( K right)$

(trong giả thiết) suy ra $displaystyle Min left( H' right)cap left( K right)$ .

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm $displaystyle O$ , bán kính $displaystyle R$ và hai điểm phân biệt $displaystyle C,D$ nằm ngoài $displaystyle left( O right)$ . Hãy dựng dây cung $displaystyle AB$ của đường tròn $displaystyle left( O right)$ sao cho $displaystyle ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung $displaystyle AB$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do $displaystyle ABCD$ là hình bình hành nên $displaystyle overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$
$displaystyle Rightarrow {{T}_{overrightarrow{CD}}}left( A right)=B$ .

Nhưng $displaystyle Ain left( O right)Rightarrow Bin left( O' right)={{T}_{overrightarrow{DC}}}left( left( O right) right)$ . Vậy $displaystyle B$ vừa thuộc $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ nên $displaystyle B$ chính là giao điểm của $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ .

Cách dựng:

– Dựng đường tròn $displaystyle left( O' right)$ là ảnh của đường tròn $displaystyle left( O right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}$ .

– Dựng giao điểm $displaystyle B$ của $displaystyle left( O right)$ và $displaystyle left( O' right)$ .

– Dựng đường thẳng qua $displaystyle B$ và song song với $displaystyle CD$ cắt $displaystyle left( O right)$ tại $displaystyle A$ .

Dây cung $displaystyle AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có $displaystyle {{T}_{overrightarrow{DC}}}left( A right)=BRightarrow overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Biện luận:

– Nếu $displaystyle CD>2R$ thì bài toán vô nghiệm .

– Nếu $displaystyle CD=2R$ thì có một nghiệm .

– Nếu $displaystyle CD<2R$ thì có hai nghiệm.

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ . Dựng đường thẳng $displaystyle d$ song song với $displaystyle BC$ , cắt hai cạnh $displaystyle AB,AC$ lần lượt tại $displaystyle M,N$ sao cho $displaystyle AM=CN$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Bí quyết thiết kế mặt tiền Spa đẹp và thu hút khách hàng 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng $displaystyle d$ thỏa mãn bài toán. Từ $displaystyle M$ dựng đường thẳng song song với $displaystyle AC$ cắt $displaystyle BC$ tại $displaystyle P$ , khi đó $displaystyle MNCP$ là hình bình hành nên $displaystyle CN=PM$ . Lại có $displaystyle AM=CN$ suy ra $displaystyle MP=MA$ , từ đó ta có $displaystyle AP$ là phân giác trong của góc $displaystyle A$ .

Cách dựng:

– Dựng phân giác trong $displaystyle AP$ của góc $displaystyle A$ .

– Dựng đường thẳng đi qua $displaystyle P$ song song với $displaystyle AC$ cắt $displaystyle AB$ tại $displaystyle M$ .

– Dựng ảnh $displaystyle N={{T}_{overrightarrow{PM}}}left( C right)$ .

Đường thẳng $displaystyle MN$ chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh:
Từ cách dựng ta có $displaystyle MNCP$ là hình bình hành suy ra $displaystyle MNparallel BC$ và $displaystyle CN=PM$ , ta có $widehat{MAP}text{= }widehat{CAP}=widehat{APM}Rightarrow Delta MAP$ cân tại $displaystyle M$ $displaystyle Rightarrow AM=MP$ .

Vậy $displaystyle AM=CN$ .

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn $displaystyle left( {{O}_{1}} right)$ và $displaystyle left( {{O}_{2}} right)$ cắt nhau tại $displaystyle A,B$ . Dựng đường thẳng $displaystyle d$ đi qua $displaystyle A$ cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai $displaystyle M,N$ sao cho $displaystyle MN=2l$ cho trước.

Lời giải:

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}left( M right)=M'$ và đểm $displaystyle M$ di động trên hình $displaystyle left( H right)$ thì điểm $displaystyle M'$ thuộc hình $displaystyle left( H' right)$ , trong đó $displaystyle left( H' right)$ là ảnh của hình $displaystyle left( H right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{v}}}$ .

Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt $displaystyle B,C$ cố định trên đường tròn $displaystyle left( O right)$ tâm $displaystyle O$ . Điểm $displaystyle A$ di động trên $displaystyle left( O right)$ . Chứng minh khi $displaystyle A$ di động trên $displaystyle left( O right)$ thì trực tâm của tam giác $displaystyle ABC$ di động trên một đường tròn.

Lời giải:

Gọi $displaystyle H$ là trực tâm của tam giác $displaystyle ABC$ và $displaystyle M$ là trung điểm của $displaystyle BC$ . Tia $displaystyle BO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$ tại $displaystyle D$ . Vì $displaystyle widehat{BCD}={{90}^{0}}$ , nên $displaystyle DCparallel AH$ . Tương tự $displaystyle ADparallel CH$ , do đó $displaystyle ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $displaystyle overrightarrow{AH}=overrightarrow{DC}=2overrightarrow{OM}$ không đổi.

$displaystyle Rightarrow {{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( A right)=H$ , vì vậy khi $displaystyle A$ di động trên dường tròn $displaystyle left( O right)$ thì $displaystyle H$ di động trên đường tròn $displaystyle left( O' right)={{T}_{2overrightarrow{OM}}}left( left( O right) right)$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $displaystyle ABC$ có đỉnh $displaystyle A$ cố định, $displaystyle widehat{BAC}=alpha$ không đổi và $displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $displaystyle B,C$ .

Lời giải:

Gọi $displaystyle O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $displaystyle ABC$ , khi đó theo định lí sin ta có $displaystyle frac{BC}{sin alpha }=2R$ không đổi

( do $displaystyle overrightarrow{BC}=overrightarrow{v}$ không đổi).

Vậy $displaystyle OA=R=frac{BC}{2sin alpha }$ , nên $displaystyle O$ di động trên đường tròn tâm $displaystyle A$ bán kính $displaystyle AO=frac{BC}{2sin alpha }$ . Ta có $displaystyle OB=OC=R$ không đổi và $displaystyle widehat{BOC}=2alpha$ không đổi suy ra $displaystyle widehat{OBC}=widehat{OCB}=frac{{{180}^{0}}-2alpha }{2}$ không đổi. Mặt khác $displaystyle overrightarrow{BC}$ có phương không đổi nên $displaystyle overrightarrow{OB},overrightarrow{OC}$ cũng có phương không đổi.

Đặt $displaystyle overrightarrow{OB}=overrightarrow{{{v}_{1}}},overrightarrow{OC}=overrightarrow{{{v}_{2}}}$ không đổi , thì $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}left( O right)=B,{{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}left( O right)=C$ .

Vậy tập hợp điểm $displaystyle B$ là đường tròn $displaystyle left( {{A}_{1}};frac{BC}{2sin alpha } right)$ ảnh của $displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{1}}}}}$ , và tập hợp điểm $displaystyle C$ là đường tròn $displaystyle left( {{A}_{2}};frac{BC}{2sin alpha } right)$ ảnh của $displaystyle left( A,frac{BC}{2sin alpha } right)$ qua $displaystyle {{T}_{overrightarrow{{{v}_{2}}}}}$ .