Phương pháp đổi biến số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản:

Nếu $int{f(u)du}=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$int{f(u(x)).u'(x)dx}=F(u(x))+C$ .

B. Bài tập:

Tính tích phân $I=int{f(x)dx}$

Dạng 1. Đổi biến số loại 1

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ $t=u(x)$ .

+ Bước 2: Tính vi phân $dt=u'(x)dx$ .

+ Bước 3: Biểu thị $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$ . Giả sử rằng $f(x)dx=g(t)dt$ .

+ Bước 4: Tính $I=int{g(t)dt}$ .

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $sqrt[n]{g(x)}$ thì đặt $t=sqrt[n]{g(x)}Leftrightarrow {{t}^{n}}=g(x)Rightarrow n.{{t}^{n-1}}dt=g'(x)dx$

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa ${{(ax+b)}^{n}}$ thì đặt $t=ax+bRightarrow left{ begin{array}{l}dt=adx\x=frac{t-b}{a}end{array} right.$

– Hàm lượng giác:

Nếu gặp $int{f(sin }x).cos xdx$ thì đặt $t=sin x$ .

Nếu gặp $int{f(cos x).sin }xdx$ thì đặt $t=cos x$ .

Nếu gặp $int{f(tan x)frac{dx}{{{cos }^{2}}x}}$ thì đặt $t=tan x$ .

Nếu gặp $int{f(cot x)frac{dx}{{{sin }^{2}}x}}$ thì đặt $t=cot x$ .

– Biểu thức có chứa logarit:

Thường gặp biểu thức có chứa $frac{1}{x}$ và $ln x$ . Khi đó đặt $t=ln x$ hoặc $t=$ biểu thức có chứa $ln x$ .

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $I=int{frac{ln xdx}{xsqrt{1+ln x}}}$ .

b) $I=int{frac{dx}{sqrt{{{e}^{x}}-1}}}$ .

c) $I=int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}$ .

Lời giải:

a) Đặt $t=sqrt{1+ln x}Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+ln xRightarrow ln x={{t}^{2}}-1Leftrightarrow frac{dx}{x}=2tdt$ .

$Rightarrow I=int{frac{({{t}^{2}}-1).2tdt}{t}}=2int{({{t}^{2}}-1)dt}=2left( frac{{{t}^{3}}}{3}-t right)+C$ $=2left( frac{sqrt{{{(1+ln x)}^{3}}}}{3}-sqrt{1+ln x} right)+C$ .

b) $I=int{frac{dx}{sqrt{{{e}^{x}}-1}}}$

Đặt $t=sqrt{{{e}^{x}}-1}Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}-1Leftrightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}-1Rightarrow {{e}^{x}}dx=2tdt$ .

$begin{array}{l}Rightarrow I=int{frac{2tdt}{t({{t}^{2}}-1)}=int{frac{2dt}{{{t}^{2}}-1}=int{frac{2dt}{(t-1)(t+1)}=int{frac{dt}{t-1}-int{frac{dt}{t+1}}}}}}\=ln |t-1|-ln |t+1|+C=ln left| frac{t-1}{t+1} right|+C=ln left| frac{sqrt{{{e}^{x}}-1}-1}{sqrt{{{e}^{x}}-1}+1} right|+Cend{array}$

c) $I=int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}$

Đặt $t=3x+1Rightarrow x=frac{t-1}{3}Rightarrow dx=frac{dt}{3}$ .

$Rightarrow I=int{frac{t-1}{3}.{{t}^{19}}.3.dt}=int{({{t}^{20}}-{{t}^{19}})dt}=frac{{{t}^{21}}}{21}-frac{{{t}^{20}}}{20}+C$ $=frac{{{(3x+1)}^{21}}}{21}-frac{{{(3x+1)}^{20}}}{20}+C$ .

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Cho $f(x)=frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2sqrt{{{x}^{2}}+1}+5)$ , biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=6$ . Tính $Fleft( frac{3}{4} right)$ .

A. $frac{125}{16}$ . B. $frac{126}{16}$ . C. $frac{123}{16}$ . D. $frac{127}{16}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Từ trường, trắc nghiệm vật lý lớp 11 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt $t=sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow tdt=xdx$ .

$int{f(x)dx}=int{frac{x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2sqrt{{{x}^{2}}+1}+5)dx}=int{(2t+5)dt}$ $={{t}^{2}}+5t+C=({{x}^{2}}+1)+5sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$

$F(0)=6Rightarrow C=0$ .

Vậy $Fleft( frac{3}{4} right)=frac{125}{16}$ .

Dạng 2. Đổi biến số loại 2

A. Phương pháp

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ $x=u(t)$ .

+ Bước 2: Tính vi phân $dx=u'(t)dt$ .

+ Bước 3: Biểu thị $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$ . Giả sử rằng $f(x)dx=g(t)dt$ .

+ Bước 4: Tính $I=int{g(t)dt}$ .

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ thì đặt:

$x=asin tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(asin t)=acos t.dt\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}=acos tend{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa $sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ thì đặt:

$displaystyle x=atan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(atan t)=frac{adt}{{{cos }^{2}}t}=a(1+{{tan }^{2}}t)dt\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{tan }^{2}}t}=frac{|a|}{cos t}end{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa $sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ thì đặt:

$x=frac{a}{sin t}Rightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(frac{a}{sin t})=-frac{acos t.dt}{{{sin }^{2}}t}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{sin }^{2}}t}-{{a}^{2}}}=frac{|a|}{cot t}end{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa ${{(1+{{x}^{2}})}^{k}}$ thì đặt:

$x=tan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}\{{(1+{{x}^{2}})}^{k}}={{(1+{{tan }^{2}}x)}^{k}}=frac{1}{{{cos }^{2k}}t}end{array} right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) $I=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$ . b) $I=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}$ .

c) $I=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}$ . d) $I=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}$ .

Lời giải:

a) $I=int{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$ .

Đặt $x=sin t,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=d(sin t)=cos tdt$ .

$Rightarrow I=int{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}}cos tdt=int{cos t.cos tdt}=int{frac{1+cos 2t}{2}}dt$

$=frac{1}{2}int{dt}+frac{1}{2}int{cos 2tdt}=frac{t}{2}+frac{1}{4}sin 2t+C$ .

Từ $x=sin tRightarrow left{ begin{array}{l}cos t=sqrt{1-{{sin }^{2}}t}=sqrt{1-{{x}^{2}}}\t=arcsin xend{array} right.$ $Rightarrow sin 2t=2sin t.cos t=2xsqrt{1-{{x}^{2}}}$ .

$Rightarrow I=frac{arcsin x}{2}+frac{1}{2}xsqrt{1-{{x}^{2}}}+C$ .

b) $I=int{{{x}^{2}}sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}$

Đặt $x=3sin t,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=d(3sin t)=3cos tdt$ .

$Rightarrow I=int{9{{sin }^{2}}t.3cos t.3cos tdt}=frac{81}{4}int{{{sin }^{2}}2tdt}=frac{81}{4}int{frac{1-cos 4t}{2}}dt$

$=frac{81}{4}left[ frac{1}{2}int{dt}-frac{1}{2}int{cos 4tdt} right]=frac{81}{4}left( frac{t}{2}-frac{1}{8}sin 4t right)+C$ với $t=arcsin frac{x}{3}$ .

c) $I=int{frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}$

Đặt $displaystyle x=tan t,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)Rightarrow dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}=(1+{{tan }^{2}}t)dt$ .

$Rightarrow int{frac{(1+{{tan }^{2}}t)dt}{1+{{tan }^{2}}t}=int{dt}=t+C=arctan x+C}$ .

d) $I=int{sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}=int{sqrt{{{(x+1)}^{2}}+4}d(x+1)}$

Đặt $x+1=2tan t,,tin left( -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right)Rightarrow dt=d(2tan t)=frac{2dt}{{{cos }^{2}}t}$ .

$Rightarrow I=int{frac{2dt}{frac{2}{cos t}.{{cos }^{2}}t}=int{frac{dt}{cos t}}}=int{frac{cos t}{{{cos }^{2}}t}dt}=int{frac{d(sin t)}{1-{{sin }^{2}}t}}$

$=frac{1}{2}int{frac{(1+sin t)+(1-sin t)}{(1+sin t)(1-sin t)}d(sin t)}$ $=frac{1}{2}int{frac{d(sin t)}{1-sin t}+frac{1}{2}int{frac{d(sin t)}{1+sin t}=frac{1}{2}ln left| frac{1+sin t}{1-sin t} right|+C}}$

Phương pháp đổi biến số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

A. Lý thuyết cơ bản:

B. Bài tập:

Dạng 1. Đổi biến số loại 1

Dạng 2. Đổi biến số loại 2

Leave a Comment Cancel reply