A. Lý thuyết cơ bản:
Nếu và
là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
.
B. Bài tập:
Tính tích phân
Dạng 1. Đổi biến số loại 1
Ta làm theo các bước sau:
+ Bước 1: Chọn ẩn phụ .
+ Bước 2: Tính vi phân .
+ Bước 3: Biểu thị và
theo
và
. Giả sử rằng
.
+ Bước 4: Tính .
– Nếu hàm số có chứa
thì đặt
– Nếu hàm số có chứa
thì đặt
– Hàm lượng giác:
Nếu gặp thì đặt
.
Nếu gặp thì đặt
.
Nếu gặp thì đặt
.
Nếu gặp thì đặt
.
– Biểu thức có chứa logarit:
Thường gặp biểu thức có chứa và
. Khi đó đặt
hoặc
biểu thức có chứa
.
Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) .
b) .
c) .
Lời giải:
a) Đặt .
.
b)
Đặt .
c)
Đặt .
.
Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Cho , biết
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
A. . B.
. C.
. D.
.
Lời giải:
Đặt .
.
Vậy .
Dạng 2. Đổi biến số loại 2
A. Phương pháp
Ta làm theo các bước sau:
+ Bước 1: Chọn ẩn phụ .
+ Bước 2: Tính vi phân .
+ Bước 3: Biểu thị và
theo
và
. Giả sử rằng
.
+ Bước 4: Tính .
– Nếu hàm số có chứa
thì đặt:
– Nếu hàm có chứa
thì đặt:
– Nếu hàm có chứa
thì đặt:
– Nếu hàm có chứa
thì đặt:
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a) . b)
.
c) . d)
.
Lời giải:
a) .
Đặt .
.
Từ .
.
b)
Đặt .
với
.
c)
Đặt .
.
d)
Đặt .