I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
A. Phương pháp
-
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
trong đó là các hằng số và là một hàm số lượng giác.
- Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình cho , đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Gọi là tập nghiệm của phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Ta có .
Ta thấy với họ nghiệm , thay ta được .
Chọn B.
Ví dụ 2: Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải:
Ta có
.
Do đó có 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là .
Chọn A.
Ví dụ 3: Phương trình có nghiệm là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
.
Chọn A.
Ví dụ 4: Nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn B.
Ví dụ 5: Giải phương trình .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Ta có:
Chọn C.
Ví dụ 6: Phương trình có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
.
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm .
Chọn B.
II. Phương trình bậc nhất đối với và
A. Phương pháp
- Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với và là phương trình có dạng:
-
Cách giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm: .
Chia hai vế của phương trình cho ta được:
Do nên đặt .
Khi đó phương trình trở thành:
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình . Tìm tất cả các giá trị thực của để phương trình có nghiệm.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
có nghĩa (1)
Phương trình có nghiệm (2)
Từ (1), (2) suy ra không có giá trị nào của để phương trình có nghiệm.
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Chọn D.
Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình là .
Chọn A.
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải:
Trên khoảng phương trình có một nghiệm là .
Chọn B.
Ví dụ 5: Giải phương trình .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Điều kiện:
.
Phương trình
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm .
Chọn B.
Ví dụ 6: Giải phương trình .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Phương trình
Chọn D.
III. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
A. Phương pháp
-
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
trong đó là các hằng số và là một hàm số lượng giác.
- Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này. Cuối cùng đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình thuộc khoảng là?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đặt , phương trình trở thành: .
-
Với ta có: .
Do nên . Vì nên không tồn tại .
-
Với ta có: .
Do nên .
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình có nghiệm là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Điều kiện: (*)
Phương trình
(thỏa mãn điều kiện (*))
Chọn D.
Ví dụ 3: Phương trình có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Phương trình
.
Chọn C.
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm trên khoảng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Phương trình .
Nhận thấy phương trình không có nghiệm trên khoảng . Do đó phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng khi và chỉ khi phương trình có nghiệm thuộc .
Chọn B.
IV. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với và
A. Phương pháp
- Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với và là phương trình có dạng:
-
Cách giải:
- + Kiểm tra xem có là nghiệm của phương trình không.
-
+ Khi , chia hai vế của phương trình cho ta thu được phương trình:
Đây là phương trình bậc hai đối với mà ta đã biết cách giải.
-
Chú ý:
- + Phương trình dạng ta làm như sau:
-
+ Đối với phương trình đẳng cấp bậc ba:
thì cách giải cũng hoàn toàn tương tự như trên.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. không là nghiệm của phương trình.
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho thì ta được phương trình .
C. Nếu chia 2 vế của phương trình cho thì ta được phương trình .
D. Phương trình đã cho tương đương với .
Lời giải:
- Với . Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
-
Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Vậy B đúng.
-
Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Vậy C sai.
-
Phương trình .
Vậy D đúng.
Chọn C.
Ví dụ 2: Phương trình tương đương với phương trình nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
-
Xét , thay vào phương trình ta được: (vô lí).
Do đó không là nghiệm của phương trình.
- Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Chọn D.
Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
Lời giải:
- Xét , thay vào phương trình ta được: (vô lí). Do đó không là nghiệm của phương trình.
- Xét , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
-
+ Với :
Vì
-
+ Với :
Vì
.
Vậy có tất cả 8 nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình sau có nghiệm:
A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.
Lời giải:
- Xét , thay vào phương trình ta được: . Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
- Xét , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
- Nếu ta có: (vô lí).
- Nếu , phương trình (*) có nghiệm .
Vậy thì phương trình đã cho có nghiệm. Do đó có 2 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài.
Cách 2:
Phương trình
Phương trình có nghiệm
Chọn A.
V. Phương trình chứa và
A. Phương pháp
- Định nghĩa: Là phương trình có dạng:
- Cách giải: Đặt (điều kiện ). Biểu diễn theo ta được phương trình cơ bản.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho thỏa mãn phương trình . Tính .
A. hoặc .
B. hoặc .
C. hoặc .
D. .
Lời giải:
Đặt .
Ta có
Phương trình trở thành: .
Với , ta được .
Với , ta được .
Chọn B.
Ví dụ 2: Phương trình có nghiệm là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Phương trình .
Đặt .
.
Phương trình trở thành:
Với ta có:
Chọn D.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình sau có nghiệm:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải:
Đặt .
.
Phương trình trở thành:
Vì
Do đó phương trình có nghiệm
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài.
Chọn C.