A. Lí thuyết cơ bản
1. Quy tắc cộng
Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B.
Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
2. Quy tắc nhân
Định nghĩa:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Công thức quy tắc nhân:
Nếu các tập đôi một rời nhau. Khi đó:
.
B. Bài tập
Dạng 1. Sử dụng các quy tắc để thực hiện bài toán đếm số phương án thực hiện hành động
thỏa mãn tính chất ![T T](http://s0.wp.com/latex.php?latex=T&bg=ffffff&fg=000&s=0)
A. Phương pháp
Cách 1: Đếm trực tiếp
Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
Đếm số phương án thực hiện hành động
(không cần quan tâm đến có thỏa tính chất
hay không) ta được
phương án.
Đếm số phương án thực hiện hành động
không thỏa tính chất
ta được
phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Một lớp học có học sinh nam và
học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra:
a) một học sinh đi dự trại hè của trường.
b) một học sinh nam và một học sinh nữ dự trại hè của trường.
Số cách chọn trong mỗi trường hợp a) và b) lần lượt là:
A. và
. B.
và
. C.
và
. D.
và
.
Lời giải:
Chọn A.
a)
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
- Phương án 1: chọn 1 học sinh nam đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
- Phương án 2: chọn 1 học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có cách chọn.
b)
Bước 1: Với bài toán b thì ta thấy công việc là chọn một học sinh nam và một học sinh nữ.
Do vậy ta có 2 công đoạn.
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các công đoạn.
- Công đoạn 1: Chọn 1 học sinh nam trong số 25 học sinh nam thì có 25 cách chọn.
- Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh nữ trong số 20 học sinh nữ thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân.
Vậy ta có cách chọn.
CHÚ Ý
- Quy tắc cộng: Áp dụng khi công việc có nhiều phương án giải quyết.
- Quy tắc nhân: Áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn.
Ví dụ 2: Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn nhau?
A. 80. B. 60. C. 48. D. 188.
Lời giải:
Chọn D.
Theo quy tắc nhân ta có:
cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Toán khác nhau.
cách chọn một quyển sách Văn và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
cách chọn một quyển sách Toán và một quyển sách Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn 2 quyển sách khác môn là cách.
Nhận xét:
Ta thấy bài toán ở bài toán 2 là sự kết hợp của cả quy tắc cộng và quy tắc nhân khi bài toán vừa
cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước.
Ví dụ 3: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
A. 72 B. 74 C. 76 D. 78
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau ?
A. 40 B. 42 C. 46 D. 70
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau ?
A. 32 B. 30 C. 35 D. 70
Lời giải:
a) Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.
Vậy có : cách.
Chú ý: Sai lầm có thể mắc phải:
Xếp trước bạn nữ, ta được
cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp
bạn học sinh nam (gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng), có
cách xếp như vậy. Do đó có
cách xếp.
Đây là lời giải sai do ta đã tính luôn 2 trường hợp sau:
-
Nam – Nữ – Nữ – Nam – Nữ – Nam: TH này có
cách
-
Nam – Nữ – Nam – Nữ – Nữ – Nam: TH này cũng có
cách
Hai TH này không thỏa mãn yêu cầu đề bài là nam nữ xen kẽ nên lời giải này sai.
b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách. Tiếp đến, chỗ thứ ba có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.
Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó, chỗ thứ nhất có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn.
Tương tự khi cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ năm, thứ năm và thứ sáu.
Vậy có: cách.
c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau.
Vậy có : cách
Dạng 2. Sử dụng các quy tắc để thực hiện bài toán đếm số các số được hình thành từ tập ![A A](http://s0.wp.com/latex.php?latex=A&bg=ffffff&fg=000&s=0)
A. Phương pháp
Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:
* và
.
* là số chẵn
là số chẵn
* là số lẻ
là số lẻ
* chia hết cho
chia hết cho
* chia hết cho
chia hết cho
* chia hết cho
* chia hết cho 6
là số chẵn và chia hết cho
* chia hết cho
chia hết cho
* chia hết cho
chia hết cho
.
* chia hết cho
tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho
.
* chia hết cho
hai chữ số tận cùng là
.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số .
Lời giải:
Gọi .
Cách 1: Tính trực tiếp
Vì là số chẵn nên
.
TH 1: có 1 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 6 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
TH 2: có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn , do
nên ta có 5 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
Vậy có tất cả số cần lập.
Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)
Gọi { số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
}
{ số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
}
{ số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
}
Ta có: .
Dễ dàng tính được: .
Ta đi tính ?
là số lẻ
có 2 cách chọn.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
(vì
)
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có 4 cách chọn
Suy ra
Vậy .
Ví dụ 2: Cho tập
a) Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
A.720 B.261 C.235 D.679
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
A.660 B.432 C.679 D.523
Lời giải:
1. Gọi số cần lập ,
Chọn có 6 cách; chọn
có
Vậy có số.
2. Gọi là số cần lập,
có 1 cách chọn, cách chọn
Trường hợp này có 360 số
có một cách chọn, số cách chọn
Trường hợp này có 300 số
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
A. 3999960 B. 33778933 C. 4859473 D. 3847294
Lời giải:
Chọn A.
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.
Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là :
Vậy tổng các số có 5 chữ số là : .