Tích phân- Phương pháp đổi biến, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

1. Đổi biến số loại 1: $t=t(x)$

A. Phương pháp

Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 1 để tính tích phân $I=int_{a}^{b}{f(x)dx}$ .

+ Bước 1: Đặt $t=t(x)Rightarrow dt=t'(x)dx$ .

Đổi cận:

+ Bước 2: Biến đổi $f(x)dx$ thành g(t)dt.

+ Bước 3: Khi đó $I=int_{t(a)}^{t(b)}{g(t)dt}$ (đơn giản hơn tích phân đã cho).

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $sqrt[n]{g(x)}$ thì đặt:

$t=sqrt[n]{g(x)}Leftrightarrow {{t}^{n}}=g(x)Rightarrow n.{{t}^{n-1}}dt=g'(x)dx$

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa ${{(ax+b)}^{n}}$ thì đặt $t=ax+bRightarrow left{ begin{array}{l}dt=adx\x=frac{t-b}{a}end{array} right.$ .

– Hàm lượng giác:

Nếu gặp $int{f(sin }x).cos xdx$ thì đặt $t=sin x$ .

Nếu gặp $int{f(cos x).sin }xdx$ thì đặt $t=cos x$ .

Nếu gặp $int{f(tan x)frac{dx}{{{cos }^{2}}x}}$ thì đặt $t=tan x$ .

Nếu gặp $int{f(cot x)frac{dx}{{{sin }^{2}}x}}$ thì đặt $t=cot x$ .

– Biểu thức có chứa logarit:

Thường gặp biểu thức có chứa $frac{1}{x}$ và $ln x$ . Khi đó đặt $t=ln x$ hoặc $t=$ biểu thức có chứa $ln x$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho đẳng thức $2sqrt{3}.m-int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx=0}$ . Khi đó $144{{m}^{2}}-1$ bằng

A. $-frac{2}{3}$ . B. $-frac{1}{3}$ . C. $frac{1}{3}$ . D. $frac{2}{3}$ .

Lời giải:

Để tính tích phân $I=int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx}$ ta có thể làm trực tiếp bằng phương pháp vi phân, hoặc dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

Ta có $int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx}=int_{0}^{1}{frac{d({{x}^{4}})}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}=left. left( -frac{1}{{{x}^{4}}+2} right) right|_{0}^{1}}$

$=-frac{1}{3}-(-frac{1}{2})=frac{1}{6}$ .

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Đặt $t={{x}^{4}}+2Rightarrow dt=4{{x}^{3}}dx$ .

Đổi cận: $x=0Rightarrow t=2$ .

$x=1Rightarrow t=3$ .

$Rightarrow I=int_{2}^{3}{frac{dt}{{{t}^{2}}}=-left. frac{1}{t} right|_{2}^{3}=-frac{1}{3}+frac{1}{2}=frac{1}{6}}$ .

Khi đó $2sqrt{3}m-int_{0}^{1}{frac{4{{x}^{3}}}{{{({{x}^{4}}+2)}^{2}}}dx=0Leftrightarrow 2sqrt{3}m-frac{1}{6}=0}$ $Leftrightarrow m=frac{sqrt{3}}{36}Leftrightarrow 144{{m}^{2}}-1=-frac{2}{3}$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.2: Cho biết $displaystyle intlimits_{-1}^{5}{fleft( x right)text{d}x}=15$ . Tính giá trị của $P=intlimits_{0}^{2}{left[ fleft( 5-3x right)+7 right]text{d}x}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 🔸 Công suất tỏa nhiệt là gì? Cách tính công suất tỏa nhiệt 2022 | Mytranshop.com

A. $P=15$ B. $P=37$ C. $P=27$ D. $P=19$

Lời giải:

$P=intlimits_{0}^{2}{left[ fleft( 5-3x right)+7 right]text{d}x}=intlimits_{0}^{2}{fleft( 5-3x right)text{d}x}+intlimits_{0}^{2}{text{7d}x}$

Xét $int_{0}^{2}{f(5-3x)dx}$ , đặt $t=5-3xRightarrow dt=-3dx$ .

Đổi cận: $x=0Rightarrow t=5,,,x=2Rightarrow t=1$ .

$Rightarrow int_{0}^{2}{f(5-3x)dx}=-frac{1}{3}intlimits_{5}^{1}{fleft( x right)text{d}x}+7left( 2-0 right)=5+14=9$ .

Đáp án D

Ví dụ 1.3: Biết rằng $I=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{sin 2xcos x}{1+cos x}dx}=aln 2+b$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính $P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{3}}$ .

A. $5$ . B. 7. C. 8. D. 11.

Lời giải:

$I=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{sin 2xcos x}{1+cos x}dx}=int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{2sin x{{cos }^{2}}x}{1+cos x}}dx$

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

$begin{array}{l}I=-2int_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{{{cos }^{2}}x}{1+cos x}d(cos x)}=-2int_{0}^{frac{pi }{2}}{left( cos x-1+frac{1}{1+cos x} right)}d(cos x)\=left. (-{{cos }^{2}}x+2x-2ln |1+cos x|) right|_{0}^{frac{pi }{2}}=2ln 2-1end{array}$

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Đặt $t=cos xRightarrow dt=-sin xdx$ .

Đổi cận: $x=0Rightarrow t=1;,,x=frac{pi }{2}Rightarrow t=0$ .

$Rightarrow I=int_{1}^{0}{frac{-2{{t}^{2}}}{1+t}dt}=int_{0}^{1}{(2t-2+frac{2}{1+t})dt}$ $=left. ({{t}^{2}}-2t+2ln |1+t|) right|_{0}^{1}=-1+2ln 2$ .

Do đó $a=2;b=-1Rightarrow P=2{{a}^{2}}+3{{b}^{3}}=11$ .

Chọn D.

Ví dụ 1.4: Biết rằng $I=int_{1}^{e}{frac{2ln x+1}{x{{(ln x+1)}^{2}}}dx}=aln 2-frac{b}{c}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b+c$ .

A. $S=3$ . B. $S=5$ . C. $S=7$ . D. $S=10$ .

Lời giải:

Đặt $t=ln xRightarrow dt=frac{dx}{x}$ .

Đổi cận: $x=1Rightarrow t=0;,,x=eRightarrow t=1$ .

$Rightarrow I=int_{0}^{1}{frac{2t+1}{{{(t+1)}^{2}}}dt}=int_{0}^{1}{left( frac{2}{t+1}-frac{1}{{{(t+1)}^{2}}} right)dt}$ $=left. left[ 2ln |t+1|+frac{1}{t+1} right], right|_{0}^{1}=2ln 2-frac{1}{2}$ .

$Rightarrow a=2;,b=1;,c=1Rightarrow S=5$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Xét tích phân $I=int_{0}^{sqrt{3}}{{{x}^{5}}sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=frac{a}{b}$ là một số phân số tối giản. Tính hiệu $a-b$ .

A. $743$ . B. $-64$ . C. $27$ . D. $-207$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 23 bài văn nghị luận văn học dạng so sánh (Ngữ văn 11, 12) 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Đặt $t=sqrt{{{x}^{2}}+1}Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1Rightarrow tdt=xdx$ .

Đổi cận $x=0Rightarrow t=1;,,x=sqrt{3}Rightarrow t=2$ .

Khi đó $I=int_{1}^{2}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}.{{t}^{2}}dt}=int_{1}^{2}{({{t}^{6}}-2{{t}^{4}}+{{t}^{2}})dt}$ $=left. left( frac{{{t}^{2}}}{7}-2frac{{{t}^{5}}}{5}+frac{{{t}^{3}}}{3} right) right|_{1}^{2}=frac{848}{105}=frac{a}{b}$ .

Suy ra $a-b=743$ . Chọn A.

2. Đổi biến số loại 2: $x=x(t)$

A. Phương pháp

Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 2 để tính tích phân $I=int_{a}^{b}{f(x)dx}$ .

+ Bước 1: Đặt $x=x(t)Rightarrow dx=x'(t)dt$ .

Đổi cận:

+ Bước 2: Biến đổi $f(x)dx$ thành $g(t)dt$ .

+ Bước 3: Khi đó $I=int_{t(a)}^{t(b)}{g(t)dt}$ (đơn giản hơn tích phân đã cho).

– Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ thì đặt

$x=asin tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(asin t)=acos t.dt\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}=acos tend{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa $sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ thì đặt

$displaystyle x=atan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(atan t)=frac{adt}{{{cos }^{2}}t}=a(1+{{tan }^{2}}t)dt\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{tan }^{2}}t}=frac{|a|}{cos t}end{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa $sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ thì đặt $x=frac{a}{sin t}Rightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(frac{a}{sin t})=-frac{acos t.dt}{{{sin }^{2}}t}\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=sqrt{frac{{{a}^{2}}}{{{sin }^{2}}t}-{{a}^{2}}}=frac{|a|}{cot t}end{array} right.$

– Nếu hàm $f(x)$ có chứa ${{(1+{{x}^{2}})}^{k}}$ thì đặt

$x=tan tRightarrow left{ begin{array}{l}dx=d(tan t)=frac{dt}{{{cos }^{2}}t}\{{(1+{{x}^{2}})}^{k}}={{(1+{{tan }^{2}}x)}^{k}}=frac{1}{{{cos }^{2k}}t}end{array} right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Biết rằng $I=int_{0}^{frac{1}{2}}{sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=frac{pi }{a}+frac{sqrt{3}}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính $P=a+b$ .

A. 10. B. 12. C. 15. D. 20.

Lời giải:

Đặt .

Đổi cận $x=0Rightarrow t=0;,,x=frac{1}{2}Rightarrow t=frac{pi }{6}$ .

$displaystyle Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{6}}{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}.cos tdt}=int_{0}^{frac{pi }{6}}{{{cos }^{2}}tdt}$

$displaystyle =frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi }{6}}{(1+cos 2t)dt}=left. left( frac{1}{2}x+frac{1}{4}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{6}}=frac{pi }{12}+frac{sqrt{3}}{8}$ .

Do đó .

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Tính các tích phân sau

a) $I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{x}^{2}}dx}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$ . b) . c) $I=int_{0}^{3}{frac{dx}{9+{{x}^{2}}}}$ .

Lời giải:

a) Đặt $x=sin tRightarrow dx=cos tdt$ .

Đổi cận $x=0Rightarrow t=0;,x=frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow t=frac{pi }{4},$ .

$displaystyle begin{array}{l}Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{sin }^{2}}tcos t}{sqrt{1-{{sin }^{2}}t}}dt=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{sin }^{2}}tcos t}{cos t}dt}}\=int_{0}^{frac{pi }{4}}{{{sin }^{2}}tdt}=frac{1}{2}int_{0}^{frac{pi }{4}}{(1-cos 2t)dt}\=left. left( frac{1}{2}t-frac{1}{4}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{4}}=frac{pi }{8}-frac{1}{4}end{array}$

b) Đặt $x=sqrt{3}tan tRightarrow dx=frac{sqrt{3}}{{{cos }^{2}}t}$ .

Đổi cận $x=1Rightarrow t=frac{pi }{6};,,x=sqrt{3}Rightarrow t=frac{pi }{4}$ .

$displaystyle begin{array}{l}Rightarrow I=int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{sqrt{9+9{{tan }^{2}}t}}{3{{tan }^{2}}t{{cos }^{2}}t}dt=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{dt}{cos t.{{cos }^{2}}t.frac{{{sin }^{2}}t}{{{cos }^{2}}t}}}}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{dt}{cos t.{{sin }^{2}}t}}=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{cos tdt}{{{cos }^{2}}t.{{sin }^{2}}t}}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{(1-{{sin }^{2}}t).{{sin }^{2}}t}}=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{left( frac{1}{1-{{sin }^{2}}t}+frac{1}{{{sin }^{2}}t} right)d(sin t)}\=3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{left( frac{1}{2(1-sin t)}+frac{1}{2(1+sin t)}+frac{1}{{{sin }^{2}}t} right)d(sin t)}\=frac{3}{2}int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{1-sin t}+frac{3}{2}int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{1+sin t}+3int_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}{frac{d(sin t)}{{{sin }^{2}}t}}}}\=frac{3}{2}ln left. left| frac{1+sin t}{1-sin t} right|, right|_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}-left. frac{3}{sin t} right|_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}}\=frac{3}{2}left( ln frac{2+sqrt{2}}{2-sqrt{2}}-ln 3 right)+6-frac{6}{sqrt{2}}end{array}$

c) Đặt $x=3tan tRightarrow dx=frac{3dt}{{{cos }^{2}}t}=3(1+{{tan }^{2}}t)dt$ .

Đổi cận $x=0Rightarrow t=0;,x=3Rightarrow t=frac{pi }{4}$ .

$Rightarrow I=int_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{(1+{{tan }^{2}}t)dt}{9+9{{tan }^{2}}t}=frac{1}{3}t|_{0}^{frac{pi }{4}}=frac{pi }{12}}$ .

3. Đổi biến dựa vào cận

A. Phương pháp

Đối với tích phân có dạng $I=int_{-a}^{a}{f(x)dx}$ , ta sử dụng phép đổi biến $x=-t$ .

Khi đó $I=int_{-a}^{a}{f(x)dx}=int_{-a}^{0}{f(x)dx}+int_{0}^{a}{f(x)dx}$

Xét tích phân ${{I}_{1}}=int_{-a}^{0}{f(x)dx}$ :

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 5 bài tập gym tăng cân cho nam dễ thực hiện ngay tại nhà 2022 | Mytranshop.com

Đặt $x=-tRightarrow dx=-dt$ .

Đổi cận: $x=-aRightarrow t=a,,,x=0Rightarrow t=0$ .

$Rightarrow I=int_{a}^{0}{f(-t)d(-t)}+int_{0}^{a}{f(x)dx}$ .

Nhận xét:

– Nếu $f(x)$ liên tục và là hàm lẻ trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }-a;a]$ thì I=∫-aaf(x)dx.

– Nếu $f(x)$ liên tục và là hàm chẵn trên đoạn $displaystyle text{ }!![!!text{ }-a;a]$ thì I=∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Bắc Duyên Hà – Thái Bình 2017 Lần 2) Cho hàm số $f(x)$ chẵn, liên tục trên $mathbb{R}$ và $int_{-2}^{2}{f(x)dx}=3$ . Tính $I=int_{frac{1}{3}}^{1}{f(3x-1)dx}$ .

A. $frac{1}{3}$ . B. $frac{3}{2}$ . C. $frac{1}{2}$ . D. 3.

Lời giải:

Đặt $t=3x-1Rightarrow dt=3dxRightarrow dx=frac{1}{3}dt$ .

Ta có $I=int_{0}^{2}{f(t).frac{1}{3}dt}Rightarrow 3I=int_{0}^{1}{f(x)dx}$ .

Mặt khác, đặt $u=-xRightarrow du=-dx$ . Do $f(x)$ là hàm số chẵn nên $f(-x)=f(x)$ .

Suy ra $int_{-2}^{0}{f(x)dx}=-int_{0}^{2}{f(-u)du}=int_{0}^{2}{f(u)du}$

$Rightarrow 3=int_{-2}^{2}{f(x)dx}=int_{-2}^{0}{f(x)dx}+int_{0}^{2}{f(x)dx}$ $=2int_{0}^{2}{f(x)dx}=6IRightarrow I=frac{1}{2}$ .

Chọn C.

Ví dụ 3.2: Cho $a$ là một số thực khác 0, kí hiệu $b=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{x+2a}dx}$ . Tính $I=int_{0}^{2a}{frac{dx}{(3a-x){{e}^{x}}}}$ theo $a$ và $b$ .

A. $a$ . B. $frac{b}{{{e}^{a}}}$ C. $b$ . D. ${{e}^{b}}.b$ .

Lời giải:

Đặt $t=a-xRightarrow left{ begin{array}{l}dx=-dt\3a-x=t+2aend{array} right.$ .

Đổi cận: $x=0Rightarrow t=a;,x=2aRightarrow t=-a$ .

Khi đó $I=int_{a}^{-a}{frac{dt}{(t+2a){{e}^{a-1}}}=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{(x+2a){{e}^{x}}}dx}}$ .

Mà $b=int_{-a}^{a}{frac{{{e}^{x}}}{x+2a}dx}Rightarrow I=frac{b}{{{e}^{a}}}$ .

Chọn B.

Ví dụ 3.3: Tính tích phân $I=int_{-1}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}$ .

Lời giải:

Cách 1:

$I=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}+int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}}}$ trong đó ${{I}_{1}}=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}$ , ${{I}_{2}}=int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=int_{-1}^{0}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}$ , đặt $t=-xRightarrow dt=-dx$ .

Đổi cận $x=-1Rightarrow t=1;,x=0Rightarrow t=0$ .

Khi đó ${{I}_{1}}=-int_{1}^{0}{frac{cos tdt}{{{e}^{-t}}+1}=int_{0}^{1}{frac{cos tdt}{frac{1}{{{e}^{t}}}+1}=int_{0}^{1}{frac{{{e}^{x}}.cos xdx}{1+{{e}^{x}}}}}}$ .

Suy ra $I=int_{0}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{1+{{e}^{x}}}+int_{0}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}=int_{0}^{1}{frac{({{e}^{x}}+1)cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}}$ $=int_{0}^{1}{cos xdx}=sin x|_{0}^{1}=sin 1$ .

Cách 2:

Đặt $t=-xRightarrow dt=-dx$ .

Đổi cận $x=-1Rightarrow t=1;,x=1Rightarrow t=-1$ .

Khi đó $I=-int_{1}^{-1}{frac{cos tdt}{{{e}^{-t}}+1}=int_{-1}^{1}{frac{cos tdt}{frac{1}{{{e}^{t}}}+1}}}$ $=int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{t}}.cos tdt}{1+{{e}^{t}}}}=int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{1+{{e}^{x}}}}$

$displaystyle begin{array}{l}Rightarrow 2I=I+I=int_{-1}^{1}{frac{cos xdx}{{{e}^{x}}+1}+int_{-1}^{1}{frac{{{e}^{x}}cos xdx}{{{e}^{x}}+1}}}\=int_{-1}^{1}{cos xdx}=sin x|_{-1}^{1}=2sin 1end{array}$ .

$Rightarrow I=sin 1$ .

Tích phân- Phương pháp đổi biến, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

1. Đổi biến số loại 1: $t=t(x)$

2. Đổi biến số loại 2: $x=x(t)$

3. Đổi biến dựa vào cận

$Rightarrow 3=int_{-2}^{2}{f(x)dx}=int_{-2}^{0}{f(x)dx}+int_{0}^{2}{f(x)dx}$ $=2int_{0}^{2}{f(x)dx}=6IRightarrow I=frac{1}{2}$ .

Leave a Comment Cancel reply