1. Đổi biến số loại 1:
A. Phương pháp
Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 1 để tính tích phân .
+ Bước 1: Đặt .
Đổi cận:
+ Bước 2: Biến đổi thành g(t)dt.
+ Bước 3: Khi đó (đơn giản hơn tích phân đã cho).
– Nếu hàm số có chứa thì đặt:
– Nếu hàm số có chứa thì đặt .
– Hàm lượng giác:
Nếu gặp thì đặt .
Nếu gặp thì đặt .
Nếu gặp thì đặt .
Nếu gặp thì đặt .
– Biểu thức có chứa logarit:
Thường gặp biểu thức có chứa và . Khi đó đặt hoặc biểu thức có chứa .
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.1: Cho đẳng thức . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Để tính tích phân ta có thể làm trực tiếp bằng phương pháp vi phân, hoặc dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cách 1 (Phương pháp vi phân)
Ta có
.
Cách 2 (Phương pháp đổi biến)
Đặt .
Đổi cận: .
.
.
Khi đó .
Chọn A.
Ví dụ 1.2: Cho biết . Tính giá trị của
A. B. C. D.
Lời giải:
Xét , đặt .
Đổi cận: .
.
Đáp án D
Ví dụ 1.3: Biết rằng với là các số nguyên. Tính .
A. . B. 7. C. 8. D. 11.
Lời giải:
Cách 1 (Phương pháp vi phân)
Cách 2 (Phương pháp đổi biến)
Đặt .
Đổi cận: .
.
Do đó .
Chọn D.
Ví dụ 1.4: Biết rằng với là các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đặt .
Đổi cận: .
.
.
Chọn B.
Ví dụ 1.5: Xét tích phân là một số phân số tối giản. Tính hiệu .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đặt .
Đổi cận .
Khi đó .
Suy ra . Chọn A.
2. Đổi biến số loại 2:
A. Phương pháp
Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 2 để tính tích phân .
+ Bước 1: Đặt .
Đổi cận:
+ Bước 2: Biến đổi thành .
+ Bước 3: Khi đó (đơn giản hơn tích phân đã cho).
– Nếu hàm số có chứa thì đặt
– Nếu hàm có chứa thì đặt
– Nếu hàm có chứa thì đặt
– Nếu hàm có chứa thì đặt
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 2.1: Biết rằng với là các số nguyên. Tính .
A. 10. B. 12. C. 15. D. 20.
Lời giải:
Đặt .
Đổi cận .
.
Do đó .
Chọn D.
Ví dụ 2.2: Tính các tích phân sau
a) . b) . c) .
Lời giải:
a) Đặt .
Đổi cận .
b) Đặt .
Đổi cận .
c) Đặt .
Đổi cận .
.
3. Đổi biến dựa vào cận
A. Phương pháp
Đối với tích phân có dạng , ta sử dụng phép đổi biến .
Khi đó
Xét tích phân :
Đặt .
Đổi cận: .
.
Nhận xét:
– Nếu liên tục và là hàm lẻ trên thì I=∫-aaf(x)dx.
– Nếu liên tục và là hàm chẵn trên đoạn thì I=∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 3.1 (THPT Bắc Duyên Hà – Thái Bình 2017 Lần 2) Cho hàm số chẵn, liên tục trên và . Tính .
A. . B. . C. . D. 3.
Lời giải:
Đặt .
Ta có .
Mặt khác, đặt . Do là hàm số chẵn nên .
Suy ra
.
Chọn C.
Ví dụ 3.2: Cho là một số thực khác 0, kí hiệu . Tính theo và .
A. . B. C. . D. .
Lời giải:
Đặt .
Đổi cận: .
Khi đó .
Mà .
Chọn B.
Ví dụ 3.3: Tính tích phân .
Lời giải:
Cách 1:
trong đó , .
Xét , đặt .
Đổi cận .
Khi đó .
Suy ra .
Cách 2:
Đặt .
Đổi cận .
Khi đó
.
.