I. Định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
2. Bình phương vô hướng
• được kí hiệu: và được gọi là bình phương vô hướng của .
•
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ tuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
• (tính giao hoán)
•
• (tính phân phối đối với phép cộng).
•
Kết quả:
a)
b) Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
Cho Ta có :
• (biểu thức toạ độ của tích vô hướng).
•
•
•
•
4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ . Gọi là hình chiếu của B trên đường thẳng OB.
Công thức hình chiếu: .
II. Một số dạng toán cơ bản áp dụng tích vô hướng của hai vecto
DẠNG I. Tính các biểu thức lượng giác của góc từ đến
Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau.
Ví dụ: Tính
Giải
DẠNG II. Tính tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp giải:
Tuỳ theo đề bài, có thể dùng:
• Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ của tích vô hướng.
• Công thức hình chiếu.
• Có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về tổng, hiệu của nhữngtích vô hướng đơn giản.
Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt:
•
• Trường hợp A, B , C thẳng hàng :
+ Nếu A ở ngoài đoạn BC thì
+ Nếu A ở giữa B và C thì
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, Tính
Giải
•
•
DẠNG III. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay đẳng thức về độ dài.
Phương pháp giải:
• Dùng định nghĩa, các tính chất về tích vô hướng như dạng II.
• Đưa bình phương độ dài về bình phương vectơ :
Ví dụ: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
Giải
Ta có
Cộng (1), (2), (3) và thu gọn ta có:
DẠNG IV. Chứng minh hai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc.
Phương pháp giải:
• Sử dụng:
Ví dụ: Cho hình thang vuông ABCD. Đường cao AB và hai cạnh đáyAD, BC có độ dài lần lượt là h, a, b. Tìm điều kiện giữa a, b, h để AC và BD vuông góc với nhau.
Giải
Mà nên:
Vậy
DẠNG V. Tìm tập hợp điểm
Phương pháp giải:
Các dạng cơ bản:
1.
• : Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB.
• : Gọi I là trung điểm của AB.
Tập hợp điểm là đường tròn tâm I, bán kính nếu .
Chú ý: Khi : Tập hợp các điểm M là tâp Ø.
2.
• : Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc BC.
• : Gọi ; H lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm là đường thẳng vuông góc với BC tại H cho bởi hệ thức: