Tích vô hướng của hai vecto, trắc nghiệm toán học lớp 10 2022 | Mytranshop.com

by

I. Định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
              overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|.cosleft( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right).

2. Bình phương vô hướng
• overrightarrow{a}.overrightarrow{a} được kí hiệu: {{overrightarrow{a}}^{2}} và được gọi là bình phương vô hướng của overrightarrow{a}.
• {{overrightarrow{a}}^{2}}=left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{a} right|.cos{{0}^{0}}=>{{overrightarrow{a}}^{2}}={{left| overrightarrow{a} right|}^{2}}

3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ overrightarrow{a},overrightarrow{b},overrightarrow{c} tuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
• overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=overrightarrow{b}.overrightarrow{a} (tính giao hoán)
•  left( koverrightarrow{a} right).overrightarrow{b}=kleft( overrightarrow{a}.overrightarrow{b} right)
• overrightarrow{a}.left( overrightarrow{b}+overrightarrow{c} right)=overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+overrightarrow{a}.overrightarrow{c} (tính phân phối đối với phép cộng).
• overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=0<=>overrightarrow{a}bot overrightarrow{b}.

Kết quả:
a)
              begin{array}{l}{{left( overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right)}^{2}}={{overrightarrow{a}}^{2}}+2overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+{{overrightarrow{b}}^{2}};\{{left( overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right)}^{2}}={{overrightarrow{a}}^{2}}-2overrightarrow{a}.overrightarrow{b}+{{overrightarrow{b}}^{2}};\left( overrightarrow{a}+overrightarrow{b} right)left( overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right)={{overrightarrow{a}}^{2}}-{{overrightarrow{b}}^{2}}.end{array}

b) Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
Cho overrightarrow{a}=left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} right),overrightarrow{b}left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} right). Ta có :
• overrightarrow{a}.overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}(biểu thức toạ độ của tích vô hướng).
• left| overrightarrow{a} right|=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
• left{ begin{array}{l}A({{x}_{A}};{{y}_{A}})\B({{x}_{B}};{{y}_{B}})end{array} right.=>AB=sqrt{{{left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} right)}^{2}}}
• cos left( overrightarrow{a},overrightarrow{b} right)=frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{left| overrightarrow{a} right|.left| overrightarrow{b} right|}=frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}
• overrightarrow{a}bot overrightarrow{b}<=>{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0.

4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ overrightarrow{OA},overrightarrow{OB}. Gọi {{B}^{'}} là hình chiếu của B trên đường thẳng OB. 
Công thức hình chiếu:  overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}=overrightarrow{OA}.overrightarrow{O{{B}^{'}}} .

II. Một số dạng toán cơ bản áp dụng tích vô hướng của hai vecto

DẠNG I. Tính các biểu thức lượng giác của góc từ {{0}^{0}} đến {{180}^{0}}
Phương pháp giải:  Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau.

Ví dụ: Tính A=sin {{90}^{0}}-tan {{120}^{0}}+tan {{135}^{0}}+{{cot }^{2}}{{150}^{0}}
                           Giải

begin{array}{l}A=sin {{90}^{0}}-tan {{120}^{0}}-tan {{135}^{0}}+{{cot }^{2}}{{150}^{0}}\=1-frac{1}{2}-1+{{left( -sqrt{3} right)}^{2}}=frac{5}{2}.end{array}

DẠNG II. Tính tích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp giải:  
Tuỳ theo đề bài, có thể dùng:
• Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ của tích vô hướng.
• Công thức hình chiếu.
• Có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về tổng, hiệu của nhữngtích vô hướng đơn giản.
Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt:
• overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=0<=>overrightarrow{a}bot overrightarrow{b}.
• Trường hợp A, B , C thẳng hàng :
+ Nếu A ở ngoài đoạn BC thì overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=AB.AC.
+ Nếu A ở giữa B và C thì overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=-AB.AC.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Những quả cầu lông nhựa đáng mua nhất 2021 2022 | Mytranshop.com

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, widehat{BAC}={{120}^{0}}. Tính overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC},overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC}?
                                         Giải
• overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=AB.AC.coswidehat{BAC}=5.8.cos{{120}^{0}}=-20.
• overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC}=overrightarrow{AB}left( overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB} right)=overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}-{{overrightarrow{AB}}^{2}}=-20-25=-45.

DẠNG III. Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay đẳng thức về độ dài.
Phương pháp giải:  
• Dùng định nghĩa, các tính chất về tích vô hướng như dạng II.
• Đưa bình phương độ dài về bình phương vectơ :

      A{{B}^{2}}={{overrightarrow{AB}}^{2}}={{left( overrightarrow{CB}-overrightarrow{CA} right)}^{2}}

Ví dụ: Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
          overrightarrow{AM}.overrightarrow{BC}+overrightarrow{BN}.overrightarrow{CA}+overrightarrow{CP}.overrightarrow{AB}=0
                                    Giải
Ta có

             begin{array}{l}overrightarrow{AM}.overrightarrow{BC}=frac{1}{2}left( overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC} right).left( overrightarrow{AC}-overrightarrow{AB} right)=frac{1}{2}left( A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} right)(1)\overrightarrow{BN}.overrightarrow{CA}=frac{1}{2}left( B{{A}^{2}}-B{{C}^{2}} right)(2)\overrightarrow{CP}.overrightarrow{AB}=frac{1}{2}left( C{{B}^{2}}-C{{A}^{2}} right)(3)end{array}
Cộng (1), (2), (3) và thu gọn ta có:
              overrightarrow{AM}.overrightarrow{BC}+overrightarrow{BN}.overrightarrow{CA}+overrightarrow{CP}.overrightarrow{AB}=0

 

DẠNG IV. Chứng minh hai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc.
Phương pháp giải:  
• Sử dụng: overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=0<=>overrightarrow{a}bot overrightarrow{b}.

Ví dụ: Cho hình thang vuông ABCD. Đường cao AB và hai cạnh đáyAD, BC có độ dài lần lượt là h, a, b. Tìm điều kiện giữa a, b, h để AC và BD vuông góc với nhau.
                                             Giải
begin{array}{l}ACbot BD<=>overrightarrow{AC}.overrightarrow{BD}=0<=>left( overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC} right)left( overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB} right)=0\<=>overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}+overrightarrow{BC}.overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}-overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC}=0end{array}
Mà ABbot AD,ABbot BC nên: overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}=overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC}=0
Vậy ACbot BD<=>overrightarrow{BC}.overrightarrow{AD}-A{{B}^{2}}=0<=>ab-{{h}^{2}}=0<=>{{h}^{2}}=ab.

  

 

DẠNG V. Tìm tập hợp điểm
Phương pháp giải:  
Các dạng cơ bản:
1. overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=k.
• k=0 : Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB.
• kne 0 : Gọi I là trung điểm của AB.
            overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=k<=>M{{I}^{2}}=k+frac{A{{B}^{2}}}{4}
Tập hợp điểm là đường tròn tâm I, bán kính R=sqrt{k+frac{A{{B}^{2}}}{4}} nếu k+frac{A{{B}^{2}}}{4}>0.

Chú ý: Khi k+frac{A{{B}^{2}}}{4}<0: Tập hợp các điểm M là tâp Ø.
2. overrightarrow{AM}.overrightarrow{BC}=k.
• k=0 : Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc BC.
• kne 0 : Gọi {{A}^{'}} ; H lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm là đường thẳng vuông góc với BC tại H cho bởi hệ thức: overrightarrow{{{A}^{'}}H}.overrightarrow{BC}=k.

Leave a Comment