Vi phân - Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Lí thuyết cơ bản

1. Vi phân

a) Định nghĩa:

Cho hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ xác định trên $displaystyle left( a;text{ }b right)$ và có đạo hàm tại $displaystyle xin left( a;text{ }b right)$ .

Cho số gia $displaystyle Delta x$ tại $displaystyle x$ sao cho $displaystyle x+Delta xin left( a;text{ }b right)$ .

Ta gọi tích $displaystyle {f}'left( x right).Delta x$ (hoặc $displaystyle {y}'.Delta x$ ) là vi phân của hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ tại x ứng với số gia $displaystyle Delta x$ và ký hiệu là dy hoặc $displaystyle dfleft( x right)$ . Như vậy, ta có:

$displaystyle dy={y}'Delta x$ hoặc $displaystyle dfleft( x right)={f}'left( x right)Delta x$

Áp dụng: Với hàm số $displaystyle y=x$ , ta được: $displaystyle dx={{left( x right)}^{prime }}Delta x=1.Delta x=Delta x$

Vậy ta có: $displaystyle dy={y}'dx$ hoặc $displaystyle dfleft( x right)={f}'left( x right)dx$ .

b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng:

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: $displaystyle f'({{x}_{0}})=underset{Delta xto 0}{mathop{lim }},frac{Delta y}{Delta x}$

Do đó, với $displaystyle left| Delta x right|$ đủ nhỏ thì:

$displaystyle f'({{x}_{0}})approx frac{Delta y}{Delta x}Leftrightarrow Delta yapprox f'({{x}_{0}})Delta x$ $displaystyle Leftrightarrow f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}})approx f'({{x}_{0}})Delta x$

$displaystyle Leftrightarrow$ $displaystyle f({{x}_{0}}+Delta x)approx f({{x}_{0}})+f'({{x}_{0}})Delta x$

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

2. Đạo hàm cấp cao

a) Định nghĩa:

Giả sử hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ có đạo hàm $displaystyle {f}'left( x right)$ .

+ Đạo hàm của hàm số $displaystyle {f}'left( x right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $displaystyle fleft( x right)$ .

Kí hiệu là $displaystyle {y}''$ hay $displaystyle {f}''left( x right)$ .

+ Tương tự, đạo hàm của hàm số $displaystyle {f}''left( x right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số $displaystyle fleft( x right)$ .

Kí hiệu là $displaystyle {{{y}'}'}'$ hay $displaystyle {{{f}'}'}'left( x right)$ .

+ Đạo hàm của hàm số $displaystyle {{{f}'}'}'left( x right)$ , nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số $displaystyle fleft( x right)$ .

Kí hiệu là $displaystyle {{y}^{left( 4 right)}}$ hay $displaystyle {{f}^{left( 4 right)}}left( x right)$ .

+ Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số $displaystyle y=fleft( x right)$ .

Kí hiệu là $displaystyle {{y}^{left( n right)}}$ hay $displaystyle {{f}^{left( n right)}}left( x right)$ .

b) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Áp dụng tích phân trong hình học, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $displaystyle s=fleft( t right)$ với $displaystyle fleft( t right)$ là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời $displaystyle (gamma )$ của chuyển động tại thời điểm $displaystyle t$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $displaystyle s=fleft( t right)$ tại $displaystyle t$ là $displaystyle gamma left( t right)={{f}'}'left( t right)$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số

A. Phương pháp

– Tính vi phân của hàm số $displaystyle f(x)$ tại $displaystyle {{x}_{0}}$ cho trước:

Suy ra vi phân của hàm số là: $displaystyle dy=df(x)={f}'(x)dx$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+2$ . Tính vi phân của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=1$ , ứng với số gia $Delta x=0,02$ .

Lời giải:

Ta có $y'=f'left( x right)=3{{x}^{2}}-4x$ . Do đó vi phân của hàm số tại điểm ${{x}_{0}}=1$ , ứng với số gia $Delta x=0,02$ là:

$dfleft( 1 right)=f'left( 1 right).Delta x=left( {{3.1}^{2}}-4.1 right).0,02=-0,02$ .

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:

a) $y=frac{2{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}+x+1}$ b) $y=sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}$

c) $y=sin xcos frac{x}{2}$ d) $y=xsin x-cos x$

Lời giải:

a) Ta có: $y'=f'left( x right)=frac{left( 2{{x}^{2}}-3x+1 right)'left( {{x}^{2}}+x+1 right)-left( {{x}^{2}}+x+1 right)'left( 2{{x}^{2}}-3x+1 right)}{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}=$ $frac{5{{x}^{2}}+2x-4}{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}$

suy ra $dy=f'left( x right)dx=frac{5{{x}^{2}}+2x-4}{{{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}}dx$ .

b) Ta có: $y'=frac{{{left( 3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} right)}^{'}}}{2sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}=frac{6{{x}^{2}}+4x}{2sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}=frac{3{{x}^{2}}+2x}{sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}$

Suy ra $dy=y'.dx=frac{3{{x}^{2}}+2x}{sqrt{3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}}dx$ .

c) Ta có: y’=sinxcosx2’=(sinx)’.cosx2+sinxcosx2’=cosx.cosx2-12sinx.sinx2.

Suy ra dy=y’.dx=cosx.cosx2-12sinx.sinx2dx.

d) Ta có: $displaystyle y'={{left( xsin x-cos x right)}^{'}}={{left( xsin x right)}^{'}}-{{left( cos x right)}^{'}}$ = sinx + xcosx + sinx = 2sinx + xcosx.

Suy ra $dy=y'.dx=left( 2sinx+xcosx right)dx$ .

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số

A. Phương pháp

Để tính gần đúng giá trị của hàm số $displaystyle f(x)$ tại điểm $displaystyle {{x}_{0}}+Delta x$ cho trước, ta áp dụng công thức:

$displaystyle fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+{f}'left( {{x}_{0}} right).Delta x$

B. Bài tập ví dụ

Lời giải:

a) Ta có $sqrt{16,25}=sqrt{16+0,25}$ . Xét hàm số $fleft( x right)=sqrt{x}Rightarrow f'left( x right)=frac{1}{2sqrt{x}}$

chọn ${{x}_{0}}=16$ và $Delta x=0,25$ , ta có $fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+f'left( {{x}_{0}} right).Delta x$

$Rightarrow sqrt{16+0,25}approx sqrt{16}+frac{1}{2sqrt{16}}.0,25=4+0,03125$ $=4,03125Rightarrow sqrt{16+0,25}approx 4,0313$

b) Ta có $cos 30{}^circ 15'=cos left( 30{}^circ +15' right)=cos left( frac{pi }{6}+frac{pi }{720} right)$

Xét hàm số $fleft( x right)=cos xRightarrow f'left( x right)=-sin x$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Hiện tượng cộng hưởng, trắc nghiệm vật lý lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Chọn ${{x}_{0}}=frac{pi }{6}$ và $Delta x=frac{pi }{720}$ , ta có $fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+f'left( {{x}_{0}} right).Delta x$ .

$Rightarrow cos left( frac{pi }{6}+frac{pi }{720} right)approx cos frac{pi }{6}-sin frac{pi }{6}.frac{pi }{720}=frac{sqrt{3}}{2}-frac{pi }{1440}$

c) Ta có $sin 46{}^circ =sin left( 45{}^circ +1{}^circ right)=sin left( frac{pi }{4}+frac{pi }{180} right)$

Xét hàm số $fleft( x right)=sin xRightarrow f'left( x right)=cos x$

Chọn ${{x}_{0}}=frac{pi }{4}$ và $Delta x=frac{pi }{180}$ , ta có $fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+f'left( {{x}_{0}} right).Delta x$

$Rightarrow sin left( frac{pi }{4}+frac{pi }{180} right)approx sin frac{pi }{4}+cos frac{pi }{4}.frac{pi }{180}=frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}pi }{360}$

d) Ta có $frac{1}{0,9995}=frac{1}{1-0,0005}$

Xét hàm số $fleft( x right)=frac{1}{x}Rightarrow f'left( x right)=-frac{1}{{{x}^{2}}}$

Chọn ${{x}_{0}}=1$ và $Delta x=-0,0005$ , ta có $fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+f'left( {{x}_{0}} right).Delta x$

$Rightarrow frac{1}{1-0,0005}approx 1-1.left( -0,0005 right)approx 1,0005$ .

e) $tan 53{}^circ 15'=tan left( 60{}^circ -left( 6{}^circ 45' right) right)=tan left( frac{pi }{3}-frac{3pi }{80} right)$

Xét hàm số $fleft( x right)=tan xRightarrow f'left( x right)=1+{{tan }^{2}}x$

Chọn ${{x}_{0}}=frac{pi }{3}$ và $Delta x=-frac{3pi }{80}$ , ta có $fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)approx fleft( {{x}_{0}} right)+f'left( {{x}_{0}} right).Delta x$

$Rightarrow tan left( frac{pi }{3}-frac{3pi }{80} right)approx tan frac{pi }{3}+left( 1+{{tan }^{2}}frac{pi }{3} right).left( -frac{3pi }{80} right)approx 1,2608$

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

A. Phương pháp

Áp dụng trục tiếp định nghĩa để tính đạo hàm cấp cao:

$displaystyle {{y}'}'={{left( {{y}'} right)}^{prime }};,,{{{y}'}'}'={{left( {{{y}'}'} right)}^{prime }};,,{{{{y}'}'}'}'={{left( {{{{y}'}'}'} right)}^{prime }};,,{{y}^{left( n right)}}={{left( {{y}^{left( n-1 right)}} right)}^{prime }}$

B. Bài tập ví dụ

Lời giải:

a) Có $y'=x'sin 2x+x.left( sin 2x right)'=sin 2x+2xcos 2x$

$Rightarrow y''=left( sin 2x right)'+left( 2x right)'cos 2x+2xleft( cos 2x right)'=4cos 2x-4xsin 2x$

$Rightarrow y'''=4left( cos 2x right)'-left( 4x right)'sin 2x-4xleft( sin 2x right)'$ $=-8sin 2x-4sin 2x-8cos 2x$

$=-12sin 2x-8cos 2x$

b) Ta có $y={{cos }^{2}}x=frac{1}{2}left( 1+cos 2x right)Rightarrow y'=-sin 2x$

$Rightarrow y''=-2cos2xRightarrow y'''=4sin2x$

c) $y={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$

$displaystyle Rightarrow y'=4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-6xRightarrow y''=12{{x}^{2}}+24x-6Rightarrow y'''=24x+24$

$displaystyle Rightarrow {{y}^{left( 4 right)}}=24Rightarrow {{y}^{left( 5 right)}}=0Rightarrow ...Rightarrow {{y}^{left( n right)}}=0$

d) $y={{x}^{4}}-sin 2x$

$begin{array}{l}Rightarrow y'=4{{x}^{3}}-2cos 2xRightarrow y''=12{{x}^{2}}+4sin 2x\Rightarrow y'''=24x+8cos 2xRightarrow {{y}^{left( 4 right)}}=24-16sin 2xend{array}$

e) $y={{sin }^{2}}2x=frac{1}{2}left( 1-cos 4x right)$

$begin{array}{l}Rightarrow y'=2sin 4xRightarrow y''=8cos 4xRightarrow y'''=-32sin 4x\Rightarrow {{y}^{left( 4 right)}}=-128cos 4xRightarrow {{y}^{left( 5 right)}}=512sin 4xend{array}$

f) $y=frac{3x-1}{x+2},left( {{y}^{left( 4 right)}} right)$

$Rightarrow y'=frac{7}{{{left( x+2 right)}^{2}}}Rightarrow y''=frac{-7{{left[ {{left( x+2 right)}^{2}} right]}^{/}}}{{{left( x+2 right)}^{4}}}=frac{-14}{{{left( x+2 right)}^{3}}}$

$Rightarrow y'''=frac{14{{left[ {{left( x+2 right)}^{3}} right]}^{/}}}{{{left( x+2 right)}^{6}}}=frac{42}{{{left( x+2 right)}^{4}}}$ $Rightarrow {{y}^{left( 4 right)}}=frac{-42{{left[ {{left( x+2 right)}^{4}} right]}^{/}}}{{{left( x+2 right)}^{8}}}=frac{-168}{{{left( x+2 right)}^{5}}}$

Ví dụ 3.2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) $y=sin xleft( nin {{mathbb{N}}^{*}} right)$ b) $y=frac{1}{x+3}left( nin {{mathbb{N}}^{*}} right)$

Lời giải:

a) Bước 1: Ta có: $y'=cos x=sin left( x+1.frac{pi }{2} right);y''=-sin x=sin left( x+2frac{pi }{2} right)$

Dự đoán: ${{y}^{left( n right)}}=sin left( x+nfrac{pi }{2} right)$ (1), $forall nin {{mathbb{N}}^{*}}$

Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp:

* $n=1$ : (1) hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=kge 1$ nghĩa là ta có: ${{y}^{k}}=sin left( x+kfrac{pi }{2} right)$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ nghĩa là ta phải chứng minh

${{y}^{left( k+1 right)}}=sin left( x+left( k+1 right)frac{pi }{2} right)$ (2)

Thật vậy: vế trái (2) $={{y}^{k+1}}={{left[ {{y}^{k}} right]}^{/}}={{left[ sin left( x+kfrac{pi }{2} right) right]}^{/}}$ $=cos left( x+kfrac{pi }{2} right)=sin left( x+left( k+1 right)frac{pi }{2} right)=$ vế phải (2)

$Rightarrow left( 2 right)$ đúng, nghĩa là (1) đúng với $n=k+1$ .

Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra ${{y}^{n}}=sin left( x+nfrac{pi }{2} right),forall nin {{mathbb{N}}^{*}}$

b) Ta có: $y'={{left( -1 right)}^{/}}frac{1}{{{left( x+3 right)}^{2}}}={{left( -1 right)}^{/}}frac{1!}{{{left( x+3 right)}^{2}}}$ ;

$y''={{left( -1 right)}^{2}}.frac{1.2}{{{left( x+3 right)}^{3}}}={{left( -1 right)}^{2}}.frac{2!}{{{left( x+3 right)}^{3}}}$ .

Dự đoán: ${{y}^{n}}={{left( -1 right)}^{n}}.frac{n!}{{{left( x+3 right)}^{n+1}}}$ (1), $forall nin {{mathbb{N}}^{*}}$ .

Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:

* $n=1:(1)$ hiển nhiên đúng.

* Giả sử (1) đúng với $n=kge 1$ , nghĩa là ta có: ${{y}^{k}}={{left( -1 right)}^{k}}frac{k!}{{{left( x+3 right)}^{k+1}}}$ ta phải chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ , nghĩa là ta phải chứng minh:

${{y}^{k+1}}={{left( -1 right)}^{k+1}}frac{left( k+1 right)!}{{{left( x+3 right)}^{k+2}}}$ (2)

Thật vậy, vế trái

$left( 2 right)={{y}^{k+1}}={{left[ {{y}^{k}} right]}^{/}}={{left[ {{left( -1 right)}^{k}}frac{k!}{{{left( x+3 right)}^{k+1}}} right]}^{/}}$ $={{left( -1 right)}^{k+1}}.frac{k!}{{{left[ {{left( x+3 right)}^{k+1}} right]}^{2}}}.{{left[ {{left( x+3 right)}^{k+1}} right]}^{/}}$

$={{left( -1 right)}^{k+1}}.frac{k!left( k+1 right)}{{{left( x+3 right)}^{k+2}}}={{left( -1 right)}^{k+1}}.frac{left( k+1 right)!}{{{left( x+3 right)}^{k+2}}}=vt(2)$

Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với $n=k+1$ .

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra ${{y}^{n}}={{left( -1 right)}^{n}}.frac{n!}{{{left( x+3 right)}^{n+1}}},forall nin {{mathbb{N}}^{*}}$

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp cao

A. Phương pháp

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $displaystyle s=fleft( t right)$ với $displaystyle fleft( t right)$ là hàm số có đạo hàm.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Mách bạn 8 loại lá nam giảm cân hiệu quả và an toàn cho sức khỏe 2022 | Mytranshop.com

Khi đó, gia tốc tức thời
$displaystyle (gamma )$ của chuyển động tại thời điểm $displaystyle t$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $displaystyle s=fleft( t right)$ tại $displaystyle t$ .

$displaystyle gamma left( t right)text{ }=text{ }{{f}'}'left( t right)$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Cho chuyển động xác định bởi phương trình $s={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t+2$ với $displaystyle t>0$ , $displaystyle t$ tính bằng giây $displaystyle left( s right)$ và $displaystyle vleft( t right)$ tính bằng $displaystyle m/s$ .

a) Tính vận tốc tại thời điểm $displaystyle t=2s$ .

b) Tính gia tốc tại thời điểm $displaystyle t=3s$ .

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Lời giải:

Ta có $s'=3{{t}^{2}}-6t-9;,,s''=6t-6$ .

a) Vận tốc tại thời điểm $t=2$ là $s'left( 2 right)={{3.2}^{2}}-6.2-9=-9,left( m/s right)$ .

b) Gia tốc tại thời điểm $t=3$ là $s''left( 3 right)=6.3-6=12left( m/{{s}^{2}} right)$ .

c) Vận tốc triệt tiêu $Leftrightarrow s'=0Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0$ $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=-1,left( L right)\t=3end{array} right.Leftrightarrow t=3$ .

Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:

$s''left( 3 right)=6.3-6=12left( m/{{s}^{2}} right)$ .

d) Gia tốc triệt tiêu $s''=0Leftrightarrow 6t-6=0Leftrightarrow t=1$ .

Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là:

$s'left( 1 right)={{3.1}^{2}}-6.1-9=-12left( m/s right)$ .

Vi phân – Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lí thuyết cơ bản

1. Vi phân

2. Đạo hàm cấp cao

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 3. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Dạng 4. Ý nghĩa của đạo hàm cấp cao

A. Phương pháp

B. Bài tập ví dụ

Leave a Comment Cancel reply