Hàm số lũy thừa và hàm số mũ, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản

1. Hàm số lũy thừa

– Định nghĩa: Hàm số $y={{x}^{alpha }}$ với $alpha in mathbb{R}$ , được gọi là hàm số lũy thừa.

– Tập xác định:

+ $D=mathbb{R}$ nếu $alpha$ là số nguyên dương.

+ $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}$ nếu $alpha$ nguyên âm hoặc bằng 0.

+ $D=(0;+infty )$ với $alpha$ không nguyên.

– Đạo hàm:

+ Hàm số $y={{x}^{alpha }},,(alpha in mathbb{R})$ có đạo hàm với mọi $x>0$ và $({{x}^{alpha }})'=alpha {{x}^{alpha -1}}$ .

+ Đạo hàm của hàm hợp: $({{u}^{alpha }})'=alpha .{{u}^{alpha -1}}.u'$ .

– Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng $(0;+infty )$ :

2. Hàm số mũ

– Hàm số $y={{a}^{x}},(a>0,ane 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$ .

– Hàm số $y={{a}^{x}}$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $({{a}^{x}})'={{a}^{x}}ln a$ . Đặc biệt: $({{e}^{x}})'={{e}^{x}}$ .

– Các tính chất:

+ TXĐ: $mathbb{R}$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số luôn đồng biến.

+ Khi $0<a<1$ hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận ngang là Ox, luôn đi qua các điểm $(0;1),(1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

3. Hàm số logarit

– Hàm số $y={{log }_{a}}x,,(a>0,ane 1)$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$ .

– Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi $x>0$ và $({{log }_{a}}x)'=frac{1}{xln a}$ .

Đặc biệt $(ln x)'=frac{1}{x}$ .

– Các tính chất:

+ TXĐ: $(0;+infty )$ .

+ Khi $a>1$ thì hàm số đồng biến;

+ Khi $0<a<1$ thì hàm số luôn nghịch biến.

+ Đồ thị có tiệm cận đứng là Oy, luôn đi qua các điểm $(1;0),(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

A. Phương pháp

* Hàm số lũy thừa $y={{text{ }!![!!text{ }u(x)text{ }!!]!!text{ }}^{alpha }}$ :

+ Xác định với mọi $xin mathbb{R}$ nếu $alpha$ nguyên dương.

+ Xác định với $u(x)ne 0$ nếu $alpha$ nguyên âm.

+ Xác định với $u(x)>0$ nếu $alpha$ không nguyên.

* Hàm số mũ $y={{a}^{f(x)}}$ xác định khi $0<ane 1$ .

* Hàm số logarit $y={{log }_{a}}f(x),$ xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0<ane 1\f(x)>0end{array} right.$ .

+ $sqrt{A}$ xác định $Leftrightarrow Age 0$ .

+ $frac{A}{B}$ xác định $Leftrightarrow Bne 0$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tập xác định của hàm số $f(x)={{(frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1})}^{-frac{2}{3}}}$ là

A. $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;-frac{1}{2}text{ }!!]!!text{ }cup text{ }!![!!text{ }0;frac{4}{3}text{ }!!]!!text{ }$ . B. $(-infty ;-1)cup (-frac{1}{2};0)cup (frac{4}{3};+infty )$ .

C. $(-1;-frac{1}{2})cup (0;frac{4}{3})$ . D. $(-1;frac{4}{3})$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow frac{4x-3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x+1}>0Leftrightarrow xin (-1;-frac{1}{2})cup (0;frac{4}{3})$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2: Tập xác định của hàm số $f(x)={{({{x}^{2}}-3x+2)}^{-3}}-2sqrt{x}$ là

A. $(0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ . B. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )$ .

C. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ . D. $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ .

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-3x+2ne 0\xge 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 2\xne 1\xge 0end{array} right.$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=text{ }!![!!text{ }0;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }1;2}$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.3: Tìm x để hàm số $y=log sqrt{{{x}^{2}}+x-12}$ xác định.

A. $xin (-infty ;-4)cup (3;+infty )$ . B. $xin (-4;3)$ .

C. $left{ begin{array}{l}xne -4\xne 3end{array} right.$ . D. $xin mathbb{R}$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-12>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x>3\x<-4end{array} right.$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.4: Tập xác định của hàm số $y=frac{1}{sqrt{2-x}}+ln (x-1)$ là

A. $D=(1;2)$ . B. $D=(1;+infty )$ . C. $D=(0;+infty )$ . D. $D=text{ }!![!!text{ }1;2]$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2-x>0\x-1>0end{array} right.Leftrightarrow 1<x<2$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=ln ({{x}^{2}}-2mx+4)$ có tập xác định $D=mathbb{R}$ ?

A. $-2<m<2$ . B. $left[ begin{array}{l}m>2\m<-2end{array} right.$ . C. $m>-2$ . D. $-2le mle 2$ .

Lời giải:

Hàm số có tập xác định là $mathbb{R}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+4>0,,forall xin mathbb{R}Leftrightarrow Delta '={{m}^{2}}-4<0Leftrightarrow -2<m<2$ .

Chọn đáp án A.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Đi Bộ Có To Chân Không? Phương Pháp Đi Bộ Không To Chân 2022 | Mytranshop.com

Ví dụ 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=frac{1}{sqrt{2mx+1-x}}+{{log }_{3}}sqrt{x-m}$ xác định trên $(2;3)$ .

A. $1le mle 2$ . B. $1<mle 2$ . C. $-1<m<2$ . D. $-1le mle 2$ .

Lời giải:

Hàm số xác định $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2m+1-x>0\x-m>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<2m+1\x>mend{array} right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là $D=(m;2m+1)$ với $mge -1$ .

Hàm số xác định trên $(2;3)$ suy ra $(2;3)subset DLeftrightarrow left{ begin{array}{l}mle 2\mge 1end{array} right.$ .

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Tính đạo hàm – Sự biến thiên – Min, max

A. Phương pháp

– Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp:

– Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $KLeftrightarrow y'ge 0,forall xin K$ .

– Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $KLeftrightarrow y'le 0,forall xin K$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a) $y=left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}$ b) $y=frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}$

c) $y=ln left( {{x}^{2}}+1 right)$ d) $y=frac{ln x}{x}$

e) $y=left( 1+ln x right)ln x$

Lời giải:

a) $y=left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}Rightarrow y'=left( 2x-2 right){{e}^{x}}+left( {{x}^{2}}-2x+2 right){{e}^{x}}=left( {{x}^{2}} right){{e}^{x}}$

b) $y=frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}Rightarrow y'=frac{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)-left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} right)left( {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} right)}{{{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)}^{2}}}=frac{4}{{{left( {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} right)}^{2}}}$

c) $y=ln left( {{x}^{2}}+1 right)Rightarrow y'=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}$

d/ $y=frac{ln x}{x}Rightarrow y'=frac{1}{{{x}^{2}}}left( frac{1}{x}.x-ln x right)=frac{1-ln x}{{{x}^{2}}}$

e) $y=left( 1+ln x right)ln xRightarrow y'=frac{ln x}{x}+frac{1+ln x}{x}=frac{1+2ln x}{x}$

Ví dụ 2.2: Tính đạo hàm các hàm số sau :

a. $y={{x}^{2}}ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)$ b. ${{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x+1 right)$ c. $y=sqrt[3]{{{ln }^{2}}x}$

d. $y={{log }_{2}}left( frac{x-4}{x+4} right)$ e. $y={{log }_{3}}left( frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right)$ f. $y=log left( frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right)$

Lời giải:

a) $y={{x}^{2}}ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)Rightarrow y'=2x.ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+frac{{{x}^{2}}x}{2left( {{x}^{2}}+1 right)}=2x.ln left( sqrt{{{x}^{2}}+1} right)+frac{{{x}^{3}}}{2left( {{x}^{2}}+1 right)}$ .

b) $y={{log }_{2}}left( {{x}^{2}}-x+1 right)Rightarrow y'=frac{2x-1}{left( {{x}^{2}}-x+1 right)ln 2}$ .

c) $y=sqrt[3]{{{ln }^{2}}x}Rightarrow y'=left[ {{left( ln x right)}^{frac{2}{3}}} right]'=frac{2}{3}{{left( ln x right)}^{-frac{1}{3}}}frac{1}{x}=frac{2}{3xsqrt[3]{ln x}}$ .

d) $y={{log }_{2}}left( frac{x-4}{x+4} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 2}left( frac{16}{{{left( x+4 right)}^{2}}}:frac{x-4}{x+4} right)=frac{16}{left( {{x}^{2}}-4 right)ln 2}$

e) $y={{log }_{3}}left( frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 3}left[ frac{2xleft( x+5 right)-{{x}^{2}}+9}{{{left( x+5 right)}^{2}}}:frac{{{x}^{2}}-9}{x+5} right]=frac{{{x}^{2}}+10x+9}{left( x+5 right)left( {{x}^{2}}-9 right)ln 3}$

f) $y=log left( frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right)Rightarrow y'=frac{1}{ln 10}left[ frac{left( sqrt{x}+1 right)}{16xsqrt{x}}:frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{x}} right]=frac{left( sqrt{x}+1 right)}{8xln 10left( 1-sqrt{x} right)}$

Ví dụ 2.3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2017 Lần 3) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y={{e}^{3-5x}}$ . B. $y={{left( frac{1}{2} right)}^{{{log }_{frac{1}{2}}}x}}$ . C. $y={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}$ . D. ${{2}^{{{log }_{2}}(1-2x)}}$ .

Lời giải:

Ta có:

$y'=-5.{{e}^{3-5x}},<0Rightarrow y={{e}^{3-5x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

$y={{left( frac{1}{2} right)}^{{{log }_{frac{1}{2}}}x}}=x$ là hàm số đồng biến trên tập xác định.

$y'={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}.ln frac{1}{3}<0Rightarrow y={{left( frac{1}{3} right)}^{x}}$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

${{2}^{{{log }_{2}}(1-2x)}}=1-2x$ là hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Vậy chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4 (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang 2017 HK2) Gọi $m,M$ là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)={{e}^{2-3x}}$ trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;2]$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $M-m=e$ . B. $m+M=1$ . C. $m.M=frac{1}{{{e}^{2}}}$ . D. $frac{M}{m}={{e}^{2}}$ .

Lời giải:

Do $f(x)={{e}^{2-3x}}$ là hàm nghịch biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;2]$ nên $M=f(0)={{e}^{2}},,,m=f(2)={{e}^{-4}}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.5 (Sở GD Đà Nẵng 2017) Cho hàm số $y=ln x-frac{1}{2}{{x}^{2}}+1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên $left[ frac{1}{2};2 right]$ .

A. $M=ln 2-1$ . B. $M=frac{7}{8}-ln 2$ .

C. $M=frac{7}{8}+ln 2$ . D. $M=frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có $y'=frac{1}{x}-x=0Leftrightarrow x=pm 1$ .

$yleft( frac{1}{2} right)=frac{7}{8}-ln 2,,,y(2)=ln 2-1,,,y(1)=frac{1}{2}$ . Chọn D.

Ví dụ 2.6 (THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hóa 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=ln ({{x}^{2}}+1)+mx+1$ đồng biến trên $(-infty ;+infty )$ .

A. $displaystyle text{ }!![!!text{ }1;+infty )$ . B. $(1;+infty )$ . C. $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;1]$ . D. $(-infty ;-1]$ .

Lời giải:

Ta có $y'=frac{2x}{{{x}^{2}}+1}+m=frac{m{{x}^{2}}+2x+m}{{{x}^{2}}+1}$ .

Hàm số đồng biến trên $(-infty ;+infty )$ khi và chỉ khi

$y'ge 0,,forall xLeftrightarrow m{{x}^{2}}+2x+mge 0,,forall xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}m>0\Delta '=1-{{m}^{2}}le 0end{array} right.Leftrightarrow mge 1$ . Chọn A.

Ví dụ 2.7: Xét các số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a>b>1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{min }}$ của biểu thức $P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)$ .

A. ${{P}_{min }}=19$ . B. ${{P}_{min }}=13$ . C. ${{P}_{min }}=14$ . D. ${{P}_{min }}=15$ .

Lời giải:

Với điều kiện đề bài, ta có

$P=log _{frac{a}{b}}^{2}left( {{a}^{2}} right)+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)={{left[ 2{{log }_{frac{a}{b}}}a right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)=4{{left[ {{log }_{frac{a}{b}}}left( frac{a}{b}.b right) right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right)$

$=4{{left[ 1+{{log }_{frac{a}{b}}}b right]}^{2}}+3{{log }_{b}}left( frac{a}{b} right).$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Miến đậu xanh có tác dụng gì và có giảm cân không? 2022 | Mytranshop.com

Đặt $t={{log }_{frac{a}{b}}}b>0$ (vì $a>b>1$ ), ta có $P=4{{left( 1+t right)}^{2}}+frac{3}{t}=4{{t}^{2}}+8t+frac{3}{t}+4=fleft( t right)$ .

Ta có ${f}'(t)=8t+8-frac{3}{{{t}^{2}}}=frac{8{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-3}{{{t}^{2}}}=frac{left( 2t-1 right)left( 4{{t}^{2}}+6t+3 right)}{{{t}^{2}}}$

Vậy ${f}'left( t right)=0Leftrightarrow t=frac{1}{2}$ . Khảo sát hàm số, ta có ${{P}_{min }}=fleft( frac{1}{2} right)=15$ . Chọn D.

Dạng 3. Đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 3.1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y={{log }_{0,5}}x$ .

B. $y={{log }_{2}}x$ .

C. $y=-frac{1}{3}x-frac{1}{3}$ .

D. $y=-3x+1$ .

Lời giải:

Nhận thấy đây là đồ thị của hàm số logarit $y={{log }_{a}}x$ nên loại đáp án C, D.

Điểm $A(2;-1)$ thuộc đồ thị hàm số nên:

$-1={{log }_{a}}2Rightarrow {{a}^{-1}}=2Rightarrow a=0,5$ .

Ví dụ 3.2: Tìm $a$ để hàm số $y={{log }_{a}}x,,(0<ane 1)$ có đồ thị là hình bên dưới:

A. $a=sqrt{2}$ .

B. $a=2$ .

C. $a=frac{1}{2}$ .

D. $a=frac{1}{sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số đi qua $A(2;2)Rightarrow 2={{log }_{a}}2Rightarrow a=sqrt{2}$ . Chọn A.

Ví dụ 3.3: Biết hàm số $y={{2}^{x}}$ có đồ thị như hình bên.

Khi đó, hàm số $y={{2}^{|x|}}$ có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn đáp án dưới đây?

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y={{2}^{|x|}}$ là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị thực của $a$ để hàm số $y={{log }_{a}}x,,,(0<ane 1)$ có đồ thị là hình bên.

A. $a=frac{1}{2}$ .

B. $a=1+sqrt{2}$ .

C. $a=sqrt{2}$ .

D. $a=frac{1}{sqrt{2}}$ .

Lời giải:

Dựa vào đồ thị thì hàm đã cho đồng biến nên loại A và D.

– Đồ thị đã cho qua điểm $(2;2)$ nên chọn đáp án C.

Ví dụ 3.5: Đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ không có phần nằm dưới trục hoành nên loại đáp án C.

Hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ xác định với mọi $x>0$ nên đồ thị hàm số $y=|{{log }_{2}}(2x)|$ không cắt trục Oy.

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 3.6: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y={{a}^{x}},,y={{b}^{x}},y={{c}^{x}},(0<a,b,cne 1)$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $a>b>c$ .

B. $b>a>c$ .

C. $b>c>a$ .

D. $a>c>b$ .

Lời giải:

Do $y={{log }_{a}}x$ và $y={{log }_{b}}x$ là hai hàm đồng biến nên $a,b>1$ .

Do $y={{log }_{c}}x$ nghịch biến nên $c<1$ . Vậy $c$ bé nhất.

Mặt khác, lấy $y=m$ , khi đó tồn tại ${{x}_{1}},{{x}_{2}}>0$ để $left{ begin{array}{l}{{log }_{a}}{{x}_{1}}=m\{{log }_{b}}{{x}_{2}}=mend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}{{a}^{m}}={{x}_{1}}\{{b}^{m}}={{x}_{2}}end{array} right.$ .

Dễ thấy ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow {{a}^{m}}<{{b}^{m}}Rightarrow a<b$ .

Vậy $b>a>c$ . Chọn B.

Dạng 4. Lãi suất ngân hàng

A. Phương pháp

* Lãi đơn:

Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn: $T=M(1+r.n)$ .

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

* Lãi kép:

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì.

– Lãi kép gửi một lần: $T=M{{(1+r)}^{n}}$

Trong đó:

$T$ : Số tiền cả vốn lẫn lãi sau $n$ kì hạn.

$M$ : Tiền gửi ban đầu.

$n$ : Số kỳ hạn tính lãi.

$r:$ Lãi suất định kì, tính theo %.

– Lãi kép gửi định kì

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.

Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: ${{T}_{1}}=M$ .

Cuối tháng thứ hai, người đó có số tiền là:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Triệt lông vĩnh viễn là gì? Những lưu ý khi chọn triệt lông 2022 | Mytranshop.com

$M(1+r)+M=Mleft[ (1+r)+1 right]=frac{M}{left[ (1+r)-1 right]}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]$

Cuối tháng thứ ba: $frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right](1+r)+frac{M}{r}.r=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{2}}-1 right]$ .

Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là: ${{T}_{n}}=frac{M}{r}left[ {{(1+r)}^{n}}-1 right]$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Bác Hiếu đầu tư 99 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất $8,25%$ một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi ? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi).

A. $displaystyle 48,155$ triệu đồng. B. $147,155$ triệu đồng.

C. $58,004$ triệu đồng. D. $8,7$ triệu đồng.

Lời giải:

Sau 5 năm bác Hiếu thu được số tiền lãi là $99[{{(1+frac{8,25}{100})}^{5}}-1]=48,155$ triệu đồng.

Chọn A.

Ví dụ 2.2: Cô Mai gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 3 tháng với lãi suất $5,28%$ một quý. Hỏi sau 8 năm cô Mai thu được bao nhiêu tiền (cả vốn lẫn lãi)? (Giả sử rằng lãi suất hàng quý không đổi).

A. $318,355$ triệu đồng. B. $518,881$ triệu đồng.

C. $259,44$ triệu đồng. D. $9,8$ triệu đồng.

Lời giải:

Một kì là 3 tháng, suy ra 8 năm là $frac{8.12}{3}=32$ kì.

Sau 8 năm cô Mai thu được số tiền là $100{{(1+frac{5,28}{100})}^{32}}=518,881$ triệu đồng.

Chọn B.

Ví dụ 2.3: Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm và lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau bao nhiêu năm ngưòi đó thu đuợc gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu là T số tiền (cả gốc lẫn lãi) sau n năm là $T.{{(1+0,084)}^{n}}$ (công thức lãi kép)

$T.{{(1+0,084)}^{n}}=2TLeftrightarrow n={{log }_{1+0,084}}2$ . Đáp án D.

Ví dụ 2.4 (Đề minh họa năm 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất $12%$ trên năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ống bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền $m$ mà ông A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.