Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

Mục lục

A. Lý thuyết cơ bản
B. Bài tập
- Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Dạng 2.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Dạng 3. Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa

Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $left( alpha right)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $left( alpha right)$ .

Vậy $dbot left( alpha right)Leftrightarrow dbot a,,forall asubset left( alpha right)$ .

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí: Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $left( alpha right)$ nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $left( alpha right)$ .

$left{ begin{array}{l}dbot a\dbot b\asubset left( alpha right),,bsubset left( alpha right)\acap b=Mend{array} right.Rightarrow dbot left( alpha right)$ .

3. Tính chất

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

+ $left{ begin{array}{l}a//b\(P)bot aend{array} right.Rightarrow (P)bot b$ + $left{ begin{array}{l}ane b\abot (P),bbot (P)end{array} right.Rightarrow a//b$

+ $displaystyle left{ begin{array}{l}(P)//(Q)\abot (P)end{array} right.Rightarrow abot (Q)$ + $left{ begin{array}{l}(P)ne (Q)\(P)bot a,(Q)bot aend{array} right.Rightarrow (P)//(Q)$

+ $left{ begin{array}{l}a//(P)\bbot (P)end{array} right.Rightarrow bbot a$ + $left{ begin{array}{l}anotsubset (P)\abot b,(P)bot bend{array} right.Rightarrow a//(P)$

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

Định nghĩa: Cho đường thẳng $dbot left( alpha right)$ . Phép chiếu song song theo phương $d$ lên mặt phẳng $left( alpha right)$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $left( alpha right)$ .

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $left( alpha right)$ và $b$ là đường thẳng không thuộc $left( alpha right)$ đồng thời không vuông góc với $left( alpha right)$ . Gọi $b'$ là hình chiếu của $b$ trên $left( alpha right)$ . Khi đó $abot bLeftrightarrow abot b'$ .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ .

+ Nếu $d$ vuông góc với mặt phẳng $left( alpha right)$ thì ta nói góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ bằng ${{90}^{0}}$ .

+ Nếu $d$ không vuông góc với mặt phẳng $left( alpha right)$ thì góc giữa $d$ với hình chiếu $d'$ của nó trên $left( alpha right)$ được gọi là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $left( alpha right)$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Phương pháp:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Áp dụng low carb 1 tuần giảm bao nhiêu kg? 2022 | Mytranshop.com

Muốn chứng minh đường thẳng $displaystyle dbot left( alpha right)$ ta có thể dùng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau trong $displaystyle left( alpha right)$ .

$left{ begin{array}{l}dbot a\dbot b\asubset left( alpha right),bbot left( alpha right)\acap b=Iend{array} right.Rightarrow abot left( alpha right)$ .

Cách 2: Chứng minh $d$ song song với đường thẳng $a$ mà $abot left( alpha right)$ .

$displaystyle left{ begin{array}{l}d//a\left( alpha right)bot aend{array} right.Rightarrow dbot left( alpha right)$ .

Để chứng minh $dbot a$ , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

– Chứng minh $d$ vuông góc với $displaystyle left( alpha right)$ và $displaystyle left( alpha right)$ chứa a.

– Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

– Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều $ABCD$ . Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Lời giải:

Giả sử cần chứng minh $ABbot CD$ .

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Ta có: $left{ begin{array}{l}CIbot AB\DIbot ABend{array} right.Rightarrow ABbot left( CID right)$ .

Do đó $ABbot CD$ vì $CD$ nằm trong mặt phẳng $left( CID right)$ .

Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được $BCbot AD$ và $ACbot BD$ .

Ví dụ 1.2: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ tâm $O$ và có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABCD right)$ . Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh $SB,SC$ và $SD$ .

a) Chứng minh $BCbot left( SAB right),CDbot left( SAD right),BDbot left( SAC right)$ .

b) Chứng minh $SCbot left( AHK right)$ và điểm $I$ thuộc $left( AHK right)$ .

c) Chứng minh $HKbot left( SAC right)$ , từ đó suy ra $HKbot AI$ .

Lời giải:

a) $BCbot AB$ vì đáy là hình vuông .

Lại có $SAbot left( ABCD right)Rightarrow SAbot BC$ .

Do đó $BCbot left( SAB right)$ vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong $left( SAB right)$ .

Tương tự, $left{ begin{array}{l}CDbot AD\CDbot SAend{array} right.Rightarrow CDbot left( SAD right)$ .

$left{ begin{array}{l}BDbot AC\BDbot SAend{array} right.Rightarrow BDbot left( SAC right)$ .

b) Theo câu a, có $displaystyle BCbot left( SAB right)$ , mà $AHsubset left( SAB right)$ nên $BCbot AH$ .

Theo giả thiết $AHbot SB$ . Do đó $AHbot left( SBC right)$ .

Vì $SCsubset left( SBC right)$ nên $AHbot SC$ .

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có $AKbot SC$ .

Hai đường thẳng $AH,AK$ cắt nhau và cùng vuông góc với $SC$ nên chúng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $SC$ . Vậy $SCbot left( AHK right)$ . Ta có $AIsubset left( AHK right)$ vì nó đi qua điểm $A$ và cùng vuông góc với $SC$ .

c) Ta có $SAbot left( ABCD right)Rightarrow left{ begin{array}{l}SAbot AB\SAbot ADend{array} right.$ .

Hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ bằng nhau vì chúng có cạnh $SA$ chung và $AB=AD$ (c.g.c). Do đó $displaystyle SB=SD,,SH=SKRightarrow HK||BD$ .

Vì $BDbot left( SAC right)$ nên $HKbot left( SAC right)$ và do $AIsubset left( SAC right)$ nên $HKbot AI$ .

Ví dụ 1.3: Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Kẻ $OH$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC right)$ tại $H$ . Chứng minh:

a) $OAbot BC,OBbot CA$ và $OCbot AB$ .

b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ .

c) $frac{1}{O{{H}^{2}}}=frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}+frac{1}{O{{C}^{2}}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $left{ begin{array}{l}OAbot OB\OAbot OCend{array} right.Rightarrow OAbot left( OBC right)Rightarrow OAbot BC$ .

Tương tự ta chứng minh $OBbot left( OCA right)Rightarrow OBbot CA$ .

$OCbot left( OAB right)Rightarrow OCbot AB$ .

b) Vì $OHbot left( ABC right)$ nên $OHbot BC$ và $OAbot BC$ .

$Rightarrow BCbot left( OAH right)Rightarrow BCbot AH$ . (1)

Chứng minh tương tự ta có $ACbot left( OBH right)Rightarrow ACbot BH$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ .

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$ . Trong tam giác $AOK$ vuông tại $O$ , ta có $OH$ đường cao.

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta có:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 7 Cách trị mụn ẩn dưới da bằng bột yến mạch hiệu quả nhất 2022 | Mytranshop.com

$frac{1}{O{{H}^{2}}}=frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{K}^{2}}}$ (1)

Vì $BC$ vuông góc với mặt phẳng $left( OAH right)$ nên $BCbot OK$ . Do đó trong tam giác $OBC$ vuông tại $O$ với đường cao $OK$ , ta có:

$frac{1}{O{{K}^{2}}}=frac{1}{O{{B}^{2}}}+frac{1}{O{{C}^{2}}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $frac{1}{O{{H}^{2}}}=frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}+frac{1}{O{{C}^{2}}}$ .

Ví dụ 1.4: Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi $ABCD$ tâm $O$ và có $SA=SC$ , $SB=SD$ .

a) Chứng minh $SO$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABCD right)$ .

b) Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BA,BC$ . Chứng minh rằng $IKbot left( SBD right)$ và $IKbot SD$ .

Lời giải:

a) $O$ là tâm hình thoi $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của đoạn $AC$ .

Tam giác $SAC$ có $SA=SC$ nên $SObot AC$ .

Chứng minh tương tự ta có $SObot BD$ . Từ đó suy ra $SObot left( ABCD right)$ .

b) Vì đáy $ABCD$ là hình thoi nên $ACbot BD$ .

Mặt khác ta có $ACbot SO$ . Do đó $ACbot left( SBD right)$ .

Ta có $IK$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $IK||AC$ .

Mà $ACbot left( SBD right)$ nên $IKbot left( SBD right)$ .

Ta lại có $SDsubset left( SBD right)Rightarrow IKbot SD$ .

Dạng 2.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Để xác định góc giữa đường thẳng $displaystyle a$ và mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ ta thực hiện theo các bước sau:

– Tìm giao điểm $displaystyle O=acap left( alpha right)$ .

– Dựng hình chiếu $displaystyle A'$ của một điểm $displaystyle Ain a$ xuống $displaystyle left( alpha right)$ .

– Góc $widehat{AOA'}=varphi$ chính là góc giữa đường thẳng $displaystyle a$ và $displaystyle left( alpha right)$ .

Lưu ý:

Để dựng hình chiếu $displaystyle A'$ của điểm $displaystyle A$ trên $displaystyle left( alpha right)$ ta chọn một đường thẳng $displaystyle bbot left( alpha right)$ khi đó $displaystyle AA'parallel b$ .

Để tính góc $displaystyle varphi$ ta sử dung hệ thức lượng trong tam giác vuông $displaystyle Delta OAA'$ . Ngoài ra nếu không xác định góc $displaystyle varphi$ thì ta có thể tính góc giữa đường thẳng $displaystyle a$ và mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ theo công thức $displaystyle sin varphi =frac{left| overrightarrow{u}.overrightarrow{n} right|}{left| overrightarrow{u} right|left| overrightarrow{n} right|}$ trong đó $displaystyle overrightarrow{u}$ là VTCP của $displaystyle a$ còn $displaystyle overrightarrow{n}$ là vec tơ có giá vuông góc với $displaystyle left( alpha right)$ .

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA=asqrt{6}$ và vuông góc với đáy. Tính góc giữa:

Lời giải

a) $SAbot left( ABCD right)$ $Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $left( ABCD right)$ $Rightarrow left( SC,left( ABCD right) right)=widehat{left( SC,AC right)}=widehat{SCA}$

Ta có $AC=asqrt{2}$ nên $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{asqrt{6}}{asqrt{2}}=sqrt{3}Rightarrow widehat{SCA}={{60}^{0}}$

$Rightarrow left( SC,left( ABCD right) right)={{60}^{0}}$

b) Có $left{ begin{array}{l}BCbot AB\BCbot ASend{array} right.Rightarrow BCbot left( SAB right)$ $Rightarrow BS$ là hình chiếu của $CS$ trên mặt phẳng $left( SAB right)$

$Rightarrow left( SC,left( SAB right) right)=widehat{left( SC,SB right)}=widehat{CSB}$

Có $SB=sqrt{A{{S}^{2}}+A{{B}^{2}}}=asqrt{7}$

$displaystyle tan widehat{CSB}=frac{CB}{SB}=frac{a}{asqrt{7}}=frac{1}{sqrt{7}}Rightarrow widehat{CSB}=arctan frac{1}{sqrt{7}}$

$displaystyle Rightarrow left( SC,left( SAB right) right)=arctan frac{1}{sqrt{7}}$

c) $left{ begin{array}{l}BObot AC\BObot SAend{array} right.Rightarrow BObot left( SAC right)$ $Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SB$ trên $left( SAC right)$

$displaystyle Rightarrow left( SB,left( SAC right) right)=widehat{left( SB,SO right)}=widehat{OSB}$

$displaystyle sin widehat{OSB}=frac{BO}{SB}=frac{frac{a}{sqrt{2}}}{asqrt{7}}=frac{1}{sqrt{14}}Rightarrow widehat{OSB}=arcsin frac{1}{sqrt{14}}$

$displaystyle Rightarrow left( SB,left( SAC right) right)=arcsin frac{1}{sqrt{14}}$ .

Ví dụ 2.2: Cho hình lăng trụ xiên $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đáy là tam giác đều cạnh $a$ , đỉnh ${A}'$ cách đều $A,B,C$ , góc giữa $A{A}'$ và $left( ABC right)$ là ${{60}^{0}}$ .

Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.

Lời giải:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ .

Vì $Delta ABC$ đều và ${A}'$ cách đều $A,B,C$ nên $left{ begin{array}{l}MCbot AB,A'Mbot AB\ANbot BC,A'Nbot BCend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}A'Gbot AB\A'Gbot BCend{array} right.$ .

$Rightarrow {A}'Gbot left( ABC right)$ $Rightarrow AG$ là hình chiếu của $A{A}'$ trên $left( ABC right)Rightarrow left( A{A}',left( ABC right) right)=widehat{left( A{A}',AG right)}=widehat{{A}'AG}={{60}^{0}}$ .

Chiều cao của hình lăng trụ là $displaystyle {A}'G$

Có $displaystyle tan widehat{{A}'AG}=frac{{A}'G}{AG}Rightarrow {A}'G=AG.tan widehat{{A}'AG}=frac{2}{3}.frac{asqrt{3}}{2}.tan {{60}^{0}}=a$ .

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ , tâm $O$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $BC$ . Biết góc giữa $MN$ và mặt phẳng $left( ABCD right)$ là ${{60}^{0}}$ .

a) Tính độ dài $MN$ .

b) Tính cosin của góc giữa $MN$ và $left( SBD right)$ .

Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: 7 cách trang trí phòng khách nhà vuông cho căn hộ chung cư 2022 | Mytranshop.com

a) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $displaystyle SObot left( ABCD right)$ .

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $displaystyle left( ABCD right)$ $Rightarrow H$ là trung điểm của $AO$ .

Áp dụng định lí cosin vào tam giác $CHN$ , ta có

$H{{N}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{N}^{2}}-2.CH.CN.ctext{os}{{45}^{0}}$ $={{left( frac{3}{4}.asqrt{2} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}-2.frac{3}{4}.asqrt{2}.frac{a}{2}.frac{1}{sqrt{2}}=frac{5{{text{a}}^{2}}}{8}$

Có $HN$ là hình chiếu của $MN$ trên $displaystyle left( ABCD right)$ $Rightarrow left( MN,left( left( ABCD right) right) right)=widehat{left( MN,HN right)}=widehat{MNH}={{60}^{0}}$

$text{cos}widehat{MNH}=frac{HN}{MN}$ $Rightarrow MN=frac{HN}{text{cos}widehat{MNH}}=frac{frac{asqrt{5}}{2sqrt{2}}}{ctext{os}{{60}^{0}}}=frac{asqrt{10}}{2}$ .

Vậy $MN=frac{asqrt{10}}{2}$ .

b) Gọi $E$ là trung điểm của $SD$ , ta có $MN//CE$ $Rightarrow left( MN,left( SBD right) right)=left( EC,left( SBD right) right)$

Có $CObot left( SBD right)$ $Rightarrow OE$ là hình chiếu của $CE$ trên $left( SBD right)$ $Rightarrow left( EC,left( SBD right) right)=widehat{left( EC,EO right)}=widehat{CEO}$

Trong tam giác vuông $CEO$ có $ctext{os}widehat{CEO}=frac{EO}{EC}$ .

$EC=MN=frac{asqrt{10}}{2}$

$EO=frac{1}{2}SB$

Xét tam giác vuông $HMN$ có $sin widehat{MNH}=frac{MH}{MN}Rightarrow MH=MN.sin widehat{MNH}=frac{asqrt{10}}{2}.sin {{60}^{0}}=frac{asqrt{30}}{4}$

$Rightarrow SO=2MH=frac{asqrt{30}}{2}$ .

Xét tam giác vuông $SOB$ vuông tại $B$ có $S{{B}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}={{left( frac{asqrt{30}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{sqrt{2}} right)}^{2}}=8{{text{a}}^{2}}$ $Rightarrow SB=2text{a}sqrt{2}$

$Rightarrow OE=asqrt{2}$

Do đó $ctext{os}widehat{CEO}=frac{EO}{EC}=frac{asqrt{2}}{frac{asqrt{10}}{2}}=frac{2}{sqrt{5}}$ .

Dạng 3. Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Phương pháp:

Để xác định thiết diện của mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ đi qua điểm $displaystyle O$ và vuông góc với đường thẳng $displaystyle d$ với một hình chóp ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Tìm tất cả các đường thẳng vuông góc với $displaystyle d$ , khi đó $displaystyle left( alpha right)$ sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này và ta chuyển về dạng thiết diện song song như đã biết ở chương II.

Cách 2. Ta dựng mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ như sau:

Dựng hai đường thẳng $displaystyle a,b$ cắt nhau cùng vuông góc với $displaystyle d$ trong đó có một đường thẳng đi qua $displaystyle O$ , khi đó $displaystyle left( alpha right)$ chính là mặt phẳng $displaystyle mpleft( a,b right)$ .

Ví dụ 3.1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$ với $AB=BC=a,AD=2a;SAbot left( ABCD right)$ và $SA=2a$ .Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $AB,left( alpha right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ . Đặt $AM=xleft( 0<x<a right)$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $left( alpha right)$ .

b) Tính diện tích thiết diện theo $a$ và $x$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}Bnotin left( alpha right)\BCbot AB\left( alpha right)bot ABend{array} right.Rightarrow BC||left( alpha right)$ .

Tương tự $displaystyle left{ begin{array}{l}Anotin left( alpha right)\SAbot AB\left( alpha right)bot ABend{array} right.Rightarrow SA||left( alpha right)$ .

Do $left{ begin{array}{l}Min left( ABCD right)\BCsubset left( ABCD right)\BC||left( alpha right)end{array} right.$ $Rightarrow left( alpha right)cap left( ABCD right)=MQ||BC,Qin CD$ .

Tương tự $left{ begin{array}{l}Min left( SAB right)\SAsubset left( SAB right)\SA||left( alpha right)end{array} right.$ $Rightarrow left( alpha right)cap left( SAB right)=MN||SA,Nin SB$ .

$left{ begin{array}{l}Nin left( SBC right)cap left( alpha right)\BCsubset left( SBC right)\BC||left( alpha right)end{array} right.$ $Rightarrow left( alpha right)cap left( SBC right)=NP||BC,Pin SC$ .

Thiết diện là tứ giác $MNPQ$ .

b) Ta có $left{ begin{array}{l}MQ||BC\NP||BCend{array} right.Rightarrow MQ||NP$ nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Mặt khác $left{ begin{array}{l}MQ||AB\MN||SA\SAbot ABend{array} right.Rightarrow MQbot MN$ suy ra thiết diện là một hình thang vuông tại $M$ và $N$ .

${{S}_{MNPQ}}=frac{1}{2}left( MQ+NP right).MN$ .

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ và $K=CIcap MQ$ .

Do $MN||SA$ nên $frac{MN}{SA}=frac{BM}{BA}Rightarrow MN=frac{BM.SA}{BA}=frac{2aleft( a-x right)}{a}=2left( a-x right)$ .

$frac{NP}{BC}=frac{SN}{SB}=frac{AM}{AB}Rightarrow NP=frac{BC.AM}{AB}=frac{a.x}{x}=x$ .

Xét trong hình thang $ABCD$ ta có:

$frac{KQ}{ID}=frac{CK}{CI}=frac{AM}{AB}Rightarrow KC=frac{ID.BM}{BA}=frac{aleft( a-x right)}{a}=a-x$ .

$MQ=MK+KQ=a+left( a-x right)=2a-x$ .

${{S}_{MNPQ}}=frac{1}{2}left( 2a-x+x right).2left( a-x right)=2aleft( a-x right)$ .

Ví dụ 3.2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$ , $SAbot left( ABC right)$ và $SA=2a$ . Gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $SC$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABC$ khi cắt bởi $left( alpha right)$ .

b) Tính diện tích của thiết diện này.

Lời giải:

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ , dựng $IHbot SC,Hin SC$ .

Ta có $left{ begin{array}{l}BIbot AC\BIbot SAend{array} right.Rightarrow BIbot left( SAC right)$ . Mặt khác $IHbot SC$ nên $left( BIH right)bot SC$ .

Vậy $left( BIH right)$ chính là mặt phẳng $left( alpha right)$ đi qua $B$ và vuông góc với $SC$ .

Thiết diện là tam giác $IBH$ .

b) Do $BIbot left( SAC right)Rightarrow IBbot IH$ nên $Delta IBH$ vuông tại $I$ .

$IB=frac{asqrt{3}}{2}$ (đường cao của tam giác đều cạnh $a$ ).

Hai tam giác $CHI$ và $CAS$ có chung góc $C$ nên chúng đồng dạng. Từ đó suy ra

$frac{IH}{SA}=frac{CI}{CS}Rightarrow IH=frac{CI.SA}{CS}=frac{CI.SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{frac{a}{2}.2a}{sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{5sqrt{5}a}{5}$ .

Vậy ${{S}_{BIH}}=frac{1}{2}.frac{asqrt{3}}{2}.frac{asqrt{5}}{5}=frac{{{a}^{2}}sqrt{15}}{20}$ .

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3. Tính chất

4. Sự liên quan giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc

B. Bài tập

Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Dạng 2.Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Thiết diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Leave a Comment Cancel reply