Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

1. Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền $D,(Dsubset mathbb{R})$ .

a) $M=underset{D}{mathop{{max }}},f(x)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x)le M,forall xin D\exists {{x}_{0}}in D,text{sao},text{cho},f({{x}_{0}})=Mend{array} right.$

b) $m=underset{D}{mathop{{min }}},f(x)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x)ge m,forall xin D\exists {{x}_{0}}in D,,text{sao},text{cho},f({{x}_{0}})=mend{array} right.$

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc:

+ Tìm TXĐ.

+ Tính y’, tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ trên khoảng (a; b), tại đó $f'(x)$ bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tính $f(a),f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(b)$ .

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M=underset{D}{mathop{{max }}},f(x),,,m=underset{{text{ }!![!!text{ }a,btext{ }!!]!!text{ }}}{mathop{{min }}},f(x)$

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa lần 1 – 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=frac{{{{x}^{2}}+3}}{{x-1}}$ trên đoạn [2;4]

A. $underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=6$ . B. $underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=-2$ . C. $underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=-3$ . D. $underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=frac{{19}}{3}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }1}$ , xét $xin text{ }!![!!text{ }2;4]$

Đạo hàm $y'=frac{{({{x}^{2}}+3)'.(x-1)-(x-1)'.({{x}^{2}}+3)}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$

$y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1,,notin text{ }!![!!text{ }2;4]\x=3,,,,,in text{ }!![!!text{ }2;4]end{array} right.$

Ta có $y(2)=7;,y(3)=6;,,y(4)=frac{{19}}{3}$

Vậy $underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=6Leftrightarrow x=3$ . Chọn A.

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2017)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x+1-frac{4}{{x+2}}$ trên đoạn $displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;2]$ .

A. $underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=7$ B. $underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-1$ C. $underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-2$ D. $underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=2$

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }-2}$

Đạo hàm $y'=-1+frac{4}{{{{{(x+2)}}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=4Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0,,,,in text{ }!![!!text{ }-1;2]\x=-4notin text{ }!![!!text{ }-1;2]end{array} right.$

Ta có $y(-1)=y(2)=-2;,,y(0)=-1$ . Do đó $underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-1$ .

Ví dụ 1.3 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2017 Lần 3)

Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+10$ trên đoạn $displaystyle text{ }!![!!text{ }-3;3]$ .

A. 3 B. 18 C. $-18$ D. 7

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Thú Vị Với Các Vị Trí Trong Bóng Rổ 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ , xét $xin text{ }!![!!text{ }-3;3]$ .

Ta có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=2end{array} right.$

Lại có $y(-3)=-35;,y(-1)=17;,,y(2)=-10;,,y(3)=1$ . Do đó $underset{{text{ }!![!!text{ }-3;3]}}{mathop{{min }}},y=-35;,,underset{{text{ }!![!!text{ }-3;3]}}{mathop{{max }}},y=17$

Vậy tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 18.

Chọn B.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước 2017 Lần 4)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+1+sqrt{{2-{{x}^{2}}}}$ . Tính $M-m$ .

A. $M-m=2-sqrt{2}$ . B. $M-m=4-sqrt{2}$ .

C. $M-m=2sqrt{2}$ . D. $M-m=2+sqrt{2}$ .

Lời giải:

TXĐ: $displaystyle text{ }!![!!text{ }-2;2]$

Ta có $f'(x)=1-frac{x}{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}=frac{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x}}{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}$

$Rightarrow f'(x)=0Leftrightarrow sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x=0Leftrightarrow sqrt{{2-{{x}^{2}}}}=xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0\2-{{x}^{2}}={{x}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow x=1$

Lại có $f(1)=3,,f(sqrt{2})=1+sqrt{2},,f(-sqrt{2})=1-sqrt{2}$ .

Do đó $M=3;m=1-sqrt{2}Rightarrow M-m=2+sqrt{2}$ . Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.5 (Sở GD Hải Dương 2017)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+sqrt{2}cos x$ trên $text{ }!![!!text{ }0;frac{pi }{2}text{ }!!]!!text{ }$ . Tính $M-m$ .

A. $frac{pi }{4}-1+sqrt{2}$ . B. $frac{pi }{4}+1-sqrt{2}$ . C. $frac{pi }{2}-sqrt{2}$ . D. $1-frac{pi }{4}$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ , xét $xin text{ }!![!!text{ }0;frac{pi }{2}text{ }!!]!!text{ }$ .

Ta có $y'=1-sqrt{2}sin x=0Leftrightarrow sin x=frac{1}{{sqrt{2}}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{4}+k2pi \x=frac{{3pi }}{4}+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})$

Xét $0le frac{pi }{4}+k2pi le frac{pi }{2}Leftrightarrow -frac{1}{4}le 2kle frac{1}{4}$ . Vì $kin mathbb{Z}Rightarrow k=0$ tức là $x=frac{pi }{4}$

Xét $0le frac{{3pi }}{4}+k2pi le frac{pi }{2}Leftrightarrow -frac{3}{4}le 2kle -frac{1}{4}$ . Vì $kin mathbb{Z}Rightarrow$ Không tồn tại k.

Vì $y(0)=sqrt{2};,,y(frac{pi }{2})=frac{pi }{2};,,y(frac{pi }{4})=frac{pi }{4}+1Rightarrow M=frac{pi }{4}+1,,,m=sqrt{2}$ .

Do vậy $M-m=frac{pi }{4}+1-sqrt{2}$ . Chọn B.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Dẫn đầu xu hướng với sofa cửa sổ vừa độc đáo vừa tiện lợi - 2022 | Mytranshop.com

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền không phải đoạn

Phương pháp:

Ví dụ 2.1 (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}+frac{2}{x}$ trên khoảng $(0;+infty )$ .

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}$ , xét $xin (0;+infty )$ .

Ta có $y'=2x-frac{2}{{{{x}^{2}}}}=frac{{2{{x}^{3}}-2}}{{{{x}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2=0Leftrightarrow x=1$

Do $underset{{xto {{0}^{+}}}}{mathop{{lim }}},f(x)=+infty ;underset{{xto +infty }}{mathop{{lim }}},=+infty ;y(1)=3$ .

Bảng biến thiên:

Do đó $underset{{(0;+infty )}}{mathop{{min }}},y=3$ . Chọn C.

Ví dụ 2.2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+18x$ trên nửa khoảng $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )$ là

A. 1. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+6x+18=3({{x}^{2}}+2x+6)=3{{(x+1)}^{2}}+15>0,forall xin mathbb{R}$

⇒ Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ ⇒ Hàm số cũng đồng biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )$

$Rightarrow underset{{text{ }!![!!text{ }0;+infty )}}{mathop{{min }}},y=y(0)=0$ . Vậy chọn C.

Ví dụ 2.3 (THPT Lý Thái Tổ – Hà Nội 2017)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}}$ trên khoảng $(-3;3)$ là

A. 4. B. 6. C. $-2$ . D. 2.

Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Tìm Hiểu Ý Nghĩa Của Từ Đá Bóng Đối Với Cuộc Sống 2022 | Mytranshop.com

TXĐ: $D=text{ }!![!!text{ }0;4]$ , xét $xin (-3;3)$

Ta có $y'=frac{{-x+2}}{{sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow -x+2=0Leftrightarrow x=2$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $underset{{(-3;3)}}{mathop{{max }}},y=2Leftrightarrow x=2$ .

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có sử dụng phép đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Ví dụ 3.1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{sin }^{3}}x-cos 2x+sin x+2$ trên khoảng $(-frac{pi }{2};frac{pi }{2})$ bằng:

A. $frac{{23}}{{27}}$ . B. $frac{1}{{27}}$ . C. 5. D. 1.

Lời giải:

$y={{sin }^{3}}x-cos 2x+sin x+2={{sin }^{3}}x-(1-2{{sin }^{2}}x)+sin x+2={{sin }^{3}}x+2{{sin }^{2}}x+sin x+1$

Đặt $t=sin x,xin (-frac{pi }{2};frac{pi }{2})Rightarrow tin (-1;1)$ , hàm số trở thành

$f(t)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t+1$ với $tin (-1;1)$

$f'(t)=3{{t}^{2}}+4t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=-1\t=-frac{1}{3}end{array} right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $underset{{(-1;1)}}{mathop{{min }}},f(t)=frac{{23}}{{27}}Rightarrow underset{{(-frac{pi }{2};frac{pi }{2})}}{mathop{{min }}},y=frac{{23}}{{27}}$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.2: Hàm số $y={{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}-({{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}})-2(x+frac{1}{x})$ với $x>0$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 5. B. $-1$ . C. $-4$ . D. 2.

Lời giải:

Đặt $t=x+frac{1}{x}ge 2,forall x>0Rightarrow tin text{ }!![!!text{ }2;+infty )$

Ta có ${{t}^{2}}={{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}}+2Rightarrow {{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}}={{t}^{2}}-2$

${{t}^{3}}={{(x+frac{1}{x})}^{3}}={{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}+3(x+frac{1}{x})Rightarrow {{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}={{t}^{3}}-3t$

Hàm số trở thành $f(t)=({{t}^{3}}-3t)-({{t}^{2}}-2)-2t={{t}^{3}}-{{t}^{2}}-5t+2$ .

$f'(t)=3{{t}^{2}}-2t-5>0,forall tin text{ }!![!!text{ }2;+infty )Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $text{ }!![!!text{ }2;+infty )$ .

Do đó $underset{{text{ }!![!!text{ }2;+infty )}}{mathop{{min }}},f(t)=f(2)=-4$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Cho $x,yge 0$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S=x+y-xy$ .

Lời giải:

Đặt $t=x+yRightarrow t>0$ . Ta có

$begin{array}{l}{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=4Rightarrow tle 2,\{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xyge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2Rightarrow tge sqrt{2}.end{array}$

Suy ra $tin text{ }!![!!text{ }sqrt{2},2]$ . Lại có $xy=frac{{{{{(x+y)}}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}}{2}=frac{1}{2}{{t}^{2}}-1Rightarrow S=f(t)=-frac{1}{2}{{t}^{2}}+t+1$

Ta có $f'(t)=-t+1>0$ với mọi $tin (sqrt{2};2),,f(2)=1,,f(1)=frac{3}{2}.$ Do đó

$min S=f(2)=1$ , đạt được $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+y=2\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\y=1end{array} right.$

$max S=f(1)=frac{3}{2}$ , đạt được $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+y=1\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=frac{{1-sqrt{3}}}{2}\y=frac{{1+sqrt{3}}}{2}end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}x=frac{{1+sqrt{3}}}{2}\y=frac{{1-sqrt{3}}}{2}end{array} right.$ .

Dạng 4: Ứng dụng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc biện luận phương trình, bất phương trình

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

1. Định nghĩa:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền không phải đoạn

Phương pháp:

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có sử dụng phép đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Leave a Comment Cancel reply