Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

1. Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D,(Dsubset mathbb{R}).

    a) M=underset{D}{mathop{{max }}},f(x)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x)le M,forall xin D\exists {{x}_{0}}in D,text{sao},text{cho},f({{x}_{0}})=Mend{array} right.

    b) m=underset{D}{mathop{{min }}},f(x)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x)ge m,forall xin D\exists {{x}_{0}}in D,,text{sao},text{cho},f({{x}_{0}})=mend{array} right.

 

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

  • Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

  • Quy tắc:

    + Tìm TXĐ.

    + Tính y’, tìm các điểm {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} trên khoảng (a; b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không xác định.

    + Tính f(a),f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(b).

    + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

    M=underset{D}{mathop{{max }}},f(x),,,m=underset{{text{ }!![!!text{ }a,btext{ }!!]!!text{ }}}{mathop{{min }}},f(x)

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa lần 1 – 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=frac{{{{x}^{2}}+3}}{{x-1}} trên đoạn [2;4]

    A. underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=6.             B. underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=-2.                C. underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=-3.                  D. underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=frac{{19}}{3}.

                                                                       Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }1}, xét xin text{ }!![!!text{ }2;4]

Đạo hàm y'=frac{{({{x}^{2}}+3)'.(x-1)-(x-1)'.({{x}^{2}}+3)}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}

y'=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1,,notin text{ }!![!!text{ }2;4]\x=3,,,,,in text{ }!![!!text{ }2;4]end{array} right.

Ta có y(2)=7;,y(3)=6;,,y(4)=frac{{19}}{3}

Vậy underset{{text{ }!![!!text{ }2;4]}}{mathop{{min }}},y=6Leftrightarrow x=3. Chọn A.

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2017)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=-x+1-frac{4}{{x+2}} trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }-1;2].

    A. underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=7            B. underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-1                C. underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-2                  D. underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=2

                                                                         Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mẫu đơn xin phép sửa chữa nhà cấp 4 chuẩn xác đúng quy định 2022 | Mytranshop.com

TXĐ: D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }-2}

Đạo hàm y'=-1+frac{4}{{{{{(x+2)}}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}=4Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0,,,,in text{ }!![!!text{ }-1;2]\x=-4notin text{ }!![!!text{ }-1;2]end{array} right.

Ta có y(-1)=y(2)=-2;,,y(0)=-1. Do đó underset{{text{ }!![!!text{ }-1;2]}}{mathop{{max }}},y=-1.

Ví dụ 1.3 (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2017 Lần 3)

Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+10 trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }-3;3].

    A. 3                          B. 18                                 C. -18                              D. 7

                                                                        Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}, xét xin text{ }!![!!text{ }-3;3].

Ta có y'=6{{x}^{2}}-6x-12Rightarrow y'=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\x=2end{array} right.

Lại có y(-3)=-35;,y(-1)=17;,,y(2)=-10;,,y(3)=1. Do đó underset{{text{ }!![!!text{ }-3;3]}}{mathop{{min }}},y=-35;,,underset{{text{ }!![!!text{ }-3;3]}}{mathop{{max }}},y=17

Vậy tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 18.

Chọn B.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước 2017 Lần 4)

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=x+1+sqrt{{2-{{x}^{2}}}}. Tính M-m.

    A. M-m=2-sqrt{2}.                                B. M-m=4-sqrt{2}.        

    C. M-m=2sqrt{2}.                                     D. M-m=2+sqrt{2}.

                                                                       Lời giải:

TXĐ: displaystyle text{ }!![!!text{ }-2;2]

Ta có f'(x)=1-frac{x}{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}=frac{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x}}{{sqrt{{2-{{x}^{2}}}}}}

Rightarrow f'(x)=0Leftrightarrow sqrt{{2-{{x}^{2}}}}-x=0Leftrightarrow sqrt{{2-{{x}^{2}}}}=xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0\2-{{x}^{2}}={{x}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow x=1

Lại có f(1)=3,,f(sqrt{2})=1+sqrt{2},,f(-sqrt{2})=1-sqrt{2}.

Do đó M=3;m=1-sqrt{2}Rightarrow M-m=2+sqrt{2}. Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.5 (Sở GD Hải Dương 2017)

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+sqrt{2}cos x trên text{ }!![!!text{ }0;frac{pi }{2}text{ }!!]!!text{ }. Tính M-m.

     A. frac{pi }{4}-1+sqrt{2}.                   B. frac{pi }{4}+1-sqrt{2}.                   C. frac{pi }{2}-sqrt{2}.                     D. 1-frac{pi }{4}.

                                                                          Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Mạch động lực sao tam giác - Bài viết hay nhất, đầy đủ nhất

TXĐ: D=mathbb{R}, xét xin text{ }!![!!text{ }0;frac{pi }{2}text{ }!!]!!text{ }.

Ta có y'=1-sqrt{2}sin x=0Leftrightarrow sin x=frac{1}{{sqrt{2}}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{4}+k2pi \x=frac{{3pi }}{4}+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})

Xét 0le frac{pi }{4}+k2pi le frac{pi }{2}Leftrightarrow -frac{1}{4}le 2kle frac{1}{4}. Vì kin mathbb{Z}Rightarrow k=0 tức là x=frac{pi }{4}

Xét 0le frac{{3pi }}{4}+k2pi le frac{pi }{2}Leftrightarrow -frac{3}{4}le 2kle -frac{1}{4}. Vì kin mathbb{Z}Rightarrow Không tồn tại k.

Vì y(0)=sqrt{2};,,y(frac{pi }{2})=frac{pi }{2};,,y(frac{pi }{4})=frac{pi }{4}+1Rightarrow M=frac{pi }{4}+1,,,m=sqrt{2}.

Do vậy M-m=frac{pi }{4}+1-sqrt{2}. Chọn B.

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền không phải đoạn 

Phương pháp:

Ví dụ 2.1 (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y={{x}^{2}}+frac{2}{x} trên khoảng (0;+infty ).

   A. 4                     B. 2                         C. 3                             D. 1

                                                                    Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}backslash text{ }!!{!!text{ }0}, xét xin (0;+infty ).

Ta có y'=2x-frac{2}{{{{x}^{2}}}}=frac{{2{{x}^{3}}-2}}{{{{x}^{2}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-2=0Leftrightarrow x=1

Do underset{{xto {{0}^{+}}}}{mathop{{lim }}},f(x)=+infty ;underset{{xto +infty }}{mathop{{lim }}},=+infty ;y(1)=3.

Bảng biến thiên:

Do đó underset{{(0;+infty )}}{mathop{{min }}},y=3. Chọn C.

Ví dụ 2.2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+18x trên nửa khoảng displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty ) là

    A. 1.                      B. 0.                         C. 2.                           D. 1.

                                                                     Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}

Ta có y'=3{{x}^{2}}+6x+18=3({{x}^{2}}+2x+6)=3{{(x+1)}^{2}}+15>0,forall xin mathbb{R}

⇒ Hàm số đồng biến trênmathbb{R} ⇒ Hàm số cũng đồng biến trên displaystyle text{ }!![!!text{ }0;+infty )

Rightarrow underset{{text{ }!![!!text{ }0;+infty )}}{mathop{{min }}},y=y(0)=0. Vậy chọn C.

Ví dụ 2.3 (THPT Lý Thái Tổ – Hà Nội 2017)

Giá trị lớn nhất của hàm số y=sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}} trên khoảng (-3;3) là

    A. 4.                           B. 6.                               C. -2.                               D. 2.

                                                                        Lời giải:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Thời gian tiêu hóa thức ăn của cơ thể là bao lâu? 2022 | Mytranshop.com

TXĐ: D=text{ }!![!!text{ }0;4], xét xin (-3;3)

Ta có y'=frac{{-x+2}}{{sqrt{{-{{x}^{2}}+4x}}}}Rightarrow y'=0Leftrightarrow -x+2=0Leftrightarrow x=2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra underset{{(-3;3)}}{mathop{{max }}},y=2Leftrightarrow x=2.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có sử dụng phép đặt ẩn phụ 

Phương pháp:

Ví dụ 3.1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y={{sin }^{3}}x-cos 2x+sin x+2 trên khoảng (-frac{pi }{2};frac{pi }{2})bằng:

    A. frac{{23}}{{27}} .                       B. frac{1}{{27}}.                       C. 5.                            D. 1.

                                                                    Lời giải:

y={{sin }^{3}}x-cos 2x+sin x+2={{sin }^{3}}x-(1-2{{sin }^{2}}x)+sin x+2={{sin }^{3}}x+2{{sin }^{2}}x+sin x+1

Đặt t=sin x,xin (-frac{pi }{2};frac{pi }{2})Rightarrow tin (-1;1), hàm số trở thành

f(t)={{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+t+1 với tin (-1;1)

f'(t)=3{{t}^{2}}+4t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=-1\t=-frac{1}{3}end{array} right.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra underset{{(-1;1)}}{mathop{{min }}},f(t)=frac{{23}}{{27}}Rightarrow underset{{(-frac{pi }{2};frac{pi }{2})}}{mathop{{min }}},y=frac{{23}}{{27}}

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.2: Hàm số y={{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}-({{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}})-2(x+frac{1}{x}) với x>0 đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

     A. 5.                           B. -1.                           C. -4.                             D. 2.

                                                                            Lời giải:

Đặt t=x+frac{1}{x}ge 2,forall x>0Rightarrow tin text{ }!![!!text{ }2;+infty )

Ta có {{t}^{2}}={{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}}+2Rightarrow {{x}^{2}}+frac{1}{{{{x}^{2}}}}={{t}^{2}}-2

{{t}^{3}}={{(x+frac{1}{x})}^{3}}={{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}+3(x+frac{1}{x})Rightarrow {{x}^{3}}+frac{1}{{{{x}^{3}}}}={{t}^{3}}-3t

Hàm số trở thành f(t)=({{t}^{3}}-3t)-({{t}^{2}}-2)-2t={{t}^{3}}-{{t}^{2}}-5t+2.

f'(t)=3{{t}^{2}}-2t-5>0,forall tin text{ }!![!!text{ }2;+infty )Rightarrow Hàm số đồng biến trên khoảng text{ }!![!!text{ }2;+infty ).

Do đó underset{{text{ }!![!!text{ }2;+infty )}}{mathop{{min }}},f(t)=f(2)=-4.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Cho x,yge 0 thỏa mãn {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S=x+y-xy.

Lời giải:

Đặt t=x+yRightarrow t>0. Ta có 

begin{array}{l}{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=4Rightarrow tle 2,\{{t}^{2}}={{(x+y)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xyge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2Rightarrow tge sqrt{2}.end{array}

Suy ra tin text{ }!![!!text{ }sqrt{2},2]. Lại có xy=frac{{{{{(x+y)}}^{2}}-({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}}{2}=frac{1}{2}{{t}^{2}}-1Rightarrow S=f(t)=-frac{1}{2}{{t}^{2}}+t+1

Ta có f'(t)=-t+1>0 với mọi tin (sqrt{2};2),,f(2)=1,,f(1)=frac{3}{2}. Do đó

min S=f(2)=1, đạt được Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+y=2\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=1\y=1end{array} right.

max S=f(1)=frac{3}{2}, đạt được Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+y=1\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=frac{{1-sqrt{3}}}{2}\y=frac{{1+sqrt{3}}}{2}end{array} right. hoặc left{ begin{array}{l}x=frac{{1+sqrt{3}}}{2}\y=frac{{1-sqrt{3}}}{2}end{array} right. .

Dạng 4: Ứng dụng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc biện luận phương trình, bất phương trình

Leave a Comment