Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song , trắc nghiệm toán học lớp 11 2022

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng $displaystyle a$ và $displaystyle b$ trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với $displaystyle a$ và $displaystyle b$ :

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả $displaystyle a$ và $displaystyle b$ , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả $displaystyle a$ và $displaystyle b$ , khi đó ta nói $displaystyle a$ và $displaystyle b$ là hai đường thẳng chéo nhau.

2. Các định lí và tính chất.

– Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng $displaystyle a$ có một và chỉ một đường thẳng song song với $displaystyle a$ .

– Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
– Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.

B. Bài tập

Dạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng $displaystyle left( alpha right)$ và $displaystyle left( beta right)$ có điểm chung $displaystyle M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $displaystyle d$ và $displaystyle d'$ thì giao tuyến của $displaystyle left( alpha right)$ và $displaystyle left( beta right)$ là đường thẳng đi qua $displaystyle M$ song song với $displaystyle d$ và $displaystyle d'$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $displaystyle left( SAB right)$ và $displaystyle left( SCD right)$

A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B. là đường thẳng đi qua S

C. là điểm S

D. là mặt phẳng (SAD)

Lời giải:

Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}ABsubset left( SAB right)\CDsubset left( SCD right)\ABparallel CD\Sin left( SAB right)cap left( SCD right)end{array} right.$

$displaystyle Rightarrow left( SAB right)cap left( SCD right)=dparallel ABparallel CD,Sin d$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là hình thang với các cạnh đáy là $displaystyle AB$ và $displaystyle CD$ . Gọi $displaystyle I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $displaystyle AD$ và $displaystyle BC$ và $displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $displaystyle SAB$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Các Bước Skincare Innisfree Cho Da Dầu 2022 | Mytranshop.com

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $displaystyle left( SAB right)$ và $displaystyle left( IJG right)$ .

A.là đường thẳng song song với AB

B.là đường thẳng song song vơi CD

C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD

D.Cả A, B, C đều đúng

b) Tìm điều kiện của $displaystyle AB$ và $displaystyle CD$ để thiết diện của $displaystyle left( IJG right)$ và hình chóp là một hình bình hành.

A. $displaystyle AB=frac{2}{3}CD$ B. $displaystyle AB=CD$ C. $displaystyle AB=frac{3}{2}CD$ D. $displaystyle AB=3CD$

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle ABCD$ là hình thang và $displaystyle I,J$ là trung điểm của $displaystyle AD,BC$ nên $displaystyle IJ//AB$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}Gin left( SAB right)cap left( IJG right)\ABsubset left( SAB right)\IJsubset left( IJG right)\ABparallel IJend{array} right.$

$displaystyle Rightarrow left( SAB right)cap left( IJG right)=MNparallel IJparallel AB$ với

$displaystyle Min SA,Nin SB$ .

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác $displaystyle MNJI$ .

Do $displaystyle G$ là trọng tâm tam giác $displaystyle SAB$ và $displaystyle MNparallel AB$ nên $displaystyle frac{MN}{AB}=frac{SG}{SE}=frac{2}{3}$

( $displaystyle E$ là trung điểm của $displaystyle AB$ ).

$displaystyle Rightarrow MN=frac{2}{3}AB$ .

Lại có $displaystyle IJ=frac{1}{2}left( AB+CD right)$ . Vì $displaystyle MNparallel IJ$ nên $displaystyle MNIJ$ là hình thang, do đó $displaystyle MNIJ$ là hình bình hành khi $displaystyle MN=IJ$

$displaystyle Leftrightarrow frac{2}{3}AB=frac{1}{2}left( AB+CD right)Leftrightarrow AB=3CD$ .

Vậy thết diện là hình bình hành khi $displaystyle AB=3CD$ .

Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

Phương pháp:

Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:

– Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
– Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
– Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
– Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một hình thang với đáy lớn $displaystyle AB$ . Gọi $displaystyle M,N$ lần lượt là trung điểm của $displaystyle SA$ và $displaystyle SB$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

A. $displaystyle MN$ song song với $displaystyle CD$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Các Loại Giày Bóng Đá Đinh Sân Cỏ Phổ Biến 2022 | Mytranshop.com

B. $displaystyle MN$ chéo với $displaystyle CD$ .

C. $displaystyle MN$ cắt với $displaystyle CD$ .

D. $displaystyle MN$ trùng với $displaystyle CD$ .

b) Gọi $displaystyle P$ là giao điểm của $displaystyle SC$ và $displaystyle left( ADN right)$ , $displaystyle I$ là giao điểm của $displaystyle AN$ và $displaystyle DP$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $displaystyle SI$ song song với $displaystyle CD$ .

B. $displaystyle SI$ chéo với $displaystyle CD$ .

C. $displaystyle SI$ cắt với $displaystyle CD$ .

D. $displaystyle SI$ trùng với $displaystyle CD$ .

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle MN$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle SAB$ nên $displaystyle MNparallel AB$ .

Lại có $displaystyle ABCD$ là hình thang $displaystyle Rightarrow AB//CD$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}MNparallel AB\CDparallel ABend{array} right.Rightarrow MNparallel CD$ .

b) Trong $displaystyle left( ABCD right)$ gọi $displaystyle E=ADcap BC$ , trong $displaystyle left( SCD right)$ gọi $displaystyle P=SCcap EN$ .

Ta có $displaystyle Ein ADsubset left( ADN right)$ $displaystyle Rightarrow ENsubset left( AND right)Rightarrow Pin left( ADN right)$ .

Vậy $displaystyle P=SCcap left( ADN right)$ .

Do $displaystyle I=ANcap DPRightarrow left{ begin{array}{l}Iin AN\Iin DPend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}Iin left( SAB right)\Iin left( SCD right)end{array} right.Rightarrow SI=left( SAB right)cap left( SCD right)$ .

Ta có $displaystyle left{ begin{array}{l}ABsubset left( SAB right)\CDsubset left( SCD right)\ABparallel CD\left( SAB right)cap left( SCD right)=SIend{array} right.Rightarrow SIparallel CD$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một hình thang với đáy $displaystyle AD$ và $displaystyle BC$ . Biết $displaystyle AD=a,BC=b$ . Gọi $displaystyle I$ và $displaystyle J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $displaystyle SAD$ và $displaystyle SBC$ . Mặt phẳng $displaystyle left( ADJ right)$ cắt $displaystyle SB,SC$ lần lượt tại $displaystyle M,N$ . Mặt phẳng $displaystyle left( BCI right)$ cắt $displaystyle SA,SD$ tại $displaystyle P,Q$ .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $displaystyle MN$ song sonng với $displaystyle PQ$ .

B. $displaystyle MN$ chéo với $displaystyle PQ$ .

C. $displaystyle MN$ cắt với $displaystyle PQ$ .

D. $displaystyle MN$ trùng với $displaystyle PQ$ .

b) Giải sử $displaystyle AM$ cắt $displaystyle BP$ tại $displaystyle E$ ; $displaystyle CQ$ cắt $displaystyle DN$ tại $displaystyle F$ . Chứng minh $displaystyle EF$ song song với $displaystyle MN$ và $displaystyle PQ$ . Tính $displaystyle EF$ theo $displaystyle a,b$ .

A. $displaystyle EF=frac{1}{2}left( a+b right)$ B. $displaystyle EF=frac{3}{5}left( a+b right)$ C. $displaystyle EF=frac{2}{3}left( a+b right)$ D. $displaystyle EF=frac{2}{5}left( a+b right)$

Lời giải:

a) Ta có $displaystyle Iin left( SAD right)Rightarrow Iin left( SAD right)cap left( IBC right)$ .

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}ADsubset left( SAD right)\BCsubset left( IBC right)\ADparallel BC\left( SAD right)cap left( IBC right)=PQend{array} right.$

$displaystyle Rightarrow PQparallel ADparallel BCtext{ }left( 1 right)$

Tương tự $displaystyle Jin left( SBC right)Rightarrow Jin left( SBC right)cap left( ADJ right)$

Vậy $displaystyle left{ begin{array}{l}ADsubset left( ADJ right)\BCsubset left( SBC right)\ADparallel BC\left( SBC right)cap left( ADJ right)=MNend{array} right.$

$displaystyle Rightarrow MNparallel ADparallel BCtext{ }left( 2 right)$

Từ $displaystyle left( 1 right)$ và $displaystyle left( 2 right)$ suy ra $displaystyle MNparallel PQ$ .

b) Ta có $displaystyle E=AMcap BPRightarrow left{ begin{array}{l}Ein left( AMND right)\Ein left( PBCQ right)end{array} right.$ ; $displaystyle F=DNcap CQRightarrow left{ begin{array}{l}Fin left( AMND right)\Fin left( PBCQ right)end{array} right.$

Do đó $displaystyle EF=left( AMND right)cap left( PBCQ right)$ . Mà $displaystyle left{ begin{array}{l}ADparallel BC\MNparallel PQend{array} right.Rightarrow EFparallel ADparallel BCparallel MNparallel PQ$ .

Tính $displaystyle EF$ : Gọi $displaystyle K=CPcap EFRightarrow EF=EK+KF$

Ta có $displaystyle EKparallel BCRightarrow frac{EK}{BC}=frac{PE}{PB}text{ }left( 1 right)$ , $displaystyle PMparallel ABRightarrow frac{PE}{EB}=frac{PM}{AB}$

Mà $displaystyle frac{PM}{AB}=frac{SP}{SA}=frac{2}{3}Rightarrow frac{PE}{EB}=frac{2}{3}$ .

Từ $displaystyle left( 1 right)$ suy ra $displaystyle frac{EK}{BC}=frac{PE}{PB}=frac{PE}{PE+EB}=frac{1}{1+frac{EB}{PE}}=frac{2}{5}Rightarrow EK=frac{2}{5}BC=frac{2}{5}b$

Tương tự $displaystyle KF=frac{2}{5}a$ . Vậy $displaystyle EF=EK+KF=frac{2}{5}left( a+b right)$ .

Dạng 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

Để chứng minh bốn điểm $displaystyle A,B,C,D$ đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng $displaystyle a,b$ lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh $displaystyle a,b$ song song hoặc cắt nhau, khi đó $displaystyle A,B,C,D$ thuôc $displaystyle mpleft( a,b right)$ .

Để chứng minh ba đường thẳng $displaystyle a,b,c$ đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh $displaystyle a,b,c$ lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng $displaystyle left( alpha right),left( beta right),left( delta right)$ trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được $displaystyle a,b,c$ đồng qui.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là một tứ giác lồi. Gọi $displaystyle M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $displaystyle SA,SB,SC$ và $displaystyle SD$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Định nghĩa và phép toán về số phức, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $displaystyle ME,NF,SO$ đôi một song song ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

B. $displaystyle ME,NF,SO$ không đồng quy ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

C. $displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

D. $displaystyle ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

B. Bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ không đồng phẳng.

C. MN, EF chéo nhau

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

a) Trong $displaystyle left( SAC right)$ gọi $displaystyle I=MEcap SO$ , dễ thấy $displaystyle I$ là trung điểm của $displaystyle SO$ , suy ra $displaystyle FI$ là đường trung bình của tam giác $displaystyle SOD$ .

Vậy $displaystyle FI//OD$ .

Tương tự ta có $displaystyle NIparallel OB$ nên $displaystyle N,I,F$ thẳng hàng hay $displaystyle Iin NF$ .

Vậy minh $displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui .

b) Do $displaystyle MEcap NF=I$ nên $displaystyle ME$ và $displaystyle NF$ xác định một mặt phẳng. Suy ra $displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $displaystyle S.ABCD$ có đáy $displaystyle ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $displaystyle M,N,E,F$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $displaystyle SAB,SBC,SCD$ và $displaystyle SDA$ . Chứng minh:

a) Bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.

B. Bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ không đồng phẳng.

C. MN, EF chéo nhau

D. Cả A, B, C đều sai

b) Ba đường thẳng $displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $displaystyle ME,NF,SO$ đôi một song song ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

B. $displaystyle ME,NF,SO$ không đồng quy ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

C. $displaystyle ME,NF,SO$ đồng qui ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

D. $displaystyle ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau ( $displaystyle O$ là giao điểm của $displaystyle AC$ và $displaystyle BD$ ).

Lời giải:

a) Gọi $displaystyle M',N',E',F'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $displaystyle AB,BC,CD$ và $displaystyle DA$ .

Ta có $displaystyle frac{SM}{SM'}=frac{2}{3},frac{SN}{SN'}=frac{2}{3}Rightarrow frac{SM}{SM'}=frac{SN}{SN'}$

$displaystyle Rightarrow MNparallel M'N'text{ }left( 1 right)$ .

Tương tự $displaystyle frac{SE}{SE'}=frac{SF}{SF'}Rightarrow EFparallel E'F'text{ }left( 2 right)$

Lại có $displaystyle left{ begin{array}{l}M'N'parallel AC\E'F'parallel ACend{array} right.Rightarrow M'N'parallel E'F'text{ }left( 3 right)$

Từ $displaystyle left( 1 right),left( 2 right)$ và $displaystyle left( 3 right)$ suy ra $displaystyle MNparallel EF$ . Vậy bốn điểm $displaystyle M,N,E,F$ đồng phẳng.