Hai đường thẳng vuông góc , trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

Or you want a quick look:  

 

 A. Lí thuyết cơ bản

1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Góc giữa hai vecto trong không gian:

    displaystyle overrightarrow{AB}=overrightarrow{u},overrightarrow{AC}=overrightarrow{v}Rightarrow left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right)=widehat{BAC},({{0}^{0}}le widehat{BAC}le {{180}^{0}}).

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian:

Cho overrightarrow{u},overrightarrow{v}ne overrightarrow{0}. Khi đó: overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=left| overrightarrow{u} right|.left| overrightarrow{v} right|.cos left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right).

Với overrightarrow{u}=overrightarrow{0} hoặc overrightarrow{v}=overrightarrow{0}. Quy ước: overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=0.

overrightarrow{u}bot overrightarrow{v}Leftrightarrow overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=0.

displaystyle overrightarrow{u}uparrow uparrow overrightarrow{v} to widehat{left( overrightarrow{u};,overrightarrow{v} right)}=0{}^circ .

overrightarrow{u}uparrow downarrow overrightarrow{v}to widehat{left( overrightarrow{u};,overrightarrow{v} right)}=180{}^circ .

2. Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Một vectơ overrightarrow{u}ne overrightarrow{0} mà có phương song song hoặc trùng với left( d right) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng left( d right).

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng {a}'{b}' lần lượt song song với ab. Kí hiệu widehat{left( a;,b right)}

Từ định nghĩa ta có sơ đồ: left{ begin{array}{l}a//{a}'\b//{b}'end{array} right.Rightarrow widehat{left( a;,b right)}=widehat{left( {a}';,{b}' right)}.

Nhận xét:

+ Giả sử a,b có vectơ chỉ phương tương ứng là overrightarrow{u},overrightarrow{v} và widehat{left( overrightarrow{u};,overrightarrow{v} right)}=varphi .

Khi đó left{ begin{array}{l}widehat{left( a;,b right)}=varphi ,,,;,,0{}^circ le varphi le 90{}^circ \widehat{left( a;,b right)}=180{}^circ -varphi ,,,;,,90{}^circ le varphi le 180{}^circ end{array} right.

+ Nếu a//b hoặc aequiv b thì widehat{left( a;,b right)}=0{}^circ .

3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a,b được gọi là vuông góc với nhau nếu widehat{(a,b)}={{90}^{0}}. Kí hiệu là abot b.

Nếu overrightarrow{u} và overrightarrow{v} lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và bthì abot bLeftrightarrow overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=0

Nếu a//b và c vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì c vuông góc với đường thẳng còn lại.

B. Bài tập

Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng

A. Phương pháp

Muốn tính độ dài của đoạn thẳng AB hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm A và B ta dựa vào công thức: AB=left| overrightarrow{AB} right|=sqrt{{{overrightarrow{AB}}^{2}}}.

Tính góc giữa hai vecto overrightarrow{u} và overrightarrow{v} ta dựa vào công thức: cos left( overrightarrow{u},overrightarrow{v} right)=frac{overrightarrow{u}.overrightarrow{v}}{left| overrightarrow{u} right|.left| overrightarrow{v} right|}.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

    a) Tính góc giữa hai véctơ widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{BC} right)}.

    b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véctơ widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)}.

Lời giải:

    a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:

      cos widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{BC} right)}=frac{overrightarrow{AB}.,overrightarrow{BC}}{left| overrightarrow{AB} right|.,left| overrightarrow{BC} right|} =frac{overrightarrow{AB}.,overrightarrow{BC}}{AB.,BC} =frac{overrightarrow{AB}.,overrightarrow{BC}}{{{a}^{2}}},,,,,left( 1 right).

Xét overrightarrow{AB}.,overrightarrow{BC}=overrightarrow{AB}.left( overrightarrow{BA}+overrightarrow{AC} right)=overrightarrow{AB}.overrightarrow{BA}+overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}

Mà left{ begin{array}{l}overrightarrow{AB}.overrightarrow{BA}=AB.BA.cos widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{BA} right)}=a.a.cos 180{}^circ =-{{a}^{2}}\overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=AB.AC.cos widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{AC} right)}=a.a.cos 60{}^circ =frac{{{a}^{2}}}{2}end{array} right. to overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC}=-{{a}^{2}}+frac{{{a}^{2}}}{2}=-frac{{{a}^{2}}}{2}.

left( 1 right)Leftrightarrow cos widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{BC} right)}=frac{-frac{{{a}^{2}}}{2}}{{{a}^{2}}}=-frac{1}{2} to widehat{left( overrightarrow{AB};,overrightarrow{BC} right)}=120{}^circ .

    b) Ta có cos widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)}=frac{overrightarrow{CI}.,overrightarrow{AC}}{left| overrightarrow{CI} right|.,left| overrightarrow{AC} right|}=frac{overrightarrow{CI}.,overrightarrow{AC}}{CI.AC}

Tứ diện ABCD đều cạnh aCI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI=frac{asqrt{3}}{2}

Suy ra cos widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)}=frac{overrightarrow{CI}.,overrightarrow{AC}}{frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}},,,,,,left( 2 right).

Ta có overrightarrow{CI}.overrightarrow{AC}=overrightarrow{CI}.left( overrightarrow{AI}+overrightarrow{IC} right)=overrightarrow{CI}.overrightarrow{AI}+overrightarrow{CI}.overrightarrow{IC}

Do Delta ABC đều nên overrightarrow{CI}bot overrightarrow{AI}Leftrightarrow overrightarrow{CI}.overrightarrow{AI}=0

Đồng thời overrightarrow{CI}.overrightarrow{IC}=CI.IC.cos widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{IC} right)}=frac{asqrt{3}}{2}.frac{asqrt{3}}{2}.cos 180{}^circ =-frac{3{{a}^{2}}}{4}

Suy ra overrightarrow{CI}.overrightarrow{AC}=0-frac{3{{a}^{2}}}{4}=-frac{3{{a}^{2}}}{4}.

Thay vào left( 2 right) ta được left( 2 right)Leftrightarrow cos widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)}=frac{-frac{3{{a}^{2}}}{4}}{frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}}=-frac{sqrt{3}}{2} suy ra widehat{left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)}=150{}^circ .

Vậy left( overrightarrow{CI};,overrightarrow{AC} right)=150{}^circ .

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp S.ABC có SASBSC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Gọi M là trung điểm của AB.

    a) Biểu diễn các véctơ overrightarrow{SM} và overrightarrow{BC} theo các véctơ overrightarrow{SA}overrightarrow{SB}overrightarrow{SC}.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Bệnh đa nhân cách – 6 triệu chứng và 4 cách chữa trị bệnh 2022 | Mytranshop.com

    b) Tính widehat{left( overrightarrow{SM};,overrightarrow{BC} right)}.

Lời giải:

    a) Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:

     left{ begin{array}{l}overrightarrow{SA}+overrightarrow{SB}=2overrightarrow{SM}\overrightarrow{BC}=overrightarrow{BS}+overrightarrow{SC}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow{SM}=frac{1}{2}left( overrightarrow{SA}+overrightarrow{SB} right)\overrightarrow{BC}=overrightarrow{SC}-overrightarrow{SB}end{array} right..

    b) cos widehat{left( overrightarrow{SM};,overrightarrow{BC} right)}=frac{overrightarrow{SM}.overrightarrow{BC}}{left| overrightarrow{SM} right|.left| overrightarrow{BC} right|}=frac{overrightarrow{SM}.overrightarrow{BC}}{SM.BC},,,,,left( 1 right)

    Mà SASBSC đôi một vuông góc nên left{ begin{array}{l}overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}=0\overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}=0\overrightarrow{SB}.overrightarrow{SC}=0end{array} right.

    Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta được AB=BC=asqrt{2}

    suy ra SM=frac{1}{2}AB=frac{asqrt{2}}{2}.

    Theo câu a ta có:

    overrightarrow{SM}.overrightarrow{BC}=frac{1}{2}left( overrightarrow{SA}+overrightarrow{SB} right)left( overrightarrow{SC}-overrightarrow{SB} right)=frac{1}{2}left( overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}+overrightarrow{SB}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SB}.overrightarrow{SB} right)=-frac{1}{2}S{{B}^{2}}=-frac{{{a}^{2}}}{2}.

    Thay vào left( 1 right) ta được cos widehat{left( overrightarrow{SM};,overrightarrow{BC} right)}=frac{-frac{{{a}^{2}}}{2}}{frac{asqrt{2}}{2}.asqrt{2}}=-frac{1}{2} suy ra widehat{left( overrightarrow{SM};,overrightarrow{BC} right)}=120{}^circ .

Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp

Để tính góc giữa hai đường thẳng {{d}_{1}},{{d}_{2}} trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng {{d}_{1}},{{d}_{2}} bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng {{d}_{1}}',{{d}_{2}}' lần lượt song song (có thể trùng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với {{d}_{1}},{{d}_{2}}.

Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác cos A=frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}.

Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} của hai đường thẳng {{d}_{1}},{{d}_{2}}.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng {{d}_{1}},{{d}_{2}} xác định bởi cos left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} right)=frac{left| overrightarrow{{{u}_{1}}}.overrightarrow{{{u}_{2}}} right|}{left| overrightarrow{{{u}_{1}}} right|.left| overrightarrow{{{u}_{2}}} right|}.

Lưu ý: Để tính overrightarrow{{{u}_{1}}}.overrightarrow{{{u}_{2}}},,left| overrightarrow{{{u}_{1}}} right|,,left| overrightarrow{{{u}_{2}}} right| ta chọn ba vecto overrightarrow{a},overrightarrow{b},overrightarrow{c} không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} qua các vecto overrightarrow{a},overrightarrow{b},overrightarrow{c} rồi thực hiện các tính toán.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SABSADSAC là các giác vuông tại A. Biết SA=asqrt{3}AB=aAD=3a. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

    a) SD và BC.    b) SB và CD.    c) SC và BD.

Lời giải:

a) Tính góc giữa SD và BC

Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng SDBC và cắt đường thẳng còn lại.

Ta dễ nhận thấy AD//BC.

Khi đó widehat{left( SD;,BC right)}=widehat{left( SD;,AD right)}=left[ begin{array}{l}widehat{SDA}\180{}^circ -widehat{SDA}end{array} right. .

Xét Delta SAD có tan widehat{SDA}=frac{SA}{AD}=frac{sqrt{3}}{3} suy ra widehat{SDA}=30{}^circ . Vậy widehat{left( SD;,BC right)}=30{}^circ .

b) Tính góc giữa SB và CD

Tương tự, CD//AB Rightarrow widehat{left( SB;,CD right)}=widehat{left( SB;,AB right)}=left[ begin{array}{l}widehat{SBA}\180{}^circ -widehat{SBA}end{array} right. .

Xét Delta SAB có tan widehat{SBA}=frac{SA}{AB}=sqrt{3} suy ra widehat{SBA}=60{}^circ . Vậy widehat{left( SB;,CD right)}=60{}^circ .

c) Tính góc giữa SC và BD

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCDI là trung điểm của SA.

Trong Delta SAC có OI//SC suy ra widehat{left( SC;,BD right)}=widehat{left( OI;,BD right)}=left[ begin{array}{l}widehat{IOB}\180{}^circ -widehat{IOB}end{array} right. .

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI có:

IB=sqrt{I{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=frac{asqrt{7}}{2} .

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên BD=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=sqrt{{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=asqrt{10} suy ra

OB=OA=frac{asqrt{10}}{2}.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AOI có: 

IO=sqrt{I{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{3}}{2} right)}^{2}}+{{left( frac{asqrt{10}}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{13}}{2} .

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho Delta IOB ta được:

cos widehat{IOB}=frac{O{{I}^{2}}+O{{B}^{2}}-I{{B}^{2}}}{2.OI.OB}=frac{frac{13{{a}^{2}}}{4}+frac{10{{a}^{2}}}{4}-frac{7{{a}^{2}}}{4}}{2.frac{asqrt{13}}{2}.frac{asqrt{10}}{2}}=frac{8}{sqrt{130}} .

Suy ra widehat{IOB}=arccos left( frac{8}{sqrt{130}} right)=widehat{left( SC;,BD right)}.Vậy widehat{left( SC;,BD right)}=arccos left( frac{8}{sqrt{130}} right).

Ví dụ 2.2: Cho tứ diện ABCD, gọi MN là trung điểm của BCAD. Biết AB=CD=2aMN=asqrt{3}. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

Cách 1:

Do AB và CD là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với ABCD và chúng cắt nhau.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cửa Hàng Bán Ghế Massage Ninh Bình 2022 | Mytranshop.com

Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP//ABNP//CD

Rightarrow widehat{left( AB,,CD right)}=widehat{left( MP,,NP right)}=left[ begin{array}{l}widehat{MPN}\180{}^circ -widehat{MPN}end{array} right.

Do MPNP là các đường trung bình nên ta có MP=NP=a. Áp dụng định lý hàm số cosin trong Delta MPN ta được: cos widehat{MPN}=frac{M{{P}^{2}}+N{{P}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2.MP.NP}=frac{2{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2.a.a}=-frac{1}{2}

Suy ra widehat{MPN}=120{}^circ  Leftrightarrow widehat{left( MP;,NP right)}=60{}^circ . Vậy widehat{left( AB;,CD right)}=60{}^circ .

Nhận xét: Ngoài việc tạo ra điểm P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD, cách giải khí đó cũng tương tự.

Cách 2:

Ta có: cos left( AB,CD right)=cos left( PM,PN right)=frac{left| overrightarrow{PM}.overrightarrow{PN} right|}{left| overrightarrow{PM} right|.left| overrightarrow{PN} right|}.

overrightarrow{MN}=overrightarrow{PM}-overrightarrow{PN}Leftrightarrow {{overrightarrow{MN}}^{2}}=left( {{overrightarrow{PN}}^{2}}-{{overrightarrow{PM}}^{2}} right)=P{{M}^{2}}+P{{N}^{2}}-2overrightarrow{PM}.overrightarrow{PN}.

overrightarrow{PM}.overrightarrow{PN}=frac{P{{M}^{2}}+P{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2}=-frac{{{a}^{2}}}{2}.

cos left( AB,CD right)=cos left( PM,PN right)=frac{left| overrightarrow{PM}.overrightarrow{PN} right|}{left| overrightarrow{PM} right|.left| overrightarrow{PN} right|}=frac{1}{2}.

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và DAD=DC=aAB=2aSA vuông góc với AB và ADSA=frac{2sqrt{3}a}{3}. Tính góc của 2 đường thẳng:

    a) CD và SB.    b)SD và BC.

Lời giải:

    a) Do DC//AB Rightarrow widehat{left( DC;,AB right)}=widehat{left( AB;,SB right)}=alpha

Tam giác SAB vuông tại A nên alpha  là góc nhọn, khi đó tan alpha =frac{SA}{AB}=frac{frac{2asqrt{3}}{3}}{2a}=frac{sqrt{3}}{3} suy ra alpha =30{}^circ .

Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30{}^circ .

Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI=a. Tứ giác ADCI là hình hình hành (do AI//DC), có AI=AD=a nên là hình thoi. Lại có góc AD vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a suy ra DI=asqrt{2}.

Mặt khác, tứ giác BIDC là hình hình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC//DI. Khi đó, widehat{left( SD;,BC right)}=widehat{left( SD;,DI right)}.

Tam giác SAI vuông tại A nên S{{I}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}={{left( frac{2asqrt{3}}{3} right)}^{2}}+{{a}^{2}}=frac{7{{a}^{2}}}{3}.

Tam giác SAD vuông tại A nên S{{D}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}={{left( frac{2asqrt{3}}{3} right)}^{2}}+{{a}^{2}}=frac{7{{a}^{2}}}{3}.

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cos widehat{SDI}=frac{S{{D}^{2}}+D{{I}^{2}}-S{{I}^{2}}}{2.SD.DI}=frac{2{{a}^{2}}}{2.frac{asqrt{21}}{3}.asqrt{2}}=frac{3}{sqrt{42}} 

Do cos widehat{SDI}>0 nên góc SDI là góc nhọn suy ra beta =widehat{SDI}=arccos left( frac{3}{sqrt{42}} right).

Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

A. Phương pháp

Để chứng {{d}_{1}}bot {{d}_{2}} ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Chứng minh displaystyle overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}}=0, trong đó displaystyle overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} lần lượt là các vecto chỉ phương của {{d}_{1}} và {{d}_{2}}.

Sử dụng tính chất left{ begin{array}{l}b//c\abot cend{array} right.Rightarrow abot b.

Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa {{d}_{1}},{{d}_{2}} và tính trực tiếp góc đó.

B. Bài tập ví dụ    

Ví dụ 3.1: Cho tứ diện ABCD trong đó displaystyle AB=AC=AD=a,,widehat{BAC}={{60}^{0}},,widehat{BAD}={{60}^{0}},,widehat{CAD}={{90}^{0}}. Gọi I và Jlần lượt là trung điểm của AB và CD.

    a) Chứng minh rằng displaystyle IJ vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD.

    b) Tính độ dài IJ.

Lời giải:


a) Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác ABC,ABD đều, Delta ACD vuông cân tại A.

Từ đó BC=BD=a,,CD=asqrt{2}Rightarrow Delta BCD vuông cân tại B.

Chứng minh IJ vuông góc với AB

Do các Delta ACD,,Delta BCD vuông cân tại A,B nên

left{ begin{array}{l}AJ=frac{1}{2}CD\BJ=frac{1}{2}CDend{array} right.Rightarrow AJ=BJLeftrightarrow IJbot AB.

Chứng minh IJ vuông góc với CD

Do các Delta ABC,,Delta ABD đều nên CI=DIRightarrow IJbot CD.

b) Áp dụng định lí Pitago cho Delta AIJ vuông tại I ta được:

IJ=sqrt{A{{J}^{2}}-A{{I}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{asqrt{2}}{2} right)}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}}=frac{a}{2}.

Vậy IJ=frac{a}{2}.

Ví dụ 3.2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và widehat{ASB}=widehat{BSC}=widehat{CSA}. Chứng minh rằng SAbot BC,,SBbot AC,,SCbot AB.

Lời giải:

Chứng minh SAbot BC

Xét overrightarrow{SA}.overrightarrow{BC}=overrightarrow{SA}left( overrightarrow{SC}-overrightarrow{SB} right)=overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}.

Mà left{ begin{array}{l}overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}=SA.SA.cos widehat{left( overrightarrow{SA};overrightarrow{SC} right)}\overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}=SA.SB.coswidehat{left( overrightarrow{SA};overrightarrow{SB} right)}\SA=SB=SC\widehat{ASB}=widehat{BSC}=widehat{CSA}end{array} right.

begin{array}{l}Rightarrow overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}=overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}Leftrightarrow overrightarrow{SA}.overrightarrow{SC}-overrightarrow{SA}.overrightarrow{SB}=0\Leftrightarrow overrightarrow{SA}.overrightarrow{BC}=0Leftrightarrow SAbot BCend{array}

Chứng minh tương tự ta cũng được SBbot AC;,SCbot AB.

Ví dụ 3.3: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp Delta BCD.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  15 Sân Bóng Đá Lớn Nhất Châu Âu 2022 | Mytranshop.com

a) Chứng minh AO vuông góc với CD.

b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa:

    + BC và AM.

    + AC và BM.

Lời giải:


a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.

Gọi M là trung điểm của CD. Ta có:

displaystyle overrightarrow{AO}.overrightarrow{CD}=left( overrightarrow{AM}+overrightarrow{MO} right).overrightarrow{CD}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{MO}.overrightarrow{CD}.

Do displaystyle ABCD là tứ diện đều nên AMbot CD và O

là tâm đáy (hay O là giao điểm của ba đường cao).

Khi đó:

left{ begin{array}{l}AMbot CD\MObot CDend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow{AM.}overrightarrow{CD}=0\overrightarrow{MO}.overrightarrow{CD}=0end{array} right.Rightarrow overrightarrow{AO}.overrightarrow{CD}=0Leftrightarrow AObot CD.

b) Xác định góc giữa BC và AMAC và BM

Xác định góc giữa BC và AM:

Gọi I là trung điểm của BDRightarrow MI//BC.

Từ đó:

widehat{left( BC;AM right)}=widehat{left( MI;AM right)}=widehat{left( AM;MI right)}=left[ begin{array}{l}widehat{AMI}\{{180}^{0}}-widehat{AMI}end{array} right..

Áp dụng định lí hàm số cosin trong Delta AMI ta được:

cos widehat{AMI}=frac{A{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}-A{{I}^{2}}}{2.AM.MI}         (1)

Các Delta ABD,,Delta ACD đều, có cạnh a nên AI=AM=frac{asqrt{3}}{2}.

MI là đường trung bình nên MI=frac{a}{2}.

Từ đó (1)Leftrightarrow cos widehat{AMI}=frac{frac{{{a}^{2}}}{4}+frac{3{{a}^{2}}}{4}-frac{3{{a}^{2}}}{4}}{2.frac{a}{2}.frac{asqrt{3}}{2}}=frac{1}{2sqrt{3}}

Rightarrow widehat{AMI}=arccos left( frac{1}{2sqrt{3}} right)Leftrightarrow widehat{left( BC;AM right)}=arccos left( frac{1}{2sqrt{3}} right).

Xác định góc giữa BC và AM:

Gọi J là trung điểm của ADRightarrow MJ//AC.

Khi dó widehat{left( AC;BM right)}=widehat{left( MJ;BM right)}=widehat{left( MJ;BM right)}=left[ begin{array}{l}widehat{BMJ}\{{180}^{0}}-widehat{BMJ}end{array} right..

Các tam giác ABD,,BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng BJ=BM=frac{asqrt{3}}{2}.

Do đó, Delta AIM=Delta BJMRightarrow widehat{AMI}=widehat{BMJ}=arccos left( frac{1}{2sqrt{3}} right).

Vậy widehat{left( AC;BM right)}=arccos left( frac{1}{2sqrt{3}} right).

Ví dụ 3.4: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Đặt overrightarrow{AB}=overrightarrow{a},,overrightarrow{AD}=overrightarrow{b},,overrightarrow{AA'}=overrightarrow{c}.

    a) Tính góc giữa các đường thẳng widehat{left( AB;B'C' right)};,widehat{left( AC;,B'C' right)};,widehat{left( A'C';B'C right)}.

    b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho overrightarrow{OI}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OA'}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OB'}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OC'}+overrightarrow{OD}+overrightarrow{OD'}. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.

    c) Phân tích hai véc tơ overrightarrow{AC'},,overrightarrow{BD} theo ba véc tơ overrightarrow{a},overrightarrow{b},overrightarrow{c}. Từ đó, chứng tỏ rằng AC' và BD vuông góc với nhau.

    d) Trên cạnh DC và BB' lấy hai điểm tương ứng M,N sao cho DM=BN=x (với 0<x<a).

Chứng minh rằng AC' vuông góc với MN.

Lời giải:

Nhận xét:

Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:

Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng asqrt{2} (nếu hình lập phương cạnh a).

Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).

a)
Tính góc giữa: widehat{left( AB;B'C' right)};,widehat{left( AC;,B'C' right)};,widehat{left( A'C';B'C right)}.

+ Tính widehat{left( AB;B'C' right)}:

Do B'C'//BCRightarrow widehat{left( AB',B'C' right)}=widehat{left( AB,BC right)}={{90}^{0}}.

+ Tính widehat{left( AC;,B'C' right)}:

Do B'C'//BCRightarrow widehat{left( AC,B'C' right)} =widehat{left( AC,BC right)}=left[ begin{array}{l}widehat{ACB}\{{180}^{0}}-widehat{ACB}end{array} right..

ABCD là hình vuông nên Delta ABC là tam giác vuông cân tại B.

Rightarrow widehat{ACB}={{45}^{0}}Leftrightarrow widehat{left( AC,B'C' right)}={{45}^{0}}.

Tính widehat{left( A'C';B'C right)}:

Do A'C'//ACRightarrow widehat{left( A'C',B'C right)}=widehat{left( AC,B'C right)}=left[ begin{array}{l}widehat{ACB'}\{{180}^{0}}-widehat{ACB'}end{array} right..

Xét trong tam giác ACB' có AC=B'C=AB' (do đều là các đường chéo ở mặt hình vuông của hình lập phương).

Do đó Delta ACB' đều Rightarrow widehat{ACB'}={{60}^{0}}Leftrightarrow widehat{left( A'C';,B'C right)}={{60}^{0}}.

b) Tính độ dài OI theo a.

    Vơi O là tâm của hình vuông ABCD thì displaystyle left{ begin{array}{l}overrightarrow{OA'}+overrightarrow{OC'}=overrightarrow{0}\overrightarrow{OB'}+overrightarrow{OD'}=overrightarrow{0}end{array} right.Rightarrow overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OD}=overrightarrow{0}.

    Khi đó displaystyle overrightarrow{OA}'+overrightarrow{OC}'+overrightarrow{OB}'+overrightarrow{OD}'=overrightarrow{OI}.

    Gọi O' là tâm của đáy A'B'C'D', theo quy tắc trung tuyến ta có:  

displaystyle left{ begin{array}{l}overrightarrow{OA'}+overrightarrow{OC'}=2overrightarrow{OO'}\overrightarrow{OB'}+overrightarrow{OD'}=2overrightarrow{OO'}end{array} right.Rightarrow overrightarrow{OI}=4overrightarrow{OO'}.

    Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ overrightarrow{OI}, từ đó ta được OI=4OO'=4a.

c) Phân tích hai véc tơ overrightarrow{AC'},overrightarrow{BD} theo ba véc tơ overrightarrow{a},overrightarrow{b},overrightarrow{c}.

    Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có: left{ begin{array}{l}overrightarrow{a}.overrightarrow{b}=0\overrightarrow{a}.overrightarrow{c}=0\overrightarrow{b}.overrightarrow{c}=0end{array} right..

Phân tích: left{ begin{array}{l}overrightarrow{AC'}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CC'}=overrightarrow{a}+overrightarrow{b}+overrightarrow{c}\overrightarrow{BD}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{AD}=overrightarrow{b}-overrightarrow{a}end{array} right..

Chứng minh AC' vuông góc với BD:

Xét overrightarrow{AC'}.overrightarrow{BD}=left( overrightarrow{a}+overrightarrow{b}+overrightarrow{c} right).left( overrightarrow{b}-overrightarrow{a} right)=underbrace{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}_{0}+{{overrightarrow{b}}^{2}}+underbrace{overrightarrow{c}.overrightarrow{b}}_{0}-{{overrightarrow{a}}^{2}}-underbrace{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}_{0}-underbrace{overrightarrow{a}.overrightarrow{c}}_{0}={{overrightarrow{b}}^{2}}-{{overrightarrow{a}}^{2}}.

=A{{D}^{2}}-A{{B}^{2}}=0Leftrightarrow overrightarrow{AC'}.overrightarrow{BD}=0Leftrightarrow AC'bot BD.

d) Chứng minh rằng AC'bot MN:

    Ta có phân tích displaystyle left{ begin{array}{l}overrightarrow{MN}=overrightarrow{MC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{BN}\overrightarrow{AC'}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CC'}end{array} right.

    

displaystyle Rightarrow overrightarrow{MN}.overrightarrow{AC'}=left( overrightarrow{MC}+overrightarrow{CB}+overrightarrow{BN} right).left( overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CC'} right)

displaystyle =left( overrightarrow{MC}.overrightarrow{AB}+underbrace{overrightarrow{MC}.overrightarrow{BC}}_{0}+underbrace{overrightarrow{MC}.overrightarrow{CC'}}_{0} right)+left( underbrace{overrightarrow{CB}.overrightarrow{AB}}_{0}+overrightarrow{CB}.overrightarrow{BC}+underbrace{overrightarrow{CB}.overrightarrow{CC'}}_{0} right)displaystyle +left( underbrace{overrightarrow{BN}.overrightarrow{AB}}_{0}+underbrace{overrightarrow{BN}.overrightarrow{BC}}_{0}+overrightarrow{BN}.overrightarrow{CC'} right)

displaystyle =overrightarrow{MC}.overrightarrow{AB}+overrightarrow{CB}.overrightarrow{BC}+overrightarrow{BN}.overrightarrow{CC'}

Mà displaystyle left{ begin{array}{l}overrightarrow{MC}.overrightarrow{AB}=MC.AB.cos {{0}^{0}}=(a-x)a\overrightarrow{CB}.overrightarrow{BC}=CB.BC.cos {{180}^{0}}=-{{a}^{2}}\overrightarrow{BN}.overrightarrow{CC'}=BN.CC'.cos {{0}^{0}}=axend{array} right.displaystyle Rightarrow overrightarrow{MN}.overrightarrow{AC'}=left( a-x right)a-{{a}^{2}}+ax=0Leftrightarrow MNbot AC'.

See more articles in the category: BLOG ĐIỆN TỬ

Leave a Reply