Phép toán về Logarit, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. Lý thuyết cơ bản

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a,,b,,(ane 1). Số alpha  thỏa mãn đẳng thức {{a}^{alpha }}=b được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu là {{log }_{a}}b.

alpha ={{log }_{a}}bLeftrightarrow {{a}^{alpha }}=b.

2. Tính chất

Cho hai số dương a,,b,,(ane 1). Ta có các tính chất sau đây:

begin{array}{l}{{log }_{a}}1=0,,,,{{log }_{a}}a=1,\{{a}^{{{log }_{a}}b}}=b,,,,,{{log }_{a}}({{a}^{alpha }})=alpha .end{array}

3. Các quy tắc tính logarit:

Cho ba số dương a,,b,,c với ane 1, ta có:

* Logarit của một tích:

{{log }_{a}}(bc)={{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c

* Logarit của một thương:

{{log }_{a}}frac{b}{c}={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c

* Logarit của một lũy thừa:

{{log }_{a}}{{b}^{alpha }}=alpha {{log }_{a}}b;,,,{{log }_{a}}sqrt[n]{b}=frac{1}{n}{{log }_{a}}b với mọi alpha ,,n.

*Đổi cơ số:

{{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a} với cne 1

{{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},,,,,,(bne 1)

{{log }_{{{a}^{alpha }}}}b=frac{1}{alpha }{{log }_{a}}b,,,,,(alpha ne 0)

4. Logarit thập phân – Logarit tự nhiên

– Logarit thập phân: là logarit cơ số 10. Kí hiệu: log b hoặc lg b.

– Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e. Kí hiệu: ln b.

B. Bài tập

Dạng 1. Tính toán, rút gọn biểu thức có chứa logarit

Ví dụ 1.1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A={{log }_{9}}15+{{log }_{9}}18-{{log }_{9}}10.            b) B=2{{log }_{frac{1}{3}}}6-frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{3}}}400+3{{log }_{frac{1}{3}}}sqrt[3]{45}.

c) C={{log }_{36}}2-frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{6}}}3.                           d) D={{log }_{frac{1}{4}}}left( {{log }_{3}}4.{{log }_{2}}3 right).

Lời giải:

a) A={{log }_{9}}15+{{log }_{9}}18-{{log }_{9}}10={{log }_{9}}frac{15.18}{10}={{log }_{9}}{{3}^{3}}=frac{1}{2}{{log }_{3}}{{3}^{3}}=frac{3}{2}

b) B=2{{log }_{frac{1}{3}}}6-frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{3}}}400+3{{log }_{frac{1}{3}}}sqrt[3]{45}={{log }_{frac{1}{3}}}left( frac{36.45}{20} right)={{log }_{frac{1}{3}}}{{9}^{2}}=-{{log }_{3}}{{3}^{4}}=-4

c) C={{log }_{36}}2-frac{1}{2}{{log }_{frac{1}{6}}}3=frac{1}{2}{{log }_{6}}2+frac{1}{2}{{log }_{6}}3=frac{1}{2}{{log }_{6}}2.3=frac{1}{2}

d) D={{log }_{frac{1}{4}}}left( {{log }_{3}}4.{{log }_{2}}3 right)=-{{log }_{4}}left( {{log }_{2}}3.{{log }_{3}}4 right)=-{{log }_{4}}left( {{log }_{2}}4 right)=-frac{1}{2}{{log }_{2}}2=-frac{1}{2}

Ví dụ 1.2: Hãy tính:

a) A={{log }_{2}}left( 2sin frac{pi }{12} right)+{{log }_{2}}ctext{os}frac{pi }{12}.        b) B={{log }_{4}}left( sqrt[3]{7}-sqrt[3]{3} right)+{{log }_{4}}left( sqrt[3]{49}+sqrt[3]{21}+sqrt[3]{9} right).

c) {{log }_{10}}tan 4+{{log }_{10}}cot 4.                    d) D={{log }_{4}}x=frac{1}{3}{{log }_{4}}216-2{{log }_{4}}10+4{{log }_{4}}3.

Lời giải:

a) A={{log }_{2}}left( 2sin frac{pi }{12} right)+{{log }_{2}}ctext{os}frac{pi }{12}={{log }_{2}}left( 2sin frac{pi }{12}.ctext{os}frac{pi }{12} right)={{log }_{2}}left[ sin frac{pi }{6} right]={{log }_{2}}frac{1}{2}=-1.

b)B={{log }_{4}}left( sqrt[3]{7}-sqrt[3]{3} right)+{{log }_{4}}left( sqrt[3]{49}+sqrt[3]{21}+sqrt[3]{9} right)

={{log }_{4}}left[ left( sqrt[3]{7}-sqrt[3]{3} right)left( sqrt[3]{49}+sqrt[3]{21}+sqrt[3]{9} right) right]={{log }_{4}}left( 7-3 right)=1.

c) C = {{log }_{10}}tan 4+{{log }_{10}}cot 4=log left( tan 4.cot 4 right)=log 1=0

d/ {{log }_{4}}x=frac{1}{3}{{log }_{4}}216-2{{log }_{4}}10+4{{log }_{4}}3=frac{1}{3}{{log }_{4}}{{6}^{3}}-{{log }_{4}}{{10}^{2}}+{{log }_{4}}{{3}^{4}}={{log }_{4}}frac{{{6.3}^{4}}}{{{10}^{2}}}Rightarrow x=frac{{{3}^{5}}}{50}

Ví dụ 1.3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) displaystyle {{log }_{5}}underset{ntext{ }cmathsf{breve{a}}n}{mathop{({{log }_{5}}sqrt[5]{sqrt[5]{sqrt[5]{...sqrt[5]{5}}}})}},.                     b) {{log }_{3}}2.{{log }_{4}}3.{{log }_{5}}4.{{log }_{6}}5.{{log }_{7}}6.{{log }_{8}}7.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Luật Bóng Đá Mini 7 Người Chơi 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

a) Ta có displaystyle {{log }_{5}}underset{ntext{ }cmathsf{breve{a}}n}{mathop{({{log }_{5}}sqrt[5]{sqrt[5]{sqrt[5]{...sqrt[5]{5}}}})}},={{log }_{5}}({{log }_{5}}{{5}^{{{(frac{1}{5})}^{n}}}})={{log }_{5}}{{(frac{1}{5})}^{n}}={{(frac{1}{5})}^{n}}.

b) B=({{log }_{8}}7.{{log }_{7}}6).{{log }_{6}}5.{{log }_{5}}4.{{log }_{4}}3.{{log }_{3}}2=({{log }_{8}}6.{{log }_{6}}5).{{log }_{5}}4.{{log }_{4}}3.{{log }_{3}}2

        =({{log }_{8}}5.{{log }_{5}}4).{{log }_{4}}3.{{log }_{3}}2={{log }_{8}}4.{{log }_{4}}3.{{log }_{3}}2={{log }_{8}}3.{{log }_{3}}2={{log }_{8}}2={{log }_{{{2}^{3}}}}2=frac{1}{3} .

Ví dụ 1.4 (Đề minh họa 2017 Lần 2) Với các số thực dương a,b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    A. {{log }_{2}}(frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+3{{log }_{2}}a-{{log }_{2}}b.    B. {{log }_{2}}(frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+frac{1}{3}{{log }_{2}}a-{{log }_{2}}b.

    C. {{log }_{2}}(frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+3{{log }_{2}}a+{{log }_{2}}b.    D. {{log }_{2}}(frac{2{{a}^{3}}}{b})=1+frac{1}{3}{{log }_{2}}a+{{log }_{2}}b.

Lời giải:

Ta có {{log }_{2}}(frac{2{{a}^{3}}}{b})={{log }_{2}}2+{{log }_{2}}{{a}^{3}}-{{log }_{2}}b=1+3{{log }_{2}}a-{{log }_{2}}b.

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Giá trị của {{9}^{2{{log }_{81}}2+4{{log }_{3}}2}} là

A. 2  B. {{2}^{3}}  C. {{2}^{6}} D. {{2}^{9}}

   Lời giải:

Ta có {{9}^{2{{log }_{81}}2+4{{log }_{3}}2}}={{9}^{2{{log }_{9}}2+8{{log }_{9}}2}}={{({{9}^{{{log }_{9}}2}})}^{9}}={{2}^{9}}.

Chọn D.

Ví dụ 1.6 (Chuyên Thái Bình – 2017) Tính giá trị của T={{log }_{4}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.sqrt{2})

    A. -frac{3999}{4}.    B. -2016.     C. frac{-3999}{2}.    D. Không xác định.

Lời giải:

begin{array}{l}T={{log }_{4}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.sqrt{2})={{log }_{{{2}^{2}}}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.sqrt{2})=frac{1}{2}{{log }_{2}}({{2}^{-2016}}{{.2}^{16}}.sqrt{2})\=frac{1}{2}({{log }_{2}}{{2}^{-2016}}+{{log }_{2}}{{2}^{16}}+{{log }_{2}}sqrt{2})=frac{1}{2}(-2016+16+frac{1}{2})=-frac{3999}{4}end{array}

Chọn A.

Ví dụ 1.7: Cho a,b>0 thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14ab. Khẳng định nào sai ?

    A. 2{{log }_{2}}(a+b)=4+{{log }_{2}}a+{{log }_{2}}b.    B. ln frac{a+b}{4}=frac{ln a+ln b}{2}.

    C. 2log frac{a+b}{4}=log a+log b.     D. 2{{log }_{4}}(a+b)=4+{{log }_{4}}a+{{log }_{4}}b.

Lời giải:

Ta có {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=14abLeftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab     (*)

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của (*) ta được:

begin{array}{l}{{log }_{2}}{{(a+b)}^{2}}={{log }_{2}}16abLeftrightarrow 2{{log }_{2}}(a+b)={{log }_{2}}16+{{log }_{2}}a+{{log }_{2}}b\Leftrightarrow 2{{log }_{2}}(a+b)=4+{{log }_{2}}a+{{log }_{2}}bend{array}

Vậy A đúng.

Ta có ln frac{a+b}{4}=frac{ln a+ln b}{2}Leftrightarrow 2ln frac{a+b}{4}=ln (ab)Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab. Vậy B đúng.

Ta có 2log frac{a+b}{4}=log a+log bLeftrightarrow log {{(frac{a+b}{4})}^{2}}=log (ab)Leftrightarrow {{(a+b)}^{2}}=16ab. Vậy C đúng.

Lấy logarit cơ số 4 hai vế của (*) ta được:

begin{array}{l}{{log }_{4}}{{(a+b)}^{2}}={{log }_{4}}16abLeftrightarrow 2{{log }_{4}}(a+b)={{log }_{4}}16+{{log }_{4}}a+{{log }_{4}}b\Leftrightarrow 2{{log }_{4}}(a+b)=2+{{log }_{4}}a+{{log }_{4}}bend{array}

Vậy D sai.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.8 (Chuyên Thái Bình – 2017)

Cho a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn {{log }_{2}}sqrt[6]{360}=frac{1}{2}+a.{{log }_{2}}3+b.{{log }_{2}}5. Tính a+b.

A. a+b=5.   B. a+b=0.  C. a+b=frac{1}{2}. D. a+b=2.

Lời giải:

Ta có {{log }_{2}}sqrt[6]{360}={{log }_{2}}sqrt[6]{{{5.2}^{3}}{{.3}^{2}}}=frac{1}{6}{{log }_{2}}5+frac{1}{6}{{log }_{2}}{{2}^{3}}+frac{1}{6}{{log }_{2}}{{3}^{2}}=frac{1}{6}{{log }_{2}}5+frac{1}{2}+frac{1}{3}{{log }_{2}}3.

Do đó a=frac{1}{3},b=frac{1}{6}Rightarrow a+b=frac{1}{2}.

Chọn C.

Ví dụ 1.9 (THPT Đào Duy Từ). Giá trị của biểu thức P=frac{{{25}^{{{log }_{5}}6}}+{{49}^{{{log }_{7}}8}}-3}{{{3}^{1+{{log }_{9}}4}}+{{4}^{2-{{log }_{2}}3}}+{{5}^{{{log }_{125}}27}}} là

A. 10.  B. 9.  C. 8. D. 12.

Lời giải:

Ta có P=frac{{{25}^{{{log }_{5}}6}}+{{49}^{{{log }_{7}}8}}-3}{{{3}^{1+{{log }_{9}}4}}+{{4}^{2-{{log }_{2}}3}}+{{5}^{{{log }_{125}}27}}}=frac{{{({{5}^{2}})}^{{{log }_{5}}6}}+{{({{7}^{2}})}^{{{log }_{7}}8}}-3}{{{3.3}^{{{log }_{{{3}^{2}}}}{{2}^{2}}}}+frac{{{4}^{2}}}{{{2}^{2{{log }_{2}}3}}}+{{5}^{{{log }_{{{5}^{3}}}}{{3}^{3}}}}}

            =frac{{{({{5}^{{{log }_{5}}6}})}^{2}}+{{({{7}^{{{log }_{7}}8}})}^{2}}-3}{{{3.3}^{{{log }_{3}}2}}+frac{16}{{{3}^{2}}}+{{5}^{{{log }_{5}}3}}}=frac{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}-3}{3.2+frac{16}{9}+3}=9

Chọn B.

Dạng 2. Biểu diễn một logarit theo các logarit khác

Phương pháp

Phân tích các logarit cần tính và các logarit đã cho về dạng logarit với cơ số nguyên tố.

Ví dụ 2.1: Hãy biểu diễn theo a các biểu thức sau:

a) {{log }_{25}}15 biết {{log }_{15}}3=a.                                        b) log 40 biết {{log }_{sqrt{2}}}(frac{1}{sqrt[3]{5}})=a.
Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Những lý do khiến phòng khách màu trắng được yêu thích 2022 | Mytranshop.com

 Lời giải:

Ta có a={{log }_{15}}3=frac{1}{{{log }_{3}}15}=frac{1}{{{log }_{3}}(3.5)}=frac{1}{1+{{log }_{3}}5}Rightarrow {{log }_{3}}5=frac{1}{a}-1=frac{1-a}{a}

Suy ra {{log }_{25}}15=frac{{{log }_{3}}15}{{{log }_{3}}25}=frac{{{log }_{3}}15}{2{{log }_{3}}5}=frac{frac{1}{a}}{2.frac{1-a}{a}}=frac{1}{2(1-a)}.

Ta có a={{log }_{sqrt{2}}}(frac{1}{sqrt[3]{5}})={{log }_{{{2}^{frac{1}{2}}}}}{{5}^{frac{1}{3}}}=-frac{2}{3}{{log }_{2}}5Rightarrow {{log }_{2}}5=-frac{3a}{2}.

           Rightarrow log 40=frac{{{log }_{2}}40}{{{log }_{2}}10}=frac{{{log }_{2}}({{2}^{3}}.5)}{{{log }_{2}}(2.5)}=frac{3+{{log }_{2}}5}{1+{{log }_{2}}5}=frac{3-frac{3a}{2}}{1-frac{3a}{2}}=frac{6-3a}{2-3a}.

Ví dụ 2.2: Đặt a={{log }_{2}}5;,b={{log }_{5}}3, chọn biểu diễn đúng của {{log }_{10}}15 theo a và b:

    A. {{log }_{10}}15=frac{a(b+1)}{a+1}.                                     B. {{log }_{10}}15=frac{ab+1}{a+1}.

    C. {{log }_{10}}15=frac{b+1}{a+1}.                                        D. {{log }_{10}}15=frac{a+b}{a+1}.

Lời giải:

Ta có {{log }_{2}}3={{log }_{2}}5.{{log }_{5}}3=ab.

{{log }_{10}}15=frac{{{log }_{2}}15}{{{log }_{2}}10}=frac{{{log }_{2}}(3.5)}{{{log }_{2}}(2.5)}=frac{{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}2+{{log }_{2}}5}=frac{ab+a}{1+a}=frac{a(b+1)}{a+1}.

Chọn A.

Ví dụ 2.3 (THPT Hồng Ngự 2 – Đồng Tháp)

Tính {{log }_{140}}63 theo a={{log }_{2}}3,,,b={{log }_{3}}5,,,c={{log }_{7}}2.

    A. frac{2ac+1}{abc+2c+1}.    B. frac{2ac+1}{abc+2c-1}.    C. frac{2ac-1}{abc+2c+1}.    D. frac{2ac+1}{abc-2c+1}.

Lời giải:

Ta có {{log }_{2}}5={{log }_{2}}3.{{log }_{3}}5=ab và {{log }_{2}}7=frac{1}{c}.

{{log }_{140}}63=frac{{{log }_{2}}63}{{{log }_{2}}140}=frac{{{log }_{2}}({{7.3}^{2}})}{{{log }_{2}}({{2}^{2}}.5.7)}=frac{2{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}7}{2+{{log }_{2}}5+{{log }_{2}}7}=frac{2a+frac{1}{c}}{2+ab+frac{1}{c}}=frac{2ac+1}{abc+2c+1}

Chọn A.

Ví dụ 2.4 (Chuyên Lào cai – 2017). Cho f(x)=aln (x+sqrt{{{x}^{2}}+1})+bsin x+6 với a,bin mathbb{R}. Biết rằng f(log (log e))=2. Tính giá trị của f(log (ln 10)).

    A. 10                           B. 2                              C. 4                              D. 8

Lời giải:

Đặt t=log (log e)=log (frac{1}{ln 10})=-log (ln 10)Leftrightarrow log (ln 10))=-t.

Theo giả thiết có:

f(t)=aln (t+sqrt{{{t}^{2}}+1})+bsin t+6=2Leftrightarrow aln (t+sqrt{{{t}^{2}}+1})+bsin t=-4.

Khi đó f(log (ln 10))=f(-t)=aln (-t+sqrt{{{t}^{2}}+1})+bsin (-t)+6

                                =aln frac{1}{sqrt{{{t}^{2}}+1}+t}-bsin t+6=-(aln frac{1}{sqrt{{{t}^{2}}+1}+t}+bsin t)+6=10.

Chọn A.

Ví dụ 2.5 (Sở GD – ĐT Yên Bái). Cho a,b,c là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn {{a}^{{{log }_{3}}7}}=27,,{{b}^{{{log }_{7}}11}}=49,,{{c}^{{{log }_{11}}25}}=sqrt{11}. Tính giá trị của biểu thức T={{a}^{log _{3}^{2}7}}+{{b}^{log _{7}^{2}11}}+{{c}^{log _{11}^{2}25}}.

    A. T=469.             B. T=3141.               C. T=2017.                 D. T=76+sqrt{11}.

Lời giải:

{{({{a}^{{{log }_{3}}7}})}^{{{log }_{3}}7}}+{{({{b}^{{{log }_{3}}11}})}^{{{log }_{3}}11}}+{{({{c}^{{{log }_{11}}25}})}^{{{log }_{11}}25}}={{27}^{{{log }_{3}}7}}+{{49}^{{{log }_{7}}11}}+{{(sqrt{11})}^{{{log }_{11}}25}}

                                                                        ={{7}^{3}}+{{11}^{2}}+{{25}^{frac{1}{2}}}=469

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Giá xây nhà 2 tầng trọn gói bao nhiêu tiền 2022 | Mytranshop.com

Chọn đáp án A.

 

Dạng 3.So sánh hai logarit

A. Phương pháp

+ Nếu a>1 thì {{log }_{a}}M>{{log }_{a}}NLeftrightarrow M>N>0.

+ Nếu 0<a<1 thì {{log }_{a}}M>{{log }_{a}}NLeftrightarrow 0<M<N.

+ Nếu 0<a<b<1 hay 1<a<b thì:

                         {{log }_{a}}x>{{log }_{b}}xLeftrightarrow x>1.

                         {{log }_{a}}x<{{log }_{b}}xLeftrightarrow 0<x<1.

                         {{log }_{a}}b>0Leftrightarrow a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: So sánh các cặp số sau:

    a) m={{log }_{sqrt{3}}}frac{3}{5} và n={{log }_{sqrt{3}}}frac{7}{9}.            b) m={{log }_{frac{1}{3}}}8 và n={{log }_{115}}2.

    c) m={{log }_{2}}3  vàn={{log }_{3}}11.                d) m={{2}^{2{{log }_{2}}5+{{log }_{frac{1}{2}}}9}}và n=sqrt{8}.

    e) m=frac{1}{2}+log 3 và n= log 19-log 2.        

Lời giải:

    a) Vì sqrt{3}>1 nên frac{3}{5}<frac{7}{9}Rightarrow {{log }_{sqrt{3}}}frac{3}{5}<{{log }_{sqrt{3}}}frac{7}{9}.

        Vậy m<n.

    b) Vì frac{1}{3}<1 nên {{log }_{frac{1}{3}}}8<{{log }_{frac{1}{3}}}1=0Rightarrow m<0.

        115>1 nên {{log }_{115}}2>{{log }_{115}}1=0Rightarrow n>0.

        Vậy m<n.

    c) Ta có left{ begin{array}{l}1<{{log }_{2}}3<2\{{log }_{3}}11>{{log }_{3}}9=2end{array} right.Rightarrow {{log }_{3}}11>{{log }_{2}}3

    d) Ta có: 2{{log }_{2}}5+{{log }_{frac{1}{2}}}9={{log }_{2}}25-{{log }_{2}}9={{log }_{2}}frac{25}{9}Rightarrow {{2}^{2{{log }_{2}}5+{{log }_{frac{1}{2}}}9}}={{2}^{{{log }_{2}}frac{25}{9}}}=frac{25}{9}

        Nhưng frac{25}{9}=sqrt{frac{{{25}^{2}}}{{{9}^{2}}}}=sqrt{frac{625}{81}}<sqrt{frac{648}{81}}=sqrt{8}Rightarrow {{2}^{2{{log }_{2}}5+{{log }_{frac{1}{2}}}9}}<sqrt{8}.

    e) Ta có : left{ begin{array}{l}frac{1}{2}+log 3=log sqrt{10}+log 3=log 3sqrt{10}=log sqrt{900}\log 19-log 2=log frac{19}{2}=log sqrt{frac{361}{4}}end{array} right.

                  Rightarrow log sqrt{900}>log sqrt{frac{361}{4}}Leftrightarrow frac{1}{2}+log 3>log 19-log 2

Leave a Comment