Phương trình Mũ và Logarit, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Phương trình mũ:

– Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lùy thừa.

– Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng ${{a}^{x}}=b,(0<ane 1)$ .

+ Nếu $ble 0$ , phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b>0$ , phương trình có nghiệm duy nhất $x={{log }_{a}}b$ .

2. Phương trình logarit:

– Phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.

– Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng ${{log }_{a}}x=b,,(0<ane 1)$ .

– Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất $x={{a}^{b}}$ .

B. Bài tập:

Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

* Đối với phương trình mũ: ${{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}$ .

– Nếu $a$ là một số dương khác 1 thì: af(x) = ag(x) ⟺ f(x) = g(x).

– Nếu $a$ chứa biến thì: ${{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0\(a-1)text{ }!![!!text{ }f(x)-g(x)text{ }!!]!!text{ }=0end{array} right.$

* Đối với phương trình logarit: Biến đổi phương trình về dạng:

${{log }_{a}}f(x)={{log }_{a}}g(x)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0<ane 1\f(x)>0\f(x)=g(x)end{array} right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{2}^{x+1}}{{.4}^{x-1}}.frac{1}{{{8}^{1-x}}}={{16}^{x}}$ .

b) ${{3}^{x-1}}{{.2}^{x+1}}=24$ .

c) ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}$ .

d) ${{(sqrt{10}+3)}^{frac{x-3}{x-1}}}={{(sqrt{10}-3)}^{frac{x+1}{x+3}}}$ .

e) ${{(2+x-{{x}^{2}})}^{sin x}}={{(2+x-{{x}^{2}})}^{2-sqrt{3}cos x}}$ .

f) ${{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{({{x}^{2}}-6x+9)}^{{{x}^{2}}+x-4}}$ .

Lời giải:

a) Phương trình tương đương

${{2}^{x+1}}{{.2}^{2(x-1)}}.frac{1}{{{2}^{3(1-x)}}}={{2}^{4x}}Leftrightarrow {{2}^{x+1+2x-2-3+3x}}={{2}^{4x}}Leftrightarrow 6x-4=4xLeftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

b) ${{3}^{x-1}}{{.2}^{x+1}}=24Leftrightarrow frac{{{3}^{x}}}{3}{{.2.2}^{x}}=24Leftrightarrow {{3}^{x}}{{.2}^{x}}=36Leftrightarrow {{6}^{x}}={{6}^{2}}Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

c) ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}(frac{1}{2}+{{2}^{2}})={{3}^{{{x}^{2}}}}(1+frac{1}{3})$

$Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}.frac{9}{2}={{3}^{{{x}^{2}}}}.frac{4}{3}Leftrightarrow {{(frac{2}{3})}^{{{x}^{2}}}}={{(frac{2}{3})}^{3}}Leftrightarrow {{x}^{2}}=3Leftrightarrow x=pm sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-sqrt{3},,,x=sqrt{3}$ .

d) ${{(sqrt{10}+3)}^{frac{x-3}{x-1}}}={{(sqrt{10}-3)}^{frac{x+1}{x+3}}}$ .

Điều kiện: $xne 1,xne -3$ .

Ta có $(sqrt{10}+3)(sqrt{10}-3)=1Rightarrow sqrt{10}-3=frac{1}{sqrt{10}+3}={{(sqrt{10}+3)}^{-1}}$ .

Khi đó phương trình tương đương ${{(sqrt{10}+3)}^{frac{x-3}{x-1}}}={{(sqrt{10}+3)}^{frac{x+1}{x+3}}}Leftrightarrow frac{x-3}{x-1}=frac{x+1}{x+3}$

$Leftrightarrow {{x}^{2}}-9=-({{x}^{2}}-1)Leftrightarrow {{x}^{2}}=5Leftrightarrow x=pm sqrt{5}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }-sqrt{5};sqrt{5}text{ }!!}!!text{ }$ .

e) ${{(2+x-{{x}^{2}})}^{sin x}}={{(2+x-{{x}^{2}})}^{2-sqrt{3}cos x}}$ .

Phương trình tương đương

$left{ begin{array}{l}2+x-{{x}^{2}}>0\(2+x-{{x}^{2}}-1)(sin x-2+sqrt{3}cos x)=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-1<x<2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(*)\left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}-x-1=0,,,,,,,,,,,,,,,(1)\sin x+sqrt{3}cos x=2,,,(2)end{array} right.end{array} right.$

Giải (1) ta được ${{x}_{1,2}}=frac{1pm sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn điều kiện (*).

Giải (2): $frac{1}{2}sin x+frac{sqrt{3}}{2}cos x=1Leftrightarrow sin (x+frac{pi }{3})=frac{pi }{2}+k2pi Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+k2pi ,,,kin mathbb{Z}$ .

Để nghiệm thỏa mãn (*) ta phải có:

$-1<frac{pi }{6}+k2pi <2Leftrightarrow frac{1}{2pi }(-1-frac{pi }{6})<k<frac{1}{2pi }(2-frac{pi }{6})Leftrightarrow k=0,,kin mathbb{Z}$ .

Khi đó ta nhận được ${{x}_{3}}=frac{pi }{6}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=text{ }!!{!!text{ }frac{1pm sqrt{5}}{2};frac{pi }{6}text{ }!!}!!text{ }$ .

f) ${{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{({{x}^{2}}-6x+9)}^{{{x}^{2}}+x-4}}Leftrightarrow {{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{(x-3)}^{2({{x}^{2}}+x-4)}}$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x-3=1\left{ begin{array}{l}0<x-3ne 1\3{{x}^{2}}-5x+2=2{{x}^{2}}+2x-8end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=4\left{ begin{array}{l}3<xne 4\{{x}^{2}}-7x+10=0end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=4\x=5end{array} right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=4,x=5$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $2{{log }_{2}}(2x+2)+{{log }_{frac{1}{2}}}(9x-1)=1$ (1)

b) $frac{3}{2}{{log }_{frac{1}{4}}}{{(x+2)}^{2}}-3={{log }_{frac{1}{4}}}{{(4-x)}^{3}}+{{log }_{frac{1}{4}}}{{(x+6)}^{3}}$ (2)

c) ${{log }_{2}}x+{{log }_{3}}x+{{log }_{4}}x={{log }_{2}}x.{{log }_{3}}x.{{log }_{4}}x$ (3)

d) ${{log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{log }_{2}}frac{1}{{{4.2}^{x}}-3}=0$ (4)

e) ${{log }_{2}}(8-{{x}^{2}})+{{log }_{frac{1}{2}}}(sqrt{x+1}+sqrt{1-x})-2=0$ (5)

Lời giải:

a) $2{{log }_{2}}(2x+2)+{{log }_{frac{1}{2}}}(9x-1)=1$ .

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}2x+2>0\9x-1>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>-1\x>frac{1}{9}end{array} right.Leftrightarrow x>frac{1}{9}$ .

Khi đó $(1)Leftrightarrow {{log }_{2}}{{(2x+2)}^{2}}-{{log }_{2}}(9x-1)=1Leftrightarrow {{log }_{2}}frac{{{(2x+2)}^{2}}}{9x-1}={{log }_{2}}2$

$Leftrightarrow frac{{{(2x+2)}^{2}}}{9x-1}=2Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x+3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=frac{3}{2}end{array} right.$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1,,x=frac{3}{2}$ .

b) $frac{3}{2}{{log }_{frac{1}{4}}}{{(x+2)}^{2}}-3={{log }_{frac{1}{4}}}{{(4-x)}^{3}}+{{log }_{frac{1}{4}}}{{(x+6)}^{3}}$ .

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}{{(x+2)}^{2}}>0\{{(4-x)}^{3}}>0\{{(x+6)}^{3}}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+2ne 0\4-x>0\x+6>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne -2\x<4\x>-6end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne -2\-6<x<4end{array} right.$ .

Khi đó $(2)Leftrightarrow -frac{3}{2}{{log }_{2}}|x+2|-frac{3}{2}.2=-frac{3}{2}{{log }_{2}}(4-x)-frac{3}{2}{{log }_{2}}(x+6)$

$begin{array}{l}Leftrightarrow {{log }_{2}}|x+2|+2={{log }_{2}}(4-x)+{{log }_{2}}(x+6)Leftrightarrow {{log }_{2}}(4|x+2|)={{log }_{2}}text{ }!![!!text{ }(4-x)(x+6)\Leftrightarrow 4|x+2|=(4-x)(x+6),,,,,,,(*)end{array}$

TH1: $-6<x<-2Rightarrow x+2<0$ .

Khi đó $(*)Leftrightarrow -4(x+2)=(4-x)(x+6)Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-32=0Leftrightarrow x=1-sqrt{33}$ (thỏa mãn)

hoặc $x=1+sqrt{33}$ (loại).

TH2: $-2<x<4Rightarrow x+2>0$ .

Khi đó $(*)Leftrightarrow 4(x+2)=(4-x)(x+6)Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-16=0Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn) hoặc

$x=-8$ (loại).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=text{ }!!{!!text{ }2;,1-sqrt{33}text{ }!!}!!text{ }$ .

c) ${{log }_{2}}x+{{log }_{3}}x+{{log }_{4}}x={{log }_{2}}x.{{log }_{3}}x.{{log }_{4}}x$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Khi đó $(3)Leftrightarrow {{log }_{2}}x+{{log }_{3}}2.{{log }_{2}}x+frac{1}{2}.{{log }_{2}}x={{log }_{2}}x.{{log }_{3}}2.{{log }_{2}}x.frac{1}{2}.{{log }_{2}}x$

$begin{array}{l}Leftrightarrow {{log }_{2}}x(1+{{log }_{3}}2+frac{1}{2}-frac{1}{2}{{log }_{3}}2.log _{2}^{2}x)\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=0\log _{2}^{2}x=frac{frac{3}{2}+{{log }_{3}}2}{frac{1}{2}{{log }_{3}}2}={{log }_{2}}108end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=0\{{log }_{2}}x=pm sqrt{{{log }_{2}}108}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=frac{1}{{{2}^{sqrt{{{log }_{2}}108}}}}\x={{2}^{sqrt{{{log }_{2}}108}}}end{array} right.end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }1;frac{1}{{{2}^{sqrt{{{log }_{2}}108}}}};{{2}^{sqrt{{{log }_{2}}108}}}text{ }!!}!!text{ }$ .

d) ${{log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{log }_{2}}frac{1}{{{4.2}^{x}}-3}=0$ .

Điều kiện: ${{2}^{x}}>frac{3}{4}$ .

$displaystyle begin{array}{l}(4)Leftrightarrow {{log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{log }_{2}}{{({{4.2}^{x}}-3)}^{-1}}=0\Leftrightarrow {{log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)={{log }_{2}}{{({{4.2}^{x}}-3)}^{2}}\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27={{({{4.2}^{x}}-3)}^{2}}Leftrightarrow {{5.4}^{x}}-{{13.2}^{x}}-6=0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{2}^{x}}=-frac{2}{5}<0\{{2}^{x}}=3end{array} right.Rightarrow {{2}^{x}}=3Leftrightarrow x={{log }_{2}}3end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{log }_{2}}3$ .

e) ${{log }_{2}}(8-{{x}^{2}})+{{log }_{frac{1}{2}}}(sqrt{x+1}+sqrt{1-x})-2=0$ .

Điều kiện: $left{ begin{array}{l}8-{{x}^{2}}>0\1+x>0\1-x>0end{array} right.Leftrightarrow -1<x<1$ .

$begin{array}{l}(5)Leftrightarrow {{log }_{2}}(8-{{x}^{2}})-{{log }_{2}}(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})-{{log }_{2}}4=0\,,,,,,,Leftrightarrow {{log }_{2}}frac{8-{{x}^{2}}}{4(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}={{log }_{2}}1\,,,,,,,Leftrightarrow frac{8-{{x}^{2}}}{4(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})}=1Leftrightarrow 4(sqrt{1+x}+sqrt{1-x})=8-{{x}^{2}}\,,,,,,,Leftrightarrow 16(2+2sqrt{1-{{x}^{2}}})={{(8-{{x}^{2}})}^{2}},,,,,,,,(6)end{array}$

Đặt $t=sqrt{1-{{x}^{2}}},,tge 0Rightarrow {{x}^{2}}=1-{{t}^{2}}$ . Khi đó phương trình (6) trở thành:

$16(2+2t)={{({{t}^{2}}+7)}^{2}}Leftrightarrow {{t}^{4}}+14{{t}^{2}}-32t+17=0$ $Leftrightarrow {{(t-1)}^{2}}({{t}^{2}}+2t+17)=0Leftrightarrow t=1$ .

Với $t=1$ thì $sqrt{1-{{x}^{2}}}=1Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ .

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình ${{log }_{sqrt{5}+2}}({{x}^{2}}+mx+m+1)+{{log }_{sqrt{5}-2}}x=0$ có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Phương trình tương đương

$displaystyle {{log }_{sqrt{5}+2}}({{x}^{2}}+mx+m+1)={{log }_{sqrt{5}+2}}xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}x>0\{{x}^{2}}+mx+m+1=x,,,,,(*)end{array} right.$ (I)

Cách 1:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép dương

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta =0\-frac{b}{2a}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-6m-3=0\frac{1-m}{2}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m=3pm 2sqrt{3}\m<1end{array} right.$ $Leftrightarrow m=3-2sqrt{3}$ .

TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

$Leftrightarrow ac<0Leftrightarrow m+1<0Leftrightarrow m<-1$ .

TH3: Phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(0)=0\S>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m+1=0\m<1end{array} right.Leftrightarrow m=-1$ ( $f(x)={{x}^{2}}+(m-1)x+m+1=0$ ).

Vậy $left[ begin{array}{l}m=3-2sqrt{3}\mle -1end{array} right.$ .

Cách 2: $(I)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>0\m=frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}end{array} right.$

Xét hàm số $f(x)=frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ với $x>0$ .

Ta có $f'(x)=frac{-{{x}^{2}}-2x+2}{{{(x+1)}^{2}}}$ .

Khi đó $f'(x)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-2=0Leftrightarrow x=-1pm sqrt{3}$ .

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ tại một điểm duy nhất $Leftrightarrow left[ begin{array}{l}mle -1\m=3-2sqrt{3}end{array} right.$

Vậy $left[ begin{array}{l}mle -1\m=3-2sqrt{3}end{array} right.$ .

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 1. Đặt một ẩn phụ

* Phương trình mũ:

* Phương trình logarit:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0$ .

b) ${{4}^{{{log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{log }_{2}}6}}={{2.3}^{{{log }_{2}}4{{x}^{2}}}}$ .

c) ${{64.9}^{x}}-{{84.12}^{x}}+{{27.16}^{x}}=0$ (1)

d) ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0$ (2)

Lời giải:

a) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0Leftrightarrow {{2.2}^{3x}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0$ .

Đặt $t={{2}^{x}},,,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành:

$2{{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+7t-2=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=frac{1}{2}\t=2end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{l}{{2}^{x}}=1\{{2}^{x}}=frac{1}{2}\{{2}^{x}}=2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=-1\x=1end{array} right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }0;-1;1}$ .

b) ${{4}^{{{log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{log }_{2}}6}}={{2.3}^{{{log }_{2}}4{{x}^{2}}}}$

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương ${{4}^{1+{{log }_{2}}x}}-{{x}^{{{log }_{2}}6}}={{2.3}^{2+{{log }_{2}}x}}Leftrightarrow {{4.4}^{{{log }_{2}}x}}-{{x}^{{{log }_{2}}6}}={{18.9}^{{{log }_{2}}x}}$ .

Đặt $t-{{log }_{2}}x,,Rightarrow x={{2}^{t}}$ . Khi đó phương trình trở thành:

${{4.4}^{t}}-{{2}^{t{{log }_{2}}6}}={{18.9}^{t}}Leftrightarrow {{4.4}^{t}}-{{6}^{t}}={{18.9}^{t}}Leftrightarrow 4.{{(frac{4}{9})}^{t}}-{{(frac{2}{3})}^{t}}=18$ $Leftrightarrow 4.{{(frac{2}{3})}^{2t}}-{{(frac{2}{3})}^{t}}-18=0$ .

Đặt $u={{(frac{2}{3})}^{t}},,,(u>0)$ . Phương trình trở thành:

$4{{t}^{2}}-t-18=0Leftrightarrow t=-2$ (loại) hoặc $t=frac{9}{4}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Ăn trứng gà luộc và uống nước cam có kỵ không? 2022 | Mytranshop.com

$Rightarrow {{(frac{2}{3})}^{t}}=frac{9}{4}={{(frac{2}{3})}^{-2}}Leftrightarrow t=-2Rightarrow {{log }_{2}}x=-2Leftrightarrow x=frac{1}{4}$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=frac{1}{4}$ .

c) Chia cả hai vế của (1) cho ${{9}^{x}}$ ta được:

$begin{array}{l}(1)Rightarrow 64-84.{{(frac{12}{9})}^{x}}+27.{{(frac{16}{9})}^{x}}=0Leftrightarrow 27.{{(frac{4}{3})}^{2x}}-84.{{(frac{4}{3})}^{x}}+64=0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{(frac{4}{3})}^{x}}=frac{4}{3}\{{(frac{4}{3})}^{x}}=frac{16}{9}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=2end{array} right.end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$ .

d) ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0Leftrightarrow 3+4.{{(frac{12}{8})}^{x}}-{{(frac{18}{8})}^{x}}-2.{{(frac{27}{8})}^{x}}=0$

$Leftrightarrow 2.{{(frac{3}{2})}^{3x}}+{{(frac{3}{2})}^{2x}}-4.{{(frac{3}{2})}^{x}}-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{(frac{3}{2})}^{x}}=frac{3}{2}\{{(frac{3}{2})}^{x}}=-2<0end{array} right.Rightarrow x=1$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ${{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}+{{(sqrt{2-sqrt{3}})}^{x}}=4$ .

b) ${{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}+{{(sqrt[3]{3-sqrt{8}})}^{x}}=6$ .

c) ${{(5-sqrt{21})}^{x}}+7{{(5+sqrt{21})}^{x}}={{2}^{x+3}}$ .

d) ${{(2+sqrt{3})}^{{{(x-1)}^{2}}}}+{{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=frac{4}{2-sqrt{3}}$ .

Lời giải:

a) ${{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}+{{(sqrt{2-sqrt{3}})}^{x}}=4$ (1)

Vì $(sqrt{2+sqrt{3}})(sqrt{2-sqrt{3}})=1Leftrightarrow {{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}.{{(sqrt{2-sqrt{3}})}^{x}}=1Rightarrow {{(sqrt{2-sqrt{3}})}^{x}}=frac{1}{{{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}},,,t>0,,,,Rightarrow {{(sqrt{2-sqrt{3}})}^{x}}=frac{1}{t}$ .

Khi đó (1) trở thành: $t+frac{1}{t}-4=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=2+sqrt{3}\t=2-sqrt{3}end{array} right.$

$Rightarrow left[ begin{array}{l}{{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}=2+sqrt{3}\{{(sqrt{2+sqrt{3}})}^{x}}=2-sqrt{3}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\x=-2end{array} right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=-2$ .

b) ${{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}+{{(sqrt[3]{3-sqrt{8}})}^{x}}=6$ (2)

Do: $(sqrt[3]{3+sqrt{8}})(sqrt[3]{3-sqrt{8}})=sqrt[3]{(3+sqrt{8})(3-sqrt{8})}=1$

$Leftrightarrow {{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}{{(sqrt[3]{3-sqrt{8}})}^{x}}=1$ .

$Rightarrow {{(sqrt[3]{3-sqrt{8}})}^{x}}=frac{1}{{{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}},,,,(t>0),,,,Rightarrow {{(sqrt[3]{3-sqrt{8}})}^{x}}=frac{1}{t}$ .

Khi đó (2) trở thành: $t+frac{1}{t}-6=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=3+sqrt{8}\t=3-sqrt{8}end{array} right.$

$Rightarrow left[ begin{array}{l}{{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}=3+sqrt{8}\{{(sqrt[3]{3+sqrt{8}})}^{x}}=3-sqrt{8}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=3\x=-3end{array} right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=3$ và $x=-3$ .

c) ${{(5-sqrt{21})}^{x}}+7{{(5+sqrt{21})}^{x}}={{2}^{x+3}}Leftrightarrow {{(frac{5-sqrt{21}}{2})}^{x}}+7.{{(frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}=8$ (3)

Ta có ${{(frac{5-sqrt{21}}{2})}^{x}}{{(frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}={{(frac{5-sqrt{21}}{2}.frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}=1Rightarrow {{(frac{5-sqrt{21}}{2})}^{x}}=frac{1}{{{(frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(frac{5-sqrt{21}}{2})}^{x}},,,t>0,,,Rightarrow {{(frac{5-sqrt{21}}{2})}^{x}}=frac{1}{t}$ .

Khi đó (3) trở thành: $frac{1}{t}+7t-8=0Leftrightarrow 7{{t}^{2}}-8t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=frac{1}{7}end{array} right.$

$Rightarrow left[ begin{array}{l}{{(frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}=1\{{(frac{5+sqrt{21}}{2})}^{x}}=frac{1}{7}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x={{log }_{frac{5+sqrt{21}}{2}}}(frac{1}{7})end{array} right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ và $x={{log }_{frac{5+sqrt{21}}{2}}}(frac{1}{7})$ .

d) ${{(2+sqrt{3})}^{{{(x-1)}^{2}}}}+{{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=frac{4}{2-sqrt{3}}$

$Leftrightarrow (2-sqrt{3}){{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x+1}}+(2-sqrt{3}){{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=4$

$begin{array}{l}Leftrightarrow (2-sqrt{3})(2+sqrt{3}){{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}+{{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=4\Leftrightarrow {{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}+{{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=4end{array}$

Đặt $t={{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}},,,t>0,,Rightarrow {{(2-sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=frac{1}{t}$ .

Khi đó (4) trở thành: $t+frac{1}{t}-4=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=2+sqrt{3}\t=2-sqrt{3}end{array} right.$

$Rightarrow left[ begin{array}{l}{{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=2+sqrt{3}\{{(2+sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=2-sqrt{3}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x=1\{{x}^{2}}-2x=-1end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2pm sqrt{2}\x=1end{array} right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,,x=2pm sqrt{2}$ .

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) ${{log }_{x+1}}16=3+{{log }_{2}}(x+1)$ .

b) $log _{sqrt{2}}^{2}x+3{{log }_{2}}x+{{log }_{frac{1}{2}}}x=2$ .

c) ${{log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{log }_{3}}({{3}^{x+2}}+9)=3$ .

Lời giải:

a) ${{log }_{x+1}}16=3+{{log }_{2}}(x+1)$ (1)

Điều kiện $0<x+1ne 1Leftrightarrow -1<xne 0$ .

Khi đó $(1)Leftrightarrow 4{{log }_{x+1}}2=3+{{log }_{2}}(x+1)Leftrightarrow frac{4}{{{log }_{2}}(x+1)}=3+{{log }_{2}}(x+1)$ .

Đặt $t={{log }_{2}}(x+1)$ , phương trình trở thành: $frac{4}{t}=3+tLeftrightarrow {{t}^{2}}+3t-4=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=-4end{array} right.$ .

$Rightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}(x+1)=1\{{log }_{2}}(x+1)=-4end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x+1=2\x+1=frac{1}{16}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=-frac{15}{16}end{array} right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,,x=-frac{15}{16}$ .

Chú ý: Phương trình sau khi biến đổi có dạng bậc hai đơn giản thì có thể bỏ qua bước đặt ẩn phụ.

b) $log _{sqrt{2}}^{2}x+3{{log }_{2}}x+{{log }_{frac{1}{2}}}x=2$ (2)

Điều kiện $x>0$ .

$begin{array}{l}(2)Leftrightarrow 4log _{2}^{2}x+3{{log }_{2}}x-{{log }_{2}}x=2Leftrightarrow 2log _{2}^{2}x+{{log }_{2}}x-1=0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=-1\{{log }_{2}}x=frac{1}{2}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{1}{2}\x=sqrt{2}end{array} right.end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }frac{1}{2};sqrt{2}text{ }!!}!!text{ }$ .

c) ${{log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{log }_{3}}({{3}^{x+2}}+9)=3$ .

$Leftrightarrow {{log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{log }_{3}}left[ 9({{3}^{x}}+1) right]=3Leftrightarrow {{log }_{3}}({{3}^{x}}+1)left[ 2+{{log }_{3}}({{3}^{x}}+1) right]=3$ .

Đặt $t={{log }_{3}}({{3}^{x}}+1)$ , phương trình trở thành:

$begin{array}{l}t(2+t)=3Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\t=-3end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{3}}({{3}^{x}}+1)=1\{{log }_{3}}({{3}^{x}}+1)=-3end{array} right.\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{3}^{x}}+1=3\{{3}^{x}}+1=frac{1}{27}end{array} right.Leftrightarrow {{3}^{x}}=2Leftrightarrow x={{log }_{3}}2end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{log }_{3}}2$ .

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${{log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{log }_{4}}({{2.5}^{x}}-2)=m$ có nghiệm $xge 1$ .

A. $min text{ }!![!!text{ }2;+infty )$ .

B. $min text{ }!![!!text{ }3;+infty )$ .

C. $min (-infty ;2]$ .

D. $min (-infty ;3]$ .

Lời giải:

$begin{array}{l}{{log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{log }_{4}}({{2.5}^{x}}-2)=mLeftrightarrow {{log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{log }_{{{2}^{2}}}}text{ }!![!!text{ }2({{5}^{x}}-1)text{ }!!]!!text{ }\Leftrightarrow {{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)text{ }!![!!text{ }frac{1}{2}+frac{1}{2}{{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)text{ }!!]!!text{ }=mLeftrightarrow {{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)text{ }!![!!text{ }1+{{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)text{ }!!]!!text{ }=2m,,,(1)end{array}$

Đặt $t={{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)$ . Với $xge 1Rightarrow {{5}^{x}}ge 5Rightarrow {{log }_{2}}({{5}^{x}}-1)ge {{log }_{2}}(5-1)=2$ hay $tge 2$ .

Khi đó (1) trở thành: $t(1+t)=2mLeftrightarrow {{t}^{2}}+t=2m$ (2)

Yêu cầu bài $Leftrightarrow (2)$ có nghiệm $tge 2$ .

Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t,,,tge 2$ .

Ta có $f'(t)=2t+1>0,,,forall tge 2Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }2;+infty )$ .

Khi đó phương trình (2) có nghiệm $Leftrightarrow 2mge underset{text{ }!![!!text{ }2;+infty )}{mathop{min }},f(t)=f(2)=6Rightarrow mge 3$ .

Vậy $mge 3$ là các giá trị cần tìm.

Chọn B.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để:

a) ${{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2m=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$ .

b) ${{16}^{x}}-m{{.8}^{x}}+(2m-1){{.4}^{x}}=m{{.2}^{x}}$ có ba nghiệm phân biệt.

c) ${{25}^{x}}+(m-1){{.5}^{x}}+m-2{{m}^{2}}=0$ có hai nghiệm trái dấu.

d) ${{9}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+2){{.3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ có nghiệm.

Lời giải:

a) ${{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2m=0$ (1)

Đặt $t={{2}^{x}},,,,(t>0)$ . Khi đó phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*)

Để (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì (*) phải có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ dương

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta 'ge 0\S>0\P>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-2mge 0\2m>0\2m>0end{array} right.Leftrightarrow mge 2$ .

Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}Leftrightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=8Leftrightarrow 2m=8Leftrightarrow m=4$ (thỏa mãn).

Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.

b) ${{16}^{x}}-m{{.8}^{x}}+(2m-1){{.4}^{x}}=m{{.2}^{x}}$ (2)

Đặt $t={{2}^{x}},,,(t>0)$ . Khi đó phương trình (2) trở thành:

${{t}^{4}}-m{{t}^{3}}+(2m-1){{t}^{2}}=mtLeftrightarrow {{t}^{3}}-m{{t}^{2}}+(2m-1)t=m$ (vì $t>0$ )

$Leftrightarrow {{t}^{3}}-m{{t}^{2}}+(2m-1)t-m=0Leftrightarrow (t-1)text{ }!![!!text{ }{{t}^{2}}+(1-m)t+mtext{ }!!]!!text{ }=0$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=1\f(t)={{t}^{2}}+(1-m)t+m=0,,,(**)end{array} right.$

Với $t=1Rightarrow x=0$ .

Để phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có hai nghiệm phân biệt dương

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\S>0\P>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-6m+1>0\m-1>0\m>0end{array} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m>3+2sqrt{2}\m<3-2sqrt{2}end{array} right.\m>1end{array} right.Leftrightarrow m>3+2sqrt{2}$ .

Vậy $m>3+2sqrt{2}$ .

c) ${{25}^{x}}+(m-1){{.5}^{x}}+m-2{{m}^{2}}=0$ (3)

Đặt $t={{5}^{x}},,,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+(m-1)t+m-2{{m}^{2}}=0$ (*)

Cách 1:
$(*)Leftrightarrow (t-m)(t+2m-1)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t=m\t=1-2mend{array} right.$

Với $x>0Rightarrow {{5}^{x}}>{{5}^{0}}$ hay $t>1$ . Tương tự $x<0Rightarrow 0<t<1$ .

Phương trình (3) có hai nghiệm trái dấu $left[ begin{array}{l}0<m<1<1-2m\0<1-2m<1<mend{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}0<m<1\m<0end{array} right.\left{ begin{array}{l}0<m<frac{1}{2}\m>1end{array} right.end{array} right.$ (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2: Với $x>0Rightarrow {{5}^{x}}>{{5}^{0}}$ hay $t>1$ . Tương tự $x<0Rightarrow 0<t<1$ .

Phương trình (3) có hai nghiệm trái dấu ⇔ (*) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$ .

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta >0\S>0\P>0\({{t}_{1}}-1)({{t}_{2}}-1)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{(3m-1)}^{2}}>0\1-m>0\m-2{{m}^{2}}>0\2m-2{{m}^{2}}<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne frac{1}{3}\m<1\0<m<2\left[ begin{array}{l}m<0\m>1end{array} right.end{array} right.$ (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài.

d) ${{9}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+2){{.3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ (4)

Điều kiện: $-1le xle 1$ . Đặt $t=f(x)={{3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$ . Ta sẽ đi tìm điều kiện của $t$ bằng 2 cách:

Cách 1: Ta có $0le sqrt{1-{{x}^{2}}}le 1Rightarrow 1le 1+sqrt{1-{{x}^{2}}}le 2Rightarrow {{3}^{1}}le {{3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}le {{3}^{2}}$ hay $3le tle 9$ .

Cách 2: (Dùng phương pháp hàm số)

Ta có $f'(x)=frac{-x}{sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{.3}^{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}}.ln 3$ . Khi đó $f'(x)=0Leftrightarrow x=0$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $3le tle 9$ .

Khi đó yêu cầu bài toán tương đương:

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Những điều cần biết khi xây nhà 2 tầng chữ L mái bằng - 2022 | Mytranshop.com

Tìm m để phương trình ${{t}^{2}}-(m+2)t+2m+1=0$ (*) có nghiệm với $tin text{ }!![!!text{ }3;9]$ .

$(*)Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=m(t-2)Leftrightarrow m=frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=g(t)$ (vì $tin text{ }!![!!text{ }3;9]$ )

Xét hàm số $g(t)=frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$ với $tin text{ }!![!!text{ }3;9]$ .

Ta có $g'(t)=frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}}=frac{(t-1)(t-3)}{{{(t-2)}^{2}}}ge 0$ , $forall tin text{ }!![!!text{ }3;9]$

Suy ra hàm số $g(t)$ đồng biến trên đoạn $displaystyle text{ }!![!!text{ }3;9]$ $Rightarrow g(3)le g(t)le g(9)Leftrightarrow 4le g(t)le 16$ .

Vậy $4le mle 16$ .

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình

$sqrt{log _{2}^{2}x+{{log }_{frac{1}{2}}}{{x}^{2}}-3}=m({{log }_{4}}{{x}^{2}}-3)$ có nghiệm thuộc $displaystyle text{ }!![!!text{ }32;+infty )$ .

A. $min (1;sqrt{3}text{ }!!]!!text{ }$ .

B. $min text{ }!![!!text{ }1;sqrt{3})$ .

C. $min text{ }!![!!text{ }-1;sqrt{3})$ .

D. $min (-sqrt{3};1]$ .

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương: $sqrt{log _{2}^{2}x-2{{log }_{2}}x-3}=m({{log }_{2}}x-3)$ .

Đặt $t={{log }_{2}}x$ , với $xge 32Rightarrow {{log }_{2}}xge {{log }_{2}}32=5$ hay $tge 5$ .

Phương trình có dạng $sqrt{{{t}^{2}}-2t-3}=m(t-3)$ (*).

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có nghiệm $tge 5$ .

Với $tge 5$ thì $(*)Leftrightarrow sqrt{(t-3)(t+1)}=m(t-3)Leftrightarrow sqrt{t-3}(sqrt{t+1}-msqrt{t-3})=0$

$Leftrightarrow sqrt{t+1}-msqrt{t-3}=0Leftrightarrow m=sqrt{frac{t+1}{t-3}}$ .

Ta có $frac{t+1}{t-3}=1+frac{4}{t-3}$ . Với $tge 5Rightarrow 1<1+frac{4}{t-3}le 1+frac{4}{5-3}=3$ hay

$1<frac{t+1}{t-3}le 3Rightarrow 1<sqrt{frac{t+1}{t-3}}le sqrt{3}$ suy ra $1<mle sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có nghiệm với $1<mle sqrt{3}$ .

Chọn A.

Bài toán 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số $Delta$ là một số chính phương.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $log _{2}^{2}x+(x-1){{log }_{2}}x=6-2x$ .

b) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+({{x}^{2}}-3){{3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ .

c) ${{3}^{2x}}-({{2}^{x}}+9){{.3}^{x}}+{{9.2}^{x}}=0$ .

Lời giải:

a) $log _{2}^{2}x+(x-1){{log }_{2}}x=6-2x$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt $t={{log }_{2}}x$ . Khi đó phương trình có dạng ${{t}^{2}}+(x-1)t+2x-6=0$ .

${{Delta }_{t}}={{(x-1)}^{2}}-4(2x-6)={{x}^{2}}-10x+25={{(x-5)}^{2}}$

Giải $(1):,,,x={{2}^{-2}}=frac{1}{4}$ .

Giải (2): $(2)Leftrightarrow x+{{log }_{2}}x-3=0$ (*)

Xét hàm số $f(x)=x+{{log }_{2}}x-3$ với $x>0$ . Ta có $f'(x)=1+frac{1}{xln 2}>0,forall x>0$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+infty )$ .

Khi đó $(*)Leftrightarrow f(x)=f(2)Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=frac{1}{4}$ và $x=2$ .

b) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+({{x}^{2}}-3){{3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ .

Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}},,(tge 1)$ , phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+({{x}^{2}}-3)t-2{{x}^{2}}+2=0$ .

$Delta ={{({{x}^{2}}-3)}^{2}}-4(-2{{x}^{2}}+2)={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}Rightarrow left[ begin{array}{l}t=2\t=1-{{x}^{2}}end{array} right.$

Với $t=2Rightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=2Leftrightarrow {{x}^{2}}={{log }_{3}}2Leftrightarrow x=pm sqrt{{{log }_{3}}2}$ .

Với $t=1-{{x}^{2}}Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=1-{{x}^{2}}$ :

Ta thấy $left{ begin{array}{l}VTge 1\VPle 1end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}VT=1\VP=1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{3}^{{{x}^{2}}}}=1\1-{{x}^{2}}=1end{array} right.Leftrightarrow x=0$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=0,,,x=pm sqrt{{{log }_{3}}2}$ .

c) ${{3}^{2x}}-({{2}^{x}}+9){{.3}^{x}}+{{9.2}^{x}}=0$ .

Đặt $t={{3}^{x}},,,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-({{2}^{x}}+9)t+{{9.2}^{x}}=0$ .

$begin{array}{l}Delta ={{({{2}^{x}}+9)}^{2}}-{{4.9.2}^{x}}={{({{2}^{x}}+9)}^{2}}Rightarrow left[ begin{array}{l}t=9\t={{2}^{x}}end{array} right.\Rightarrow left[ begin{array}{l}{{3}^{x}}=9\{{3}^{x}}={{2}^{x}}end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\{{(frac{3}{2})}^{x}}=1end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\x=0end{array} right.end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $left[ begin{array}{l}x=2\x=0end{array} right.$ .

Bài toán 3. Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ (giả sử là $u,v$ ) ta có thể đưa việc giải phương trình về việc xét một hệ, trong đó:

Phương trình thứ nhất có được từ phương trình đầu bài.

Phương trình thứ hai có được từ việc đánh giá mối quan hệ của $u,v$ .

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$ .

b) ${{2}^{2x}}-sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ .

c) ${{log }_{2}}(x-sqrt{{{x}^{2}}-1})+3{{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})=2$ .

Lời giải:

a) $frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}=frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+frac{1}{{{2}^{1-x}}+1}=frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{2}^{x-1}}+1\v={{2}^{1-x}}+1end{array} right.,(u,v>1)$

Ta có $u.v=({{2}^{x-1}}+1)({{2}^{1-x}}+1)={{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2=u+v$ .

Phương trình tương đương với hệ $left{ begin{array}{l}frac{8}{u}+frac{1}{v}=frac{18}{u+v}\u+v=uvend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}u+8v=18\u+v=uvend{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}u=v=2\u=9;v=frac{9}{8}end{array} right.$

+ Với $u=v=2$ ta có $left{ begin{array}{l}{{2}^{x-1}}+1=2\{{2}^{1-x}}+1=2end{array} right.Leftrightarrow x=1$ .

+ Với $u=9;v=frac{9}{8}$ ta có $left{ begin{array}{l}{{2}^{x-1}}+1=9\{{2}^{1-x}}+1=frac{9}{8}end{array} right.Leftrightarrow x=4$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ và $x=4$ .

b) ${{2}^{2x}}-sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ .

Đặt $u={{2}^{x}},,,u>0$ .

Khi đó phương trình trở thành ${{u}^{2}}-sqrt{u+6}=6$ .

Đặt $v=sqrt{u+6},,,(vge sqrt{6}),,Rightarrow {{v}^{2}}=u+6$ .

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

$left{ begin{array}{l}{{u}^{2}}=v+6\{{v}^{2}}=u+6end{array} right.Leftrightarrow {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=-(u-v)Leftrightarrow (u-v)(u+v)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}u-v=0\u+v+1=0end{array} right.$

Với $u=v$ ta được ${{u}^{2}}-u-6=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}u=3\u=-2,,(L)end{array} right.Rightarrow {{2}^{x}}=3Leftrightarrow x=8$ .

Với $u+v+1=0$ ta được

${{u}^{2}}+u-5=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}u=frac{-1+sqrt{21}}{2}\u=frac{-1-sqrt{21}}{2},,(L)end{array} right.Rightarrow {{2}^{x}}=frac{sqrt{21}-1}{2}Leftrightarrow x={{log }_{2}}frac{sqrt{21}-1}{2}$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x={{log }_{2}}frac{sqrt{21}-1}{2}$ và $x=8$ .

Nhận xét: Ở ví dụ này, phương trình có dạng tổng quát là ${{f}^{n}}(x)+b=asqrt[n]{a.f(x)-b}$ .

Đặt $left{ begin{array}{l}u=f(x)\v=sqrt[n]{a.f(x)-b}end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}{{u}^{n}}+b=av\{{v}^{n}}+b=auend{array} right.$ (Hệ phương trình đối xứng loại II).

c) ${{log }_{2}}(x-sqrt{{{x}^{2}}-1})+3{{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})=2$ .

Điều kiện: $-x<sqrt{{{x}^{2}}-1}<xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}x>0\{{x}^{2}}-1ge 0end{array} right.Leftrightarrow xge 1$ .

Ta có: ${{log }_{2}}(x-sqrt{{{x}^{2}}-1})+{{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})={{log }_{2}}left[ (x-sqrt{{{x}^{2}}-1})(x+sqrt{{{x}^{2}}-1}) right]={{log }_{2}}1=0$

Đặt $left{ begin{array}{l}u={{log }_{2}}(x-sqrt{{{x}^{2}}-1})\v={{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})end{array} right.$ .

Suy ra $left{ begin{array}{l}u+3v=2\u+v=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}u=-1\v=1end{array} right.,,,,(*)$

Cách 1:

$begin{array}{l}(*)Rightarrow {{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})=1Leftrightarrow x+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2Leftrightarrow sqrt{{{x}^{2}}-1}=2-x\Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2-xge 0\{{x}^{2}}-1={{(2-x)}^{2}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xle 2\4x-5=0end{array} right.Leftrightarrow x=frac{5}{4}end{array}$

Cách 2:

$(*)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{log }_{2}}(x-sqrt{{{x}^{2}}-1})=-1\{{log }_{2}}(x+sqrt{{{x}^{2}}-1})=1end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x-sqrt{{{x}^{2}}-1}=frac{1}{2}\x+sqrt{{{x}^{2}}-1}=2end{array} right.$ $Rightarrow 2x=frac{5}{2}Leftrightarrow x=frac{5}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=frac{5}{4}$ .

Dạng 3. Phương pháp đưa về phương trình tích

A. Phương pháp

Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích $A.B=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}A=0\B=0end{array} right.$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{4}^{2x+sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{4}^{2+sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}$ .

b) $x.log _{2}^{2}x-2(x+1).{{log }_{2}}x+4=0$ .

c) ${{4}^{x}}{{log }_{2}}x+2={{log }_{2}}x+{{2}^{2x+1}}$ .

Lời giải:

a) ${{4}^{2x+sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{4}^{2+sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}$ (1)

Điều kiện: $xge -2$ .

$begin{array}{l}(1)Leftrightarrow {{2}^{4x+2sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{2}^{4+2sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}Leftrightarrow {{2}^{2sqrt{x+2}}}({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})-{{2}^{{{x}^{3}}-4}}({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})=0\Leftrightarrow ({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})({{2}^{2sqrt{x+2}}}-{{2}^{{{x}^{3}}-4}})=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{2}^{4x}}-{{2}^{4}}=0\{{2}^{2sqrt{x+2}}}-{{2}^{{{x}^{3}}-4}}=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}4x=4\2sqrt{x+2}={{x}^{3}}-4end{array} right.end{array}$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\2sqrt{x+2}={{x}^{3}}-4,,,(2)end{array} right.$

Giải (2): Từ (2) $Rightarrow {{x}^{3}}-4ge 0Leftrightarrow xge sqrt[3]{4}$ .

Cách 1:
$(2)Leftrightarrow 2sqrt{x+2}-4={{x}^{3}}-8Leftrightarrow frac{2(sqrt{x+2}-2)(sqrt{x+2}+2)}{sqrt{x+2}+2}={{x}^{3}}-8$

$Leftrightarrow frac{2(x-2)}{sqrt{x+2}+2}=(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\frac{2}{sqrt{x+2}+2}={{x}^{2}}+2x+4,,,,,(3)end{array} right.$

Với $xge sqrt[3]{4}>0Rightarrow left{ begin{array}{l}frac{2}{sqrt{x+2}+2}<1\{{x}^{2}}+2x+4>4end{array} right.Rightarrow (3)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }1;2}$ .

Cách 2:
$(2)Leftrightarrow {{x}^{3}}-2sqrt{x+2}-4=0,,,,(4)$ .

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-2sqrt{x+2}-8$ với $xge sqrt[3]{4}$

Ta có $f'(x)=3{{x}^{2}}-frac{2}{sqrt{x+2}}>0,,forall xge sqrt[3]{4}$ $Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $displaystyle text{ }!![!!text{ }sqrt[3]{4};+infty )$ .

Khi đó $(3)Leftrightarrow f(x)=f(2)Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=text{ }!!{!!text{ }1;2}$ .

b) $x.log _{2}^{2}x-2(x+1).{{log }_{2}}x+4=0$ (1).

Điều kiện: $x>0$ .

Cách 1:
$(1)Leftrightarrow x.log _{2}^{2}x-2x{{log }_{2}}x-2{{log }_{2}}x+4=0$

$begin{array}{l}Leftrightarrow x{{log }_{2}}x.({{log }_{2}}x-2)-2({{log }_{2}}x-2)=0\Leftrightarrow ({{log }_{2}}x-2)(x{{log }_{2}}x-2)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=2,,,,(2)\{{log }_{2}}x=frac{2}{x},,,,(3)end{array} right.,,,,end{array}$

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Các mẫu thiết kế nhà 3 tầng đẹp ngất ngây và hiện đại chi phí tối ưu 2022 | Mytranshop.com

+ Giải (1): $(1)Leftrightarrow x={{2}^{2}}=4$ .

+ Giải (2): $(2)Leftrightarrow {{log }_{2}}x-frac{2}{x}=0,,,,(*)$

Xét hàm số $f(x)={{log }_{2}}x-frac{2}{x}$ với $x>0$ .

Ta có $f'(x)=frac{1}{xln 2}+frac{2}{{{x}^{2}}}>0,,forall x>0$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;+infty )$ .

Khi đó $(*)Leftrightarrow f(x)=f(2)Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=4$ .

Cách 2: Đặt $t={{log }_{2}}x$ . Khi đó phương trình trở thành: $x{{t}^{2}}-2(x+1)t+4=0$ .

$Delta _{t}^{'}={{(x+1)}^{2}}-4x={{x}^{2}}-2x+1={{(x-1)}^{2}}$

$Rightarrow left[ begin{array}{l}t=frac{x+1+x-1}{x}=2\t=frac{x+1-x+1}{x}=frac{2}{x}end{array} right.Rightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=2\{{log }_{2}}x=frac{2}{x}end{array} right.$ tiếp tục giải như cách 1.

c) ${{4}^{x}}{{log }_{2}}x+2={{log }_{2}}x+{{2}^{2x+1}}$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương ${{4}^{x}}{{log }_{2}}x-{{2.4}^{x}}+2-{{log }_{2}}x=0$

$Leftrightarrow {{4}^{x}}({{log }_{2}}x-2)-({{log }_{2}}x-2)=0Leftrightarrow ({{log }_{2}}x-2)({{4}^{x}}-1)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=2\{{4}^{x}}=1end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\x=0end{array} right.$

Kết hợp với điều kiện được nghiệm của phương trình là $x=2$ .

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

A. Phương pháp

* Phương pháp mũ hóa: ${{log }_{a}}f(x)=g(x)Leftrightarrow f(x)={{a}^{g(x)}}$ .

Phương trình dạng ${{log }_{a}}f(x)={{log }_{b}}g(x),,,,(ane b)$

Đặt ${{log }_{a}}f(x)={{log }_{b}}g(x)=tRightarrow left{ begin{array}{l}f(x)={{a}^{t}}\g(x)={{b}^{t}}end{array} right.$

* Phương pháp logarit hóa:

Biến đổi phương trình về dạng: ${{a}^{alpha }}={{b}^{beta }}$ (1).

Lấy logarit (1) theo cơ số a hoặc b hai vế $Leftrightarrow {{log }_{a}}{{a}^{alpha }}={{log }_{a}}{{b}^{beta }}Leftrightarrow alpha =beta {{log }_{a}}b$

Nếu phương trình chứa ${{log }_{c}}x$ thì lấy cơ số c hai vế.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{4.2}^{x}}$ .

b) ${{x}^{4+{{log }_{2}}x}}=32$ .

c) $9.{{x}^{{{log }_{9}}x}}={{x}^{2}}$ .

d) ${{5}^{x}}+{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}+1}}+{{3}^{{{x}^{2}}+3}}$ .

e) ${{log }_{sqrt{2}}}x=1+{{log }_{3}}x$ .

Lời giải:

a) ${{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{4.2}^{x}}Leftrightarrow {{log }_{5}}{{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{log }_{5}}({{4.2}^{x}})Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=(2+x){{log }_{5}}2$

$Leftrightarrow (x+2)(x-2-{{log }_{5}}2)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-2\x=2+{{log }_{5}}2end{array} right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=-2$ và $x=2+{{log }_{5}}2$ .

b) ${{x}^{4+{{log }_{2}}x}}=32$ . Điều kiện: $x>0$ .

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:

${{log }_{2}}{{x}^{4+{{log }_{2}}x}}={{log }_{2}}32Leftrightarrow (4+{{log }_{2}}x).{{log }_{2}}x=5$

$Leftrightarrow log _{2}^{2}x+4{{log }_{2}}x-5=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{log }_{2}}x=1\{{log }_{2}}x=-5end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2\x={{2}^{-5}}=frac{1}{32}end{array} right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=2$ và $x=frac{1}{32}$ .

c) $9.{{x}^{{{log }_{9}}x}}={{x}^{2}}$ . Điều kiện: $x>0$ .

Lấy logarit cơ số 9 hai vế của phương trình ta được:

${{log }_{9}}(9.{{x}^{{{log }_{9}}x}})={{log }_{9}}{{x}^{2}}Leftrightarrow 1+log _{9}^{2}x=2{{log }_{9}}x$

$Leftrightarrow log _{9}^{2}x-2{{log }_{9}}x+1=0Leftrightarrow {{({{log }_{9}}x-1)}^{2}}=0Leftrightarrow {{log }_{9}}x=1Leftrightarrow x=9$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=9$ .

d) ${{5}^{x}}+{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}+1}}+{{3}^{{{x}^{2}}+3}}$ $Leftrightarrow {{5}^{x}}(1+5+25)={{3}^{{{x}^{2}}}}(1+3+27)Leftrightarrow {{5}^{x}}={{3}^{{{x}^{2}}}}$

$Leftrightarrow {{log }_{5}}{{5}^{x}}={{log }_{5}}{{3}^{{{x}^{2}}}}Leftrightarrow x={{x}^{2}}{{log }_{5}}3Leftrightarrow x(x{{log }_{5}}3-1)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x={{log }_{3}}5end{array} right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ và $x={{log }_{3}}5$ .

e) ${{log }_{sqrt{2}}}x=1+{{log }_{3}}x$ (1)

Điều kiện: $x>0$ .

$(1)Leftrightarrow 2{{log }_{2}}x={{log }_{3}}3+{{log }_{3}}xLeftrightarrow {{log }_{2}}{{x}^{2}}={{log }_{3}}(3x)=t$ $Rightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}={{2}^{t}}\3x={{3}^{t}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}={{2}^{t}}\x=frac{{{3}^{t}}}{3}end{array} right.$

$Rightarrow {{(frac{{{3}^{t}}}{3})}^{2}}={{2}^{t}}Leftrightarrow frac{{{9}^{t}}}{9}={{2}^{t}}Leftrightarrow {{(frac{9}{2})}^{t}}=9Leftrightarrow t={{log }_{frac{9}{2}}}9Rightarrow x={{3}^{t-1}}={{3}^{{{log }_{frac{9}{2}}}2}}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{3}^{{{log }_{frac{9}{2}}}2}}$ .

Dạng 5. Phương pháp hàm số

A. Phương pháp

Giả sử $y=f(x)$ là hàm liên tục trên miền $D$ .

– Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì:

Phương trình $f(x)=k$ có không quá một nghiệm trên $D$ .

$f(u)=f(v)Leftrightarrow u=v,,,forall u,vin D$ .

– Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến), còn hàm số $y=g(x)$ luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) với $xin D$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ với $xin D$ có nhiều nhất một nghiệm.

– Nếu hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) với $xin D$ (tức là $f''(x)>0$ hoặc $f''(x)<0$ với $xin D$ ) thì phương trình $f(x)=k$ có nhiều nhất là hai nghiệm.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{(frac{3}{5})}^{x}}+frac{7}{5}={{2}^{x}}$ .

b) ${{log }_{7}}x={{log }_{3}}(sqrt{x}+2)$ .

c) ${{3}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}$ .

d) ${{2}^{x+1}}-{{4}^{x}}=x-1$ .

Lời giải:

a) ${{(frac{3}{5})}^{x}}+frac{7}{5}={{2}^{x}}Leftrightarrow {{(frac{3}{5})}^{x}}-{{2}^{x}}+frac{7}{5}=0,,,,(1)$

Xét hàm số $f(x)={{(frac{3}{5})}^{x}}-{{2}^{x}}+frac{7}{5},,,(xin mathbb{R})$ .

Ta có $f'(x)={{(frac{3}{5})}^{x}}ln frac{3}{5}-{{2}^{x}}ln 2<0,,,forall xin mathbb{R}Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

Khi đó $(1)Leftrightarrow f(x)=f(1)Leftrightarrow x=1$ . Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

b) ${{log }_{7}}x={{log }_{3}}(sqrt{x}+2)$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt ${{log }_{7}}x={{log }_{3}}(sqrt{x}+2)=tRightarrow left{ begin{array}{l}x={{7}^{t}}\sqrt{x}+2={{3}^{t}}end{array} right.Rightarrow sqrt{{{7}^{t}}}+2={{3}^{t}}Leftrightarrow {{(frac{sqrt{7}}{3})}^{t}}+2.{{(frac{1}{3})}^{t}}=1,,(2)$

Xét hàm số $f(t)={{(frac{sqrt{7}}{3})}^{t}}+2.{{(frac{1}{3})}^{t}}$ . Ta có $f'(t)={{(frac{sqrt{7}}{3})}^{t}}ln frac{sqrt{7}}{3}+2.{{(frac{1}{3})}^{t}}ln frac{1}{3}<0,,,forall tin mathbb{R}$ .

Suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

Khi đó $(2)Leftrightarrow f(t)=f(2)Leftrightarrow t=2Rightarrow x=49$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=49$ .

c) ${{3}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}Leftrightarrow {{(frac{5}{13})}^{x}}+{{(frac{12}{13})}^{x}}-1=0,,,,($ 3)

Xét hàm số $f(x)={{(frac{5}{13})}^{x}}+{{(frac{12}{13})}^{x}}-1$ với $xin mathbb{R}$ .

Ta có $f'(x)={{(frac{5}{13})}^{x}}ln frac{5}{13}+{{(frac{12}{13})}^{x}}ln frac{12}{13}<0,,,forall xin mathbb{R}$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ .

Khi đó $(3)Leftrightarrow f(x)=f(2)Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

d) ${{2}^{x+1}}-{{4}^{x}}=x-1Leftrightarrow {{2}^{x+1}}+(x+1)={{2}^{2x}}+2x,,,,,(4)$

Xét hàm đặc trưng $f(t)={{2}^{t}}+t$ với $tin mathbb{R}$ .

Ta có $f'(t)={{2}^{t}}ln 2+1>0$ với $tin mathbb{R}$ . Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $mathbb{R}$ .

Khi đó phương trình $(4)Leftrightarrow f(x+1)=f(2x)Leftrightarrow x+1=2xLeftrightarrow x=1$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2$ .

b) ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}={{2.4}^{x}}$ .

Lời giải:

a) ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2=0,,,,(1)$ .

Xét hàm số $f(x)={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$ .

Ta có $f'(x)={{3}^{x}}ln 3+{{2}^{x}}ln 2-3$ và $f''(x)={{3}^{x}}{{ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{ln }^{2}}2>0$ với $forall xin mathbb{R}$ .

Suy ra $f'(x)$ đồng biến trên $mathbb{R}Rightarrow f'(x)=0$ có tối đa một nghiệm

$Rightarrow f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm hay (1) có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác, $f(0)=0,,,f(1)=0Rightarrow x=0,x=1$ là nghiệm của (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$ và $x=1$ .

b) ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}={{2.4}^{x}}Leftrightarrow {{(frac{3}{4})}^{x}}+{{(frac{5}{4})}^{x}}=2Leftrightarrow {{(frac{3}{4})}^{x}}+{{(frac{5}{4})}^{x}}-2=0$ (2)

Xét hàm số $f(x)={{(frac{3}{4})}^{x}}+{{(frac{5}{4})}^{x}}-2$ .

Ta có $f'(x)={{(frac{3}{4})}^{x}}ln frac{3}{4}+{{(frac{5}{4})}^{x}}ln frac{5}{4}$ và $f''(x)={{(frac{3}{4})}^{x}}{{ln }^{2}}frac{3}{4}+{{(frac{5}{4})}^{x}}{{ln }^{2}}frac{5}{4}>0,,forall xin mathbb{R}$ .