Sự tương giao của đồ thị, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022

A. Lí thuyết cơ bản:

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là nghiệm của hệ phương trình $left{ begin{array}{l}y=f(x)\y=g(x)end{array} right.$

1. Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất $(C):,,,,y=frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ và đường thẳng $d:,,y=kx+m$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$frac{{ax+b}}{{cx+d}}=kx+mLeftrightarrow A{{x}^{2}}+Bx+c=0,,,,,,,,,,,(1)$

Đường thẳng d cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-frac{d}{c}$ .

Khi đó hoành độ 2 giao điểm thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình (1).

2. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba $(C):,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và đường thẳng $d:,y=kx+m$

Phương trình hoành độ giao điểm: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+m$ (1)

Nhẩm nghiệm $x={{x}_{0}}$ và đưa phương trình về dạng:

$(x-{{x}_{0}})(A{{x}^{2}}+Bx+C)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{x}_{0}}\A{{x}^{2}}+Bx+C=0,,,,,,,(2)end{array} right.$

Đường thẳng d cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác ${{x}_{0}}$ .

Giả sử $A({{x}_{0}};k{{x}_{0}}+m);,,B({{x}_{1}};k{{x}_{1}}+m);,,C({{x}_{2}};k{{x}_{2}}+m)$ là 3 giao điểm của d và $(C)$ .

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn định lí Viet: $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{B}{A}\{{x}_{1}}{{x}_{1}}=frac{C}{A}end{array} right.$

3. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $(C):,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và đường thẳng $d:,y=m$

Phương trình hoành độ giao điểm: $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=m,,,,,,,,,,,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}},,,(tge 0)$ , đưa phương trình (1) về dạng: $a{{t}^{2}}+bt+c-m=0,,,(2)$

B. Bài tập:

Dạng 1: Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất $(C):,,,,y=frac{{ax+b}}{{cx+d}}$ và đường thẳng $d:,,y=kx+m$

Ví dụ 1.1 (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh 2017)

Biết đường thẳng $y=x-2$ cắt đồ thị hàm số $y=frac{{2x+1}}{{x-1}}$ tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ . Hãy tính tổng ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}$ .

A. 2.

B. 1.

C. 5.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{2x+1}}{{x-1}}=x-2,,,,,,,,,,,,,,,(xne 1)$

$Leftrightarrow 2x+1=(x-2)(x-1)Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+1=0,,,,,,,(1)$

Hoành độ giao điểm A, B của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet có ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=5$ .

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Thường Tín – Hà Nội 2017)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng $y=x+1$ và đường cong $y=frac{{2x+4}}{{x-1}}$ . Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

A. $-frac{5}{2}$ .

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

$frac{{2x+4}}{{x-1}}=x+1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\2x+4=(x-1)(x+1)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\{{x}^{2}}-2x-5=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\left[ begin{array}{l}x=1-sqrt{6}\x=1+sqrt{6}end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{M}}=1-sqrt{6}\{{x}_{N}}=1+sqrt{6}end{array} right.$

Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN là ${{x}_{I}}=frac{{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}}{2}=1$ .

Chọn B.

Ví dụ 1.3: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}}$ và đường thẳng $y=x-3$ là

A. $(3;0)$ .

B. $(2;-3)$ .

C. $(-1;0)$ .

D. $(-3;1)$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}}=x-3,,,(xne 2)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=3\y=0end{array} right.$

$Rightarrow (3;0)$ là giao điểm của hai đồ thị.

Chọn A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng $y=mx+1$ cắt đồ thị của hàm số $y=frac{{x-3}}{{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt.

A. $(-infty ;0]cup text{ }!![!!text{ }16;+infty )$ .

B. $(-infty ;0)cup (16;+infty )$ .

C. $(16;+infty )$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Trắc nghiệm IQ - đề số 41 2022 | Mytranshop.com

D. $(-infty ;0)$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{x-3}}{{x+1}}=mx+1Leftrightarrow m{{x}^{2}}+mx+4=0,,,,,,,(1),,,,(xne -1)$

Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ={{m}^{2}}-16m>0\m{{(-1)}^{2}}+m(-1)+4ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}min (-infty ;0)cup (16;+infty )\4ne 0end{array} right.Leftrightarrow min (-infty ;0)cup (16;+infty )$

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Tất cả các giá trị của m để đường thẳng $y=x+m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=frac{{2x+1}}{{x+1}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=2sqrt{3}$ là

A. $m=4pm sqrt{{10}}$ .

B. $m=4pm sqrt{3}$ .

C. $m=2pm sqrt{3}$ .

D. $m=2pm sqrt{{10}}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$frac{{2x+1}}{{x+1}}=x+m-1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}g(x)={{x}^{2}}+(m-2)x+m-2=0,,,,,,,,,,(1)\xne -1end{array} right.$

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $-1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta >0\g(-1)ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-8m+12>0\1-m+2+m-2ne 0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>6\m<2end{array} right.$ (*)

Giả sử $A({{x}_{1}},{{x}_{1}}+m-1),,,B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1)$ là 2 giao điểm, với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (1). Khi đó theo định lí Viet có $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2end{array} right.$

Theo giả thiết $AB=2sqrt{3}Leftrightarrow A{{B}^{2}}=12Leftrightarrow 2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=12Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=6$

$Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6Leftrightarrow {{(2-m)}^{2}}-4(m-2)=6$

$Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+6=0Leftrightarrow m=4pm sqrt{{10}}$ (thỏa mãn điều kiện (*)).

Chọn A.

Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm m để đường thẳng $d:,,y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C):,,y=frac{{x-1}}{{2x}}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho AB ngắn nhất.

A. $m=frac{1}{2}$ .

B. $m=frac{5}{9}$ .

C. $m=5$ .

D. $m=-frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$frac{{x-1}}{{2x}}=-x+mLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-(2m-1)x-1=0,,,,,,(xne 0),,,,,(1)$

Ta có $left{ begin{array}{l}Delta =4{{m}^{2}}-4m+9>0,,,forall min mathbb{R}\{{2.0}^{2}}-(2m-1).0-1ne 0,forall mend{array} right.$

Do đó đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi hai giao điểm là $A({{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m),,B({{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m)$ .

Khi đó theo định lí Viet có $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{{2m-1}}{2}\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-frac{1}{2}end{array} right.$

Ta có $A{{B}^{2}}={{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{{{{{(2m-1)}}^{2}}}}{2}+4ge 4$

Do đó $min AB=2$ khi $m=frac{1}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 1.7 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)

Cho hàm số $y=frac{{2x+1}}{{x-2}},,,(C)$ . Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua $A(0;2)$ có hệ số góc m cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

A. $mge 0$ .

B. $m>0$ .

C. $m<-5$ .

D. $left[ begin{array}{l}m>0\m<-5end{array} right.$ .

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua $A(0;2)$ và có hệ số góc m là $y=mx+2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm:

$frac{{2x+1}}{{x-2}}=mx+2Leftrightarrow left{ begin{array}{l}g(x)=m{{x}^{2}}-2mx-5=0,,,,,,,,,,,(1)\xne 2end{array} right.$

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 0\Delta '>0\m.g(2)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 0\{{m}^{2}}+5m>0\-5m<0end{array} right.Leftrightarrow m>0$

Vậy chọn B.

Ví dụ 1.8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng $d:,,y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $(C):,,,y=frac{{2x+1}}{{x-1}}$ tạo hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho ${{S}_{{Delta IMN}}}=4$ với I là tâm đối xứng của (C).

A. $m=3;m=-1$ .

B. $m=3;m=-5$ .

C. $m=pm 3$ .

D. $m=-3;m=-1$ .

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$ và có tiệm cận ngang là $y=2$ .

Do đó tâm đối xứng của đồ thị là $I(1;2)$ .

Ta có $d:,,y=x+mLeftrightarrow x-y+m=0Rightarrow ,d(I,d)=frac{{|m-1|}}{{sqrt{2}}}$

Phương trình hoành độ giao điểm $frac{{2x+1}}{{x-1}}=x+mLeftrightarrow {{x}^{2}}+(m-3)x-m-1=0,,,(xne 1),,,(1)$

Giả sử $M({{x}_{1}};{{x}_{1}}+m),,,N({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m)$ là hai giao điểm.

Theo định lí Viet có $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1end{array} right.$

Ta có $MN=sqrt{{2{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}}}=sqrt{{2{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}=sqrt{{2{{{(3-m)}}^{2}}+8m+8}}=sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}$

Diện tích tam giác IMN là:

$frac{1}{2}.frac{{|m-1|}}{{sqrt{2}}}.sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}=frac{{|m-1|sqrt{{{{m}^{2}}-2m+13}}}}{2}=4$

$Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}text{ }!![!!text{ }{{(m-1)}^{2}}+12]=64Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}=4\{{(m-1)}^{2}}=-16end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=3\m=-1end{array} right.$

Chọn A.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Top 5 ghế tập tạ nằm 2022 | Mytranshop.com

Dạng 2 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba $(C):,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và đường thẳng $d:,y=kx+m$

Ví dụ 2.1: Số giao điểm của đường cong $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1$ và đường thẳng $y=1-x$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1=1-xLeftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x=0Leftrightarrow x=0$ .

Vậy đường cong và đường đường thẳng có 1 giao điểm.

Chọn A.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 1)

Biết rằng đường thẳng $y=-2x+2$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ tại điểm duy nhất, kí hiệu $({{x}_{0}};{{y}_{0}})$ là tọa độ của điểm đó. Tìm ${{y}_{0}}$ .

A. ${{y}_{0}}=4$ .

B. ${{y}_{0}}=0$ .

C. ${{y}_{0}}=2$ .

D. ${{y}_{0}}=-1$ .

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $displaystyle {{x}^{3}}+x+2=-2x+2Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=0Leftrightarrow x({{x}^{2}}+3)=0$

$displaystyle Rightarrow (0;2)$ là giao điểm của hai đồ thị $Rightarrow {{y}_{0}}=2$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại ba điểm phân biệt.

A. $m>-3$ .

B. $m<3$ .

C. $m<-3$ .

D. $m>3$ .

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$begin{array}{l}mx+1={{x}^{3}}-3x+1Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-mx=0\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-3-m)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=3+mend{array} right.end{array}$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình ${{x}^{2}}=3+m$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $Leftrightarrow 3+m>0Leftrightarrow m>-3$ . Chọn A.

Ví dụ 2.4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1)$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm là

A. $varnothing$ .

B. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;2}$ .

C. $(-infty ;-4)$ .

D. $(-1;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }2}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$begin{array}{l}{{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1)=0Leftrightarrow (x+1)text{ }!![!!text{ }{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)text{ }!!]!!text{ }=0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)=0,,,,,,,,(1)end{array} right.end{array}$

Yêu cầu bài $Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm âm phân biệt khác $-1$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ={{(m-2)}^{2}}>0\-frac{b}{a}=m+4<0\frac{c}{a}=3(m+1)>0\{{(-1)}^{2}}-(m+4)(-1)+3(m+1)ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 2\m<-4\m>-1\mne -2end{array} right.Leftrightarrow min varnothing$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng d qua $M(1;0)$ và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5$ .

A. $m=-2$ .

B. $m=-3$ .

C. $m<-3$ .

D. $m>-2$ .

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d qua $M(1;0)$ và có hệ số góc m là $y=m(x-1)$

Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m(x-1),,,,,,,,,(1)$

$Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}-2x-2-m)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\{{x}^{2}}-2x-2-m=0,,,,,(2)end{array} right.$

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\1-2-2-mne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3+m>0\-3-mne 0end{array} right.Leftrightarrow m>-3$

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}=1$ là 3 nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet ta có $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2-mend{array} right.$

Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=5Leftrightarrow 4-2(-2-m)=4Leftrightarrow m=-2$

Vậy $m=-2$ . Chọn A.

Ví dụ 2.6 (Sở GD Bắc Giang 2017 Lần 2)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3$ và đường thẳng $d:,,y=x+1$ . Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho ${{x}_{A}}=1$ và ${{S}_{{Delta OBC}}}=sqrt{5}$ với O là gốc tọa độ.

A. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;4}$ .

B. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }2;4}$ .

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem: Phòng tập Gym ART&GYM, Cách Mạng Tháng 8, Tân Bình 2022 | Mytranshop.com

C. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;3}$ .

D. $displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;5}$ .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$begin{array}{l}{{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3=x+1Leftrightarrow {{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+6)x-4m-4=0\(x-1)text{ }!![!!text{ }{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4]=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4=0,,,,,,,,,,(1)end{array} right.end{array}$

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\1-2(m+1)+4m+4ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-2m-3>0\2m+3ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m>3\m<-1end{array} right.\mne -frac{3}{2}end{array} right.$

Ba giao điểm là $A(1;2);,B({{x}_{1}};{{x}_{1}}+1);,C({{x}_{2}};{{x}_{2}}+1)$ với ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Viet có $left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1)\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m+4end{array} right.$

Ta có ${{S}_{{Delta OBC}}}=frac{1}{2}BC.d(O,BC)$

$begin{array}{l}{{S}_{{Delta OBC}}}=sqrt{5}Leftrightarrow frac{1}{2}.sqrt{{8({{m}^{2}}-2m-3)}}.frac{1}{{sqrt{2}}}=sqrt{5}\Leftrightarrow frac{1}{4}.8({{m}^{2}}-2m-3).frac{1}{2}=5Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=-2\m=4end{array} right.end{array}$

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương $(C):,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ và đường thẳng $d:,y=m$

Ví dụ 3.1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2$ có đồ thị (C) và đồ thị $(P):,,y=1-{{x}^{2}}$ . Số giao điểm của (P) và đồ thị (C) là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

${{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2=1-{{x}^{2}}Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}=frac{{3+sqrt{{21}}}}{2}>0\{{x}^{2}}frac{{3-sqrt{{21}}}}{2}<0end{array} right.Leftrightarrow x=pm sqrt{{frac{{3+sqrt{{21}}}}{2}}}$

Vậy (P) và (C) cắt nhau tại 2 điểm.

Chọn B.

Ví dụ 3.2: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ và đường thẳng $y=2$ .

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Lời giải:

Ta có $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|,=,left{ begin{array}{l}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}},,text{khi},,,{{x}^{2}}-3ge 0\-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}},,text{khi},,{{x}^{2}}-3,<0end{array} right.$

Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ bằng cách suy ra từ đồ thị $(C):,,y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}$

Khi đó đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số

$y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|$ tại 6 điểm.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=m$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

A. $-3<m<-2$ .

B. $left[ begin{array}{l}m>-2\m<-3end{array} right.$ .

C. $-3le mle -2$ .

D. $m=3$ .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=mLeftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2-m=0,,,,,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}},,,(tge 0)$ , phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2t-2-m=0,,,,,,,,(2)$

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\-frac{b}{a}>0\frac{c}{a}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3+m>0\2>0\-2-m>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>-3\m<-2end{array} right.Leftrightarrow -3<m<-2$

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2:

Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2$ xác định trên $mathbb{R}$

$f'(x)=4{{x}^{3}}-4x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=pm 1end{array} right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

$Leftrightarrow f(x)$ cắt đường thẳng $y=m$ tại 4 điểm phân biệt $Leftrightarrow -3<m<-2$ . Chọn A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm

A. $m<1$ .

B. $m<0;m=1$ .

C. $mle 0$ .

D. $m>3$ .

Lời giải:

TXĐ: $D=mathbb{R}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=0,,,,,,(1)$

Đặt $t={{x}^{2}},,,,(tge 0)$ , phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2t+m=0,,,,,(2)$

Để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc một nghiệm kép dương.

TH1: (2) có nghiệm kép dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '=0\-frac{b}{{2a}}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1-m=0\1>0end{array} right.Leftrightarrow m=1$