Sự tương giao của đồ thị, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

A. Lí thuyết cơ bản:

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) là nghiệm của hệ phương trình left{ begin{array}{l}y=f(x)\y=g(x)end{array} right.

1. Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất (C):,,,,y=frac{{ax+b}}{{cx+d}} và đường thẳng d:,,y=kx+m

Phương trình hoành độ giao điểm:

frac{{ax+b}}{{cx+d}}=kx+mLeftrightarrow A{{x}^{2}}+Bx+c=0,,,,,,,,,,,(1)

Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Leftrightarrow (1) có hai nghiệm phân biệt khác -frac{d}{c}.

Khi đó hoành độ 2 giao điểm thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình (1).

2. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba (C):,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d và đường thẳng d:,y=kx+m

Phương trình hoành độ giao điểm: a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=kx+m    (1)

Nhẩm nghiệm x={{x}_{0}} và đưa phương trình về dạng:

(x-{{x}_{0}})(A{{x}^{2}}+Bx+C)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{x}_{0}}\A{{x}^{2}}+Bx+C=0,,,,,,,(2)end{array} right.

Đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Leftrightarrow (2) có 2 nghiệm phân biệt khác {{x}_{0}}.

Giả sử A({{x}_{0}};k{{x}_{0}}+m);,,B({{x}_{1}};k{{x}_{1}}+m);,,C({{x}_{2}};k{{x}_{2}}+m) là 3 giao điểm của d và (C).

Khi đó {{x}_{1}},{{x}_{2}} thỏa mãn định lí Viet: left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-frac{B}{A}\{{x}_{1}}{{x}_{1}}=frac{C}{A}end{array} right.

3. Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương (C):,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+cvà đường thẳng d:,y=m

Phương trình hoành độ giao điểm: a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=m,,,,,,,,,,,(1)

Đặt t={{x}^{2}},,,(tge 0), đưa phương trình (1) về dạng: a{{t}^{2}}+bt+c-m=0,,,(2)

B. Bài tập:

Dạng 1: Tương giao giữa đồ thị của hàm phân thức bậc nhất (C):,,,,y=frac{{ax+b}}{{cx+d}} và đường thẳng d:,,y=kx+m

Ví dụ 1.1 (THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh 2017)

Biết đường thẳng y=x-2 cắt đồ thị hàm số y=frac{{2x+1}}{{x-1}} tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là {{x}_{A}},{{x}_{B}}. Hãy tính tổng {{x}_{A}}+{{x}_{B}}.

     A. 2.    

     B. 1.    

     C. 5.    

     D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm frac{{2x+1}}{{x-1}}=x-2,,,,,,,,,,,,,,,(xne 1)

Leftrightarrow 2x+1=(x-2)(x-1)Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+1=0,,,,,,,(1)

Hoành độ giao điểm A, B của 2 đồ thị là nghiệm của phương trình (1) nên theo định lí Viet có {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=5.

Chọn C.

Ví dụ 1.2 (THPT Thường Tín – Hà Nội 2017)

Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y=x+1 và đường cong y=frac{{2x+4}}{{x-1}}. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

     A. -frac{5}{2}.     

     B. 1.    

     C. 2.    

     D. 3.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

frac{{2x+4}}{{x-1}}=x+1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\2x+4=(x-1)(x+1)end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\{{x}^{2}}-2x-5=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne 1\left[ begin{array}{l}x=1-sqrt{6}\x=1+sqrt{6}end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{M}}=1-sqrt{6}\{{x}_{N}}=1+sqrt{6}end{array} right.

Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN là {{x}_{I}}=frac{{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}}{2}=1.

Chọn B.

Ví dụ 1.3: Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}} và đường thẳng y=x-3 là

     A. (3;0).     

     B. (2;-3).     

     C. (-1;0).     

     D. (-3;1).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm  frac{{{{x}^{2}}-2x-3}}{{x-2}}=x-3,,,(xne 2)Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=3\y=0end{array} right.

Rightarrow (3;0)là giao điểm của hai đồ thị.

Chọn A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y=mx+1 cắt đồ thị của hàm số y=frac{{x-3}}{{x+1}} tại hai điểm phân biệt.

     A. (-infty ;0]cup text{ }!![!!text{ }16;+infty ).     

     B. (-infty ;0)cup (16;+infty ).         

     C. (16;+infty ).     

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Hai mặt phẳng vuông góc , trắc nghiệm toán học lớp 11 2022 | Mytranshop.com

     D. (-infty ;0).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm frac{{x-3}}{{x+1}}=mx+1Leftrightarrow m{{x}^{2}}+mx+4=0,,,,,,,(1),,,,(xne -1)

Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ={{m}^{2}}-16m>0\m{{(-1)}^{2}}+m(-1)+4ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}min (-infty ;0)cup (16;+infty )\4ne 0end{array} right.Leftrightarrow min (-infty ;0)cup (16;+infty )

Chọn B.

Ví dụ 1.5: Tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=x+m-1 cắt đồ thị hàm số y=frac{{2x+1}}{{x+1}} tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=2sqrt{3} là

     A. m=4pm sqrt{{10}}.     

     B. m=4pm sqrt{3}.     

     C. m=2pm sqrt{3}.     

     D. m=2pm sqrt{{10}}.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

frac{{2x+1}}{{x+1}}=x+m-1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}g(x)={{x}^{2}}+(m-2)x+m-2=0,,,,,,,,,,(1)\xne -1end{array} right.

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta >0\g(-1)ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-8m+12>0\1-m+2+m-2ne 0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m>6\m<2end{array} right. (*)

Giả sử A({{x}_{1}},{{x}_{1}}+m-1),,,B({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m-1) là 2 giao điểm, với {{x}_{1}},{{x}_{2}} là nghiệm của phương trình (1). Khi đó theo định lí Viet có left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2end{array} right.

Theo giả thiết AB=2sqrt{3}Leftrightarrow A{{B}^{2}}=12Leftrightarrow 2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=12Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=6

Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6Leftrightarrow {{(2-m)}^{2}}-4(m-2)=6

Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+6=0Leftrightarrow m=4pm sqrt{{10}}(thỏa mãn điều kiện (*)).

Chọn A.

Ví dụ 1.6 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 Lần 2)

Tìm m để đường thẳng d:,,y=-x+m cắt đồ thị hàm số (C):,,y=frac{{x-1}}{{2x}} tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB ngắn nhất.

     A. m=frac{1}{2}.     

     B. m=frac{5}{9}.     

     C. m=5.     

     D. m=-frac{1}{2}.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

frac{{x-1}}{{2x}}=-x+mLeftrightarrow 2{{x}^{2}}-(2m-1)x-1=0,,,,,,(xne 0),,,,,(1)

Ta có left{ begin{array}{l}Delta =4{{m}^{2}}-4m+9>0,,,forall min mathbb{R}\{{2.0}^{2}}-(2m-1).0-1ne 0,forall mend{array} right.

Do đó đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi hai giao điểm là A({{x}_{1}};-{{x}_{1}}+m),,B({{x}_{2}};-{{x}_{2}}+m).

Khi đó theo định lí Viet cóleft{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=frac{{2m-1}}{2}\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-frac{1}{2}end{array} right.

Ta có A{{B}^{2}}={{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=2{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}=frac{{{{{(2m-1)}}^{2}}}}{2}+4ge 4

Do đó min AB=2 khi m=frac{1}{2}.

Chọn A.

 

Ví dụ 1.7 (THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An 2017 Lần 3)

Cho hàm số y=frac{{2x+1}}{{x-2}},,,(C). Tìm tất cả các giá trị của m để d đi qua A(0;2) có hệ số góc m cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị.

     A. mge 0.     

    B. m>0.     

    C. m<-5.     

    D. left[ begin{array}{l}m>0\m<-5end{array} right..

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A(0;2) và có hệ số góc m là y=mx+2.

Phương trình hoành độ giao điểm:

frac{{2x+1}}{{x-2}}=mx+2Leftrightarrow left{ begin{array}{l}g(x)=m{{x}^{2}}-2mx-5=0,,,,,,,,,,,(1)\xne 2end{array} right.

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}},{{x}_{2}} thỏa mãn {{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 0\Delta '>0\m.g(2)<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 0\{{m}^{2}}+5m>0\-5m<0end{array} right.Leftrightarrow m>0

Vậy chọn B.

Ví dụ 1.8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d:,,y=x+m cắt đồ thị hàm số (C):,,,y=frac{{2x+1}}{{x-1}} tạo hai điểm phân biệt M,N sao cho {{S}_{{Delta IMN}}}=4 với I là tâm đối xứng của (C).

     A. m=3;m=-1.     

     B. m=3;m=-5.     

     C. m=pm 3.     

     D. m=-3;m=-1.

Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=1 và có tiệm cận ngang là y=2.

Do đó tâm đối xứng của đồ thị là I(1;2).

Ta có d:,,y=x+mLeftrightarrow x-y+m=0Rightarrow ,d(I,d)=frac{{|m-1|}}{{sqrt{2}}}

Phương trình hoành độ giao điểmfrac{{2x+1}}{{x-1}}=x+mLeftrightarrow {{x}^{2}}+(m-3)x-m-1=0,,,(xne 1),,,(1)

Giả sử M({{x}_{1}};{{x}_{1}}+m),,,N({{x}_{2}};{{x}_{2}}+m) là hai giao điểm.

Theo định lí Viet có left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m-1end{array} right.

Ta có MN=sqrt{{2{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}^{2}}}}=sqrt{{2{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}=sqrt{{2{{{(3-m)}}^{2}}+8m+8}}=sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}

Diện tích tam giác IMN là:

frac{1}{2}.frac{{|m-1|}}{{sqrt{2}}}.sqrt{{2{{m}^{2}}-4m+26}}=frac{{|m-1|sqrt{{{{m}^{2}}-2m+13}}}}{2}=4

Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}text{ }!![!!text{ }{{(m-1)}^{2}}+12]=64Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{(m-1)}^{2}}=4\{{(m-1)}^{2}}=-16end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=3\m=-1end{array} right.

Chọn A.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Ăn phô mai có béo không? Các cách ăn phô mai không béo 2022 | Mytranshop.com

Dạng 2 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc ba (C):,y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d và đường thẳng d:,y=kx+m

Ví dụ 2.1: Số giao điểm của đường cong y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1 và đường thẳng y=1-x bằng

    A. 1.    

    B. 2.    

    C. 3.    

    D. 0.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x+1=1-xLeftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x=0Leftrightarrow x=0.

Vậy đường cong và đường đường thẳng có 1 giao điểm.

Chọn A.

Ví dụ 2.2 (Đề minh họa lần 1)

Biết rằng đường thẳng y=-2x+2 cắt đồ thị hàm số y={{x}^{3}}+x+2 tại điểm duy nhất, kí hiệu ({{x}_{0}};{{y}_{0}}) là tọa độ của điểm đó. Tìm {{y}_{0}}.

    A. {{y}_{0}}=4.         

    B. {{y}_{0}}=0.         

    C. {{y}_{0}}=2.         

    D. {{y}_{0}}=-1.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:displaystyle {{x}^{3}}+x+2=-2x+2Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=0Leftrightarrow x({{x}^{2}}+3)=0

displaystyle Rightarrow (0;2) là giao điểm của hai đồ thị Rightarrow {{y}_{0}}=2.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y={{x}^{3}}-3x+1 tại ba điểm phân biệt.

     A. m>-3.     

     B. m<3.     

     C. m<-3.     

     D. m>3.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

begin{array}{l}mx+1={{x}^{3}}-3x+1Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x-mx=0\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-3-m)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\{{x}^{2}}=3+mend{array} right.end{array}

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt ⇔ Phương trình {{x}^{2}}=3+mcó 2 nghiệm phân biệt khác 0Leftrightarrow 3+m>0Leftrightarrow m>-3Chọn A.

Ví dụ 2.4: Cho hàm số y={{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1). Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm là

    A. varnothing .     

    B. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;2}.     

    C. (-infty ;-4).     

    D. (-1;+infty )backslash text{ }!!{!!text{ }2}.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

begin{array}{l}{{x}^{3}}-(m+3){{x}^{2}}+(2m-1)x+3(m+1)=0Leftrightarrow (x+1)text{ }!![!!text{ }{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)text{ }!!]!!text{ }=0\Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1\{{x}^{2}}-(m+4)x+3(m+1)=0,,,,,,,,(1)end{array} right.end{array}

Yêu cầu bài Leftrightarrow (1) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -1

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta ={{(m-2)}^{2}}>0\-frac{b}{a}=m+4<0\frac{c}{a}=3(m+1)>0\{{(-1)}^{2}}-(m+4)(-1)+3(m+1)ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}mne 2\m<-4\m>-1\mne -2end{array} right.Leftrightarrow min varnothing .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5: Cho hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 có đồ thị (C) và đường thẳng d qua M(1;0) và có hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt (C)tại 3 điểm phân biệt có hoành độ {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} thỏa mãn x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5.

     A. m=-2.     

     B. m=-3.     

     C. m<-3.     

     D. m>-2.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d qua M(1;0) và có hệ số góc m là y=m(x-1)

Phương trình hoành độ giao điểm: {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m(x-1),,,,,,,,,(1)

Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}-2x-2-m)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\{{x}^{2}}-2x-2-m=0,,,,,(2)end{array} right.

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Leftrightarrow (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\1-2-2-mne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3+m>0\-3-mne 0end{array} right.Leftrightarrow m>-3

Gọi {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}=1 là 3 nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet ta có left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2-mend{array} right.

Ta có x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1=5Leftrightarrow 4-2(-2-m)=4Leftrightarrow m=-2

Vậy m=-2Chọn A.

Ví dụ 2.6 (Sở GD Bắc Giang 2017 Lần 2)

Cho hàm số y={{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3 và đường thẳng d:,,y=x+1. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho {{x}_{A}}=1 và {{S}_{{Delta OBC}}}=sqrt{5} với O là gốc tọa độ.

     A. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;4}.     

     B. displaystyle text{ }!!{!!text{ }2;4}.     

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Các kỹ năng chơi bóng rổ hay nên tham khảo 2022 | Mytranshop.com

     C. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;3}.     

     D. displaystyle text{ }!!{!!text{ }-2;5}.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

begin{array}{l}{{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+7)x-4m-3=x+1Leftrightarrow {{x}^{3}}-(2m+3){{x}^{2}}+(6m+6)x-4m-4=0\(x-1)text{ }!![!!text{ }{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4]=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\{{x}^{2}}-2(m+1)x+4m+4=0,,,,,,,,,,(1)end{array} right.end{array}

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Leftrightarrow (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\1-2(m+1)+4m+4ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{m}^{2}}-2m-3>0\2m+3ne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}m>3\m<-1end{array} right.\mne -frac{3}{2}end{array} right.

Ba giao điểm là A(1;2);,B({{x}_{1}};{{x}_{1}}+1);,C({{x}_{2}};{{x}_{2}}+1) với {{x}_{1}};{{x}_{2}} là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Viet có left{ begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1)\{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4m+4end{array} right.

Ta có {{S}_{{Delta OBC}}}=frac{1}{2}BC.d(O,BC)

begin{array}{l}{{S}_{{Delta OBC}}}=sqrt{5}Leftrightarrow frac{1}{2}.sqrt{{8({{m}^{2}}-2m-3)}}.frac{1}{{sqrt{2}}}=sqrt{5}\Leftrightarrow frac{1}{4}.8({{m}^{2}}-2m-3).frac{1}{2}=5Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-8=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m=-2\m=4end{array} right.end{array}

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tương giao giữa đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương (C):,y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c và đường thẳng d:,y=m

Ví dụ 3.1: Cho hàm số y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2 có đồ thị (C) và đồ thị (P):,,y=1-{{x}^{2}}. Số giao điểm của (P) và đồ thị (C) là

     A. 1.    

     B. 2.    

     C. 3.    

     D. 4.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-2=1-{{x}^{2}}Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}=frac{{3+sqrt{{21}}}}{2}>0\{{x}^{2}}frac{{3-sqrt{{21}}}}{2}<0end{array} right.Leftrightarrow x=pm sqrt{{frac{{3+sqrt{{21}}}}{2}}}

Vậy (P) và (C) cắt nhau tại 2 điểm.

Chọn B.

Ví dụ 3.2: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3| và đường thẳng y=2.

      A. 2.    

      B. 4.    

      C. 6.    

      D. 8.

Lời giải:

Ta có y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3|,=,left{ begin{array}{l}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}},,text{khi},,,{{x}^{2}}-3ge 0\-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}},,text{khi},,{{x}^{2}}-3,<0end{array} right.

Vẽ đồ thị hàm số y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3| bằng cách suy ra từ đồ thị (C):,,y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Khi đó đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số

y={{x}^{2}}|{{x}^{2}}-3| tại 6 điểm.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=m có 4 nghiệm thực phân biệt.

      A. -3<m<-2.     

     B. left[ begin{array}{l}m>-2\m<-3end{array} right..     

     C. -3le mle -2.     

     D. m=3.

Lời giải:

Cách 1: 

Ta có {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2=mLeftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2-m=0,,,,,(1)

Đặt t={{x}^{2}},,,(tge 0), phương trình (1) trở thành: {{t}^{2}}-2t-2-m=0,,,,,,,,(2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '>0\-frac{b}{a}>0\frac{c}{a}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3+m>0\2>0\-2-m>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m>-3\m<-2end{array} right.Leftrightarrow -3<m<-2

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2:

Xét hàm số f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-2 xác định trên mathbb{R}

f'(x)=4{{x}^{3}}-4x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=pm 1end{array} right.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Leftrightarrow f(x) cắt đường thẳng y=m tại 4 điểm phân biệt Leftrightarrow -3<m<-2Chọn A.

Ví dụ 3.4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m cắt trục hoành tại đúng hai điểm

      A. m<1.    

      B. m<0;m=1.     

      C. mle 0.     

      D. m>3.

Lời giải:

TXĐ: D=mathbb{R}.

Phương trình hoành độ giao điểm {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m=0,,,,,,(1)

Đặt t={{x}^{2}},,,,(tge 0), phương trình (1) trở thành: {{t}^{2}}-2t+m=0,,,,,(2)

Để đồ thị hàm số y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc một nghiệm kép dương.

TH1: (2) có nghiệm kép dương Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta '=0\-frac{b}{{2a}}>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1-m=0\1>0end{array} right.Leftrightarrow m=1

TH2: (2) có hai nghiệm trái dấu Leftrightarrow ac<0Leftrightarrow m<0.

Vậy giá trị m cần tìm left[ begin{array}{l}m<0\m=1end{array} right.

Chọn B.

 

Leave a Comment