Ứng dụng của tích phân, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

by

 

A. Lý thuyết cơ bản

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

* Cho hàm số y=f(x) liên tục và không âm trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b và

* Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }. Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi: đồ thị hàm số y=f(x), trục displaystyle text{Ox},text{(y},text{= 0)}và hai đường thẳng x=a,x=b là S=int_{a}^{b}{left| f(x) right|dx}.

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x),,y=g(x) và hai đường thẳng . Được xác định bởi công thức S=int_{a}^{b}{left| f(x)-g(x) right|dx}.

Chú ý: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

– Giải phương trình f(x)=g(x) tìm nghiệm {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}in (a;b) ({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n}}).

– Tính S=int_{a}^{{{x}_{1}}}{left| f(x)-g(x) right|dx},+int_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{left| f(x)-g(x) right|dx},+...+int_{{{x}_{n}}}^{b}{left| f(x)-g(x) right|dx}.

Ngoài ra, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích

Thể tích vật thể:

Cắt một vật thể (H) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a,x=b,,(a<b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x,,(ale xle b) cắt (H) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }.

Khi đó thể tích V của (H) là V=int_{a}^{b}{S(x)dx}.

Thể tích khối tròn xoay:

– Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b,,(a<b) quay xung quanh trục Oxtạo thành một khối tròn xoay có thể tích V là V=pi int_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}.

– Khối tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng D bị giới hạn bởi các đường y=f(x),,,y=g(x), x=a,,x=b,,(a<b) quay quanh Ox có thể tích là V=int_{a}^{b}{left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) right|dx}.

– Khối tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng D bị giới hạn bởi các đường x=g(y), trụcOy và hai đường thẳng y=a,,y=b,,(a<b) quay quanh Oy có thể tích là V=int_{a}^{b}{{{g}^{2}}(y)dy}.

3. Ứng dụng cua tích phân trong chuyển động

– Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t).

  Vận tốc của chất điểm là v(t)=s'(t).

  Gia tốc của chất điểm là a(t)=v'(t)=s''(t).

– Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=b tính theo vận tốc của vật tại thời điểm t=a là

v(b)=v(b)-v(a)=int_{a}^{b}{a(t)dt}+a(t).

– Quãng đường vật đi được từ thời điểm t=a đến thời điểm t=b là

L=s(b)-s(a)=int_{a}^{b}{v(t)dt}

B. Bài tập

Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng

Bài toán 1.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường displaystyle y=f(x),,x=a,,x=b và trục hoành.

Phương pháp

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }.

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân intlimits_{a}^{b}{left| f(x) right|dx}=S int_{a}^{b}{|f(x)|dx,=S}.

Ví dụ 1.1.1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. S=intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)sx}                             B. S=left| intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)}dx right|

C. S=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)dx-intlimits_{c}^{b}{fleft( x right)dx}}        D. S=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)dx+intlimits_{c}^{b}{fleft( x right)}}dx

 

Lời giải:

Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn left[ a;b right]thành hai đoạn thành phần left[ a;c right];left[ c;b right], ta có kết quả: S=intlimits_{a}^{c}{fleft( x right)dx-intlimits_{c}^{b}{fleft( x right)dx}}

Rightarrow  chọn đáp án C.

Ví dụ 1.1.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=-{{x}^{2}}+4x-3,,,x=0,,,x=3 và Oxlà

    A. 18.                     B. frac{8}{3}.                     C. frac{26}{3}.                       D. frac{14}{3}.

Lời giải:

Bảng xét dấu:

                   S=int_{0}^{1}{|-{{x}^{2}}+4x-3|dx}=-int_{0}^{1}{(-{{x}^{2}}+4x-3)dx}+int_{1}^{3}{(-{{x}^{2}}+4x-3)dx}

                    =-left. left( -frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x right) right|_{0}^{1}+left. left( -frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x right) right|_{1}^{3}=frac{8}{3}.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.1.3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=ln x,,,x=1,,,x=e và displaystyle Ox là

    A. 1.                    B. pi .                      C. 2.                        D. e-1.

Lời giải:

Do ln xge 0,,forall xin text{ }!![!!text{ }1;e] nên S=int_{1}^{e}{|ln x|dx}=int_{1}^{e}{ln xdx}=x(ln x-1)|_{1}^{e}=1.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.1.4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=frac{{{ln }^{2}}x}{x},,,y=0,x=1,,x=e là

    A. frac{-1}{3}.                  B. frac{2}{3}.                      C. frac{1}{3}.                          D. 1.

Lời giải:

Vì frac{{{ln }^{2}}x}{x}ge 0,,forall xin text{ }!![!!text{ }1;e] nên diện tích hình phẳng cần tìm là S=int_{1}^{e}{left| frac{{{ln }^{2}}x}{x} right|dx}=int_{1}^{e}{frac{{{ln }^{2}}x}{x}dx}.

Đặt t=ln xRightarrow dt=frac{1}{x}dx.

Đổi cận: Với x=1 ta được t=0.

Với x=e ta được displaystyle t=1.

Khi đóS=int_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt}=left. frac{1}{3}{{t}^{3}} right|_{0}^{1}=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng frac{1}{3}.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.1.5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)=frac{-x-2}{x-1}, trục hoành và các đường thẳng x=-1,,x=0 là

    A. 1-2ln 3.                                  B. 1-3ln 2.    

    C. 3ln 2-1.                                  D. 2ln 3-1.

Lời giải:

frac{-x-2}{x-1}=0Leftrightarrow x=-2notin text{ }!![!!text{ }-1;0].

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có frac{-x-2}{x-1}>0,,forall xin text{ }!![!!text{ }-1;0].

Vậy diện tích cần tính là

     S=int_{-1}^{0}{left| frac{-x-2}{x-1} right|dx=}int_{-1}^{0}{frac{-x-2}{x-1}dx=int_{-1}^{0}{frac{-x-2}{x-1}dx}=-int_{-1}^{0}{dx}-3int_{-1}^{0}{frac{dx}{x-1}}}

         =left. (-x-3ln |x-1|) right|_{-1}^{0}=3ln 2-1

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.1.6: Cho hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Ăn cơm nguội giảm cân có thật không? Cách ăn cơm giảm cân 2022 | Mytranshop.com

    A. frac{2}{5}.                     B. frac{5}{2}.                     C. 0.                     D. frac{5}{4}.

Lời giải:

Trục tung có phương trình x=0.

     {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1in text{ }!![!!text{ }0;2]\x=2in text{ }!![!!text{ }0;2]end{array} right..

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2ge 0,,forall xin text{ }!![!!text{ }0;1],,{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2le 0,,forall xin text{ }!![!!text{ 1};2].

Vậy diện tích cần tính là

S=int_{0}^{2}{left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 right|dx}=int_{0}^{1}{({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2)dx}-int_{1}^{2}{({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2)dx}

=left. left( frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x right) right|_{0}^{1}-left. left( frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x right) right|_{1}^{2}=frac{5}{2}

Ví dụ 1.1.7: Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=3 đạt giá trị nhỏ nhất.

    A. m=-3.                      B. m=0.                      C. m=3.                    D. min varnothing .

Lời giải:

Diện tích hình hình phẳng đó là

S=int_{0}^{3}{(3{{x}^{2}}+4mx+{{m}^{2}}+1)dx}=left. ({{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+x) right|_{0}^{3}=3{{m}^{2}}+18m+30

begin{array}{l}=3({{m}^{2}}+6m+9)+3=3{{(m+3)}^{2}}+3ge 3\Rightarrow {{S}_{min }}=3Leftrightarrow m+3=0Leftrightarrow m=-3end{array}

Chọn đáp án A.

Bài toán 1.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x),,y=g(x),,x=a,,x=b.

Phương pháp

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)-g(x) trên đoạn displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }.

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân S=int_{a}^{b}{left| f(x)-g(x) right|dx}.

Ví dụ 1.2.1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

     A. S=intlimits_{-sqrt{2}}^{sqrt{2}}{left| fleft( x right) right|dx}     

     B. S=2intlimits_{0}^{sqrt{2}}{fleft( x right)dx}

     C. S=2intlimits_{0}^{sqrt{2}}{left[ -fleft( x right) right]dx}

     D. S=intlimits_{-sqrt{2}}^{0}{left[ -fleft( x right) right]dx+intlimits_{0}^{sqrt{2}}{left[ -fleft( x right) right]dx}}

Lời giải:

Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S=intlimits_{-sqrt{2}}^{sqrt{2}}{left| fleft( x right) right|dx=2intlimits_{-sqrt{2}}^{0}{left[ -fleft( x right) right]dx=2intlimits_{0}^{sqrt{2}}{left[ -fleft( x right) right]dx}}}

Chọn B.

Ví dụ 1.2.2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y={{x}^{2}},,y=-2x+3,,x=0, x=2 là

    A. frac{2}{3}.                        B. 4.                        C. frac{10}{3}.                        D. 3.

Lời giải:

Đặt f(x)={{x}^{2}},,g(x)=-2x+3 ta đi xét dấu f(x)-g(x).

Ta có f(x)-g(x)=0Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1in text{ }!![!!text{ }0;2]\x=-3notin text{ }!![!!text{ }0;2]end{array} right.

Bảng xét dấu:

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

S=int_{0}^{2}{left| {{x}^{2}}+2x-3 right|dx}=-int_{0}^{1}{left( {{x}^{2}}+2x-3 right)dx}+int_{1}^{2}{left( {{x}^{2}}+2x-3 right)dx}

=left. -left( frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x right) right|_{0}^{1}left. +left( frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x right) right|_{1}^{2}=frac{5}{3}+frac{7}{3}=4

Chọn đáp án B.

Chú ý: Nếu hàm số f(x) không đổi dấu trên displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ } (tức là f(x) không còn nghiệm nào trên displaystyle text{ }!![!!text{ }a;btext{ }!!]!!text{ }) thì int_{a}^{b}{left| f(x) right|dx}=left| int_{a}^{b}{f(x)dx} right|

do đó ta có thể bỏ qua bước lập bảng xét dấu, và làm trực tiếp như sau:

        S=int_{0}^{2}{left| {{x}^{2}}+2x-3 right|dx}=left| int_{0}^{1}{left( {{x}^{2}}+2x-3 right)dx} right|+left| int_{1}^{2}{left( {{x}^{2}}+2x-3 right)dx} right|

            =left| left. left( frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x right) right|_{0}^{1} right|left| left. +left( frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x right) right|_{1}^{2} right|=frac{5}{3}+frac{7}{3}=4

Ví dụ 1.2.3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3,y=-{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+4 và hai đường thẳng x=0,,x=2 là

    A. 7.                         B. frac{14}{3}.                      C. frac{7}{6}.                          D. frac{35}{6}.

Lời giải:

Đặtf(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3,,,g(x)=-{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+x+4.

      f(x)-g(x)=0Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-frac{1}{2}notin text{ }!![!!text{ }0;2]\x=1in text{ }!![!!text{ }0;2]\x=-1notin text{ }!![!!text{ }0;2]end{array} right.

Vậy diện tích cần tính là

       S=int_{0}^{2}{left| left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1 right) right|dx} 

           =left| int_{0}^{1}{left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1 right)dx} right|+left| int_{1}^{2}{left( 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1 right)dx} right|=7.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2.4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y={{x}^{2}}-2x,,y={{x}^{2}}+1,,x=-1,,x=2 là

    A. 6.                       B. frac{13}{2}.                       C. frac{1}{4}.                         D. frac{25}{4}.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm 2x+1=0Leftrightarrow x=-frac{1}{2}.

Diện tích cần tính là

       S=int_{-1}^{2}{left| 2x+1 right|dx}=left| int_{-1}^{-frac{1}{2}}{(2x+1)dx} right|+left| int_{-frac{1}{2}}^{2}{(2x+1)dx} right|

           =left| left. left( {{x}^{2}}+x right) right|_{-1}^{frac{-1}{2}} right|+left| left. left( {{x}^{2}}+x right) right|_{-frac{1}{2}}^{2} right|=frac{13}{2}

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2.5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=(x-1)ln x và đường thẳng y=x-1 là

    A. frac{{{e}^{2}}-4e+5}{4}.             B. frac{{{e}^{2}}+4e-5}{4}.              C. frac{{{e}^{2}}-4e-5}{4}.                 D. frac{-{{e}^{2}}+4e+5}{4}.

Lời giải:

+) Xét phương trình (x-1)ln x=x-1Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=1\x=eend{array} right..

+ Diện tích cần tìm là:

      displaystyle S=intlimits_{1}^{e}{left| (x-1)(ln x-1) right|}dx=left| intlimits_{1}^{e}{(x-1)(ln x-1)dx} right|displaystyle =left| intlimits_{1}^{e}{(ln x-1)d(frac{{{x}^{2}}}{2}-x)} right|

         displaystyle =left| (frac{{{x}^{2}}}{2}-x)(ln x-1)|_{1}^{e}-intlimits_{1}^{e}{(frac{x}{2}-1)dx} right|displaystyle =left| -frac{1}{2}-left( frac{1}{4}{{x}^{2}}-x right)|_{1}^{e} right|=frac{{{e}^{2}}-4e+5}{4}.

Chọn đáp án A.

Nhận xét: Nếu giả thiết cho thiếu 2 hai đường thẳng x=a,,x=b hoặc thiếu 1 trong 2 đường thẳng đó (tức là thiếu cận tích phân) thì ta phải giải phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) để tìm cận của tích phân.

Ví dụ 1.2.6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P):{{y}^{2}}=4x và (d):y=2x-4 là

    A. S=frac{80}{3}.             B. S=9.                  C. S=36.                D. S=frac{320}{3}.

Lời giải:

Ta có {{y}^{2}}=4xLeftrightarrow x=frac{{{y}^{2}}}{4}.

Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

frac{{{y}^{2}}}{4}=frac{y+4}{2}Leftrightarrow {{y}^{2}}-2y-8=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y=-2\y=4end{array} right..

Diện tích hình phẳng cần tìm là

       S=int_{-2}^{4}{left( frac{y+4}{2}-frac{{{y}^{2}}}{4} right)dy}=frac{1}{4}int_{-2}^{4}{(-{{y}^{2}}+2y+8)dy}=frac{1}{4}left. left( -frac{{{y}^{3}}}{3}+{{y}^{2}}+8y right) right|_{-2}^{4}=9

Chọn đáp án B.

Nhận xét: Nếu việc rút y theo x gặp khó khăn (hay biểu thức của hàm y=f(x) phức tạp) thì ta có thể nghĩ đến cách rút x theo y để đưa về bài toán “Tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi các đồ thị hàm số x=f(y),,x=g(y)“.

Ví dụ 1.2.7: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P):{{y}^{2}}-2y+x=0 và d:,x+y=0 là

    A. S=9.             B. S=frac{3}{2}.                   C. S=frac{9}{2}.                   D. S=3.

Lời giải:

Ta có displaystyle {{y}^{2}}-2y+x=0Leftrightarrow x=-{{y}^{2}}+2y.

x+y=0Leftrightarrow x=-y.

Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:

          -{{y}^{2}}+2y=-yLeftrightarrow {{y}^{2}}-3y=0Leftrightarrow y(y-3)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y=0\y=3end{array} right.

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

        S=int_{0}^{3}{(left| -{{y}^{2}}+2y)+y right|dy=int_{0}^{3}{left| -{{y}^{2}}+3y right|dy}}=left. left( -frac{{{y}^{3}}}{3}+frac{3{{y}^{2}}}{2} right) right|_{0}^{3}=frac{9}{2}.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.2.8: Diện tích của hình tròn (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} là

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  10 loại phụ kiện cầu lông cần thiết khi ra sân 2022 | Mytranshop.com

    A. S=pi {{R}^{2}}.          B. S=4pi {{R}^{2}}.           C. S=2pi {{R}^{2}}.             D. S=frac{pi {{R}^{2}}}{2}.

Lời giải:

Phương trình của (C) trong góc phần tư thứ (I) là y=sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.

Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có:

             S=4{{S}_{1}}=4int_{0}^{{{R}_{1}}}{sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}.            

Đặt x=Rsin t,,,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=Rcos tdt.    

Đổi cận: x=0Rightarrow t=0;,,x=RRightarrow t=frac{pi }{2}. Khi đó:

         S=4Rint_{0}^{frac{pi }{2}}{sqrt{{{R}^{2}}-{{R}^{2}}{{sin }^{2}}t}.cos tdt}=4{{R}^{2}}int_{0}^{frac{pi }{2}}{|cos t|.cos tdt}=4{{R}^{2}}int_{0}^{frac{pi }{2}}{{{cos }^{2}}tdt}

             =2{{R}^{2}}int_{0}^{frac{pi }{2}}{(1+cos 2t)dt}=2{{R}^{2}}left. left( t+frac{1}{2}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{2}}=pi {{R}^{2}}

Chọn đáp án A.

Chú ý: Dựa vào tính chất đối xứng của đường tròn tâm ORightarrow S=4{{S}_{1}} giúp ta có lời giải đơn giản hơn.

Ví dụ 1.2.9: Tính diện tích của hình (E):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.

    A. S=frac{pi ab}{2}.            B. S=frac{pi ab}{4}.                C. S=2pi ab.            D. S=pi ab.

Lời giải:


Phương trình của (E) trong góc phần tư thứ nhất là:

                             y=frac{b}{a}sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}

Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có:

                    S=4{{S}_{1}}=frac{4b}{a}int_{0}^{a}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}.

Đặt x=asin t,,tin left[ -frac{pi }{2};frac{pi }{2} right]Rightarrow dx=acos tdt.

Đổi cận: x=0Rightarrow t=0;,,x=aRightarrow t=frac{pi }{2}.

Khi đó S=4bint_{0}^{frac{pi }{2}}{sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{sin }^{2}}t}.cos tdt}=4abint_{0}^{frac{pi }{2}}{|cos t|cos tdt}=4abint_{0}^{frac{pi }{2}}{{{cos }^{2}}tdt}.

              =2abint_{0}^{frac{pi }{2}}{(1+cos 2t)dt}=2ableft. left( t+frac{1}{2}sin 2t right) right|_{0}^{frac{pi }{2}}=pi ab.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.2.10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=left| {{x}^{2}}-4x+3 right| và y=x+3 là

    A. S=frac{109}{6}.             B. S=frac{125}{6}.                C. S=frac{205}{6}.                   D. S=55.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm |{{x}^{2}}-4x+3|=x+3Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x+3ge 0\left[ begin{array}{l}{{x}^{2}}-4x+3=x+3\{{x}^{2}}-4x+3=-x-3end{array} right.end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=5end{array} right..

Diện tích hình phẳng cần tìm là S=int_{0}^{5}{left| |{{x}^{2}}-4x+3|-(x+3) right|dx}

   =int_{0}^{1}{left( x+3-{{x}^{2}}+4x-3 right)dx+int_{1}^{3}{left( x+3+{{x}^{2}}-4x+3 right)dx}}+int_{3}^{5}{left( x+3-{{x}^{2}}+4x-3 right)dx}

   =int_{0}^{1}{left( -{{x}^{2}}+5x right)dx+int_{1}^{3}{left( {{x}^{2}}-3x+6 right)dx+int_{3}^{5}{left( -{{x}^{2}}+5x right)dx}}}

   =left. left( -frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{5{{x}^{2}}}{2} right) right|_{0}^{1}+left. left( frac{{{x}^{3}}}{3}-frac{3{{x}^{2}}}{2}+6x right) right|_{1}^{3}+left. left( -frac{{{x}^{3}}}{3}+frac{5{{x}^{2}}}{2} right) right|_{3}^{5}=frac{109}{6}

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2.11: Miền diện tích được gạch chéo trong hình bên được giới hạn bởi các đường cong và có diện tích lần lượt là

    A. y={{x}^{3}}-2x,,y=2x,,S=8.          B. y={{x}^{3}}+2x,,y=2x,,S=4.

    C. y={{x}^{3}}-2x,,y=x,,S=frac{9}{4}.            D. y={{x}^{3}}-2x,,y=x,,S=frac{9}{2}.

Lời giải:

Vì đường cong giao với trục Ox tại 3 điểm nên đường cong là đồ thị của hàm số y={{x}^{3}}-2x.

Vì đường cong y={{x}^{3}}-2x giao với đường thẳng tại điểm có hoành độ x=2 nên đường thẳng là đồ thị của hàm số y=2x.

Phương trình hoành độ giao điểm là {{x}^{3}}-2x=2xLeftrightarrow {{x}^{3}}-4x=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=pm 2end{array} right..

Diện tích miền gạch chéo là

S=int_{-2}^{0}{left( {{x}^{3}}-2x-2x right)dx}+int_{0}^{2}{left( 2x-{{x}^{3}}+2x right)dx}=int_{-2}^{0}{left( {{x}^{3}}-4x right)dx}+int_{0}^{2}{left( 4x-{{x}^{3}} right)dx}

   =left. left( frac{{{x}^{4}}}{4}-2{{x}^{2}} right) right|_{-2}^{0}+left. left( 2{{x}^{2}}-frac{{{x}^{4}}}{4} right) right|_{0}^{2}=4+4=8

Chọn đáp án A.

Bài toán 1.3: Tính diện tích hình phẳng

 

S giới hạn bởi left{ begin{array}{l}({{C}_{1}}):y=f(x)\({{C}_{2}}):y=g(x)\({{C}_{3}}):y=h(x)end{array} right.                          

– Tìm hoành độ giao điểm:

    + Giải phương trình f(x)=g(x).         

    + Giải phương trình f(x)=h(x).

    + Giải phương trình h(x)=g(x).

– Tính S=int_{a}^{c}{left( f(x)-h(x) right)dx}+int_{c}^{b}{left( g(x)-h(x) right)dx}.

Ví dụ 1.3.1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):y={{x}^{2}}-4x+5 và 2 đường tiếp tuyến của (P)  tại A(1;2) và B(4;5) là

    A. S=9.                   B. S=18.                    C. S=frac{9}{2}.                    D. S=frac{9}{4}.

Lời giải:

Ta có y'=2x-4.

Phương trình tiếp tuyến tại A(1;2) là:

y=y'(1)(x-1)+2=(2-4)(x-1)+2=-2x+4,,,,,({{d}_{1}}).

Phương trình tiếp tuyến tại B(4;5) là:

y=y'(4)(x-4)+5=(8-4)(x-4)+5=4x-11,,,,({{d}_{2}}).

Hoành độ giao điểm của ({{d}_{1}}) và ({{d}_{2}}) là nghiệm của phương trình

4x-11=-2x+4Leftrightarrow x=frac{5}{2}.

Nhìn vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng cần tìm là

     int_{1}^{frac{5}{2}}{left( {{x}^{2}}-2x+1 right)dx}+int_{frac{5}{2}}^{4}{left( {{x}^{2}}-8x+16 right)dx}=int_{1}^{frac{5}{2}}{{{(x-1)}^{2}}d(x-1)}+int_{frac{5}{2}}^{4}{{{(x-4)}^{2}}d(x-4)}

       =left. frac{{{(x-1)}^{3}}}{3} right|_{1}^{frac{5}{2}}+left. frac{{{(x-4)}^{3}}}{3} right|_{frac{5}{2}}^{4}=frac{9}{4}

Chọn đáp án D.

Chú ý: Ở bài này ta cần nhớ lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M({{x}_{0}};{{y}_{0}}) là y=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}.

Ví dụ 1.3.2 (Sở GD Hải Dương 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y={{x}^{2}},y=frac{{{x}^{2}}}{27},y=frac{27}{x}.

    A. S=234.            B. S=27ln 3.              C. S=frac{26}{3}.                 D. S=27ln 3-frac{26}{3}.

Lời giải:

Tìm giao điểm giữa các đồ thị:

left{ begin{array}{l}y=f(x)={{x}^{2}}\y=g(x)=frac{{{x}^{2}}}{27}end{array} right.Rightarrow O(0;0); left{ begin{array}{l}y=g(x)=frac{{{x}^{2}}}{27}\y=h(x)=frac{27}{x}end{array} right.Rightarrow B(9;0); left{ begin{array}{l}y=h(x)=frac{27}{x}\y=f(x)={{x}^{2}}end{array} right.Rightarrow A(3;0).

Vậy diện tích S=int_{0}^{3}{left( {{x}^{2}}-frac{{{x}^{2}}}{27} right)dx}+int_{3}^{9}{left( frac{27}{x}-frac{{{x}^{2}}}{27} right)dx}=frac{26}{3}+left( 27ln 3-frac{26}{3} right)=27ln 3.

Chọn đáp án B.

 

Dạng 2. Tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 2.1: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x=-{{y}^{2}}+5 và x=3-yquay quanh Oy.

    A. V=frac{151pi }{5}.              B. V=frac{143pi }{5}.               C. V=frac{153pi }{5}.                 D. V=frac{133pi }{5}.     

Lời giải:

Xét phương trình -{{y}^{2}}+5=3-yLeftrightarrow left[ begin{array}{l}y=-1\y=2end{array} right..

        displaystyle Rightarrow V=pi int_{-1}^{2}{left| {{(-{{y}^{2}}+5)}^{2}}-{{(3-y)}^{2}} right|dy}displaystyle =pi left| int_{-1}^{2}{({{y}^{4}}-11{{y}^{2}}+6y+16)dy} right|

                 displaystyle =pi left| left. left( frac{{{y}^{5}}}{5}-frac{11{{y}^{3}}}{3}+3{{y}^{2}}+16y right) right|_{-1}^{2} right|=frac{153pi }{5}

Vậy V=frac{153pi }{5} (đvtt). Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} quay quanh Ox.

    A. V=frac{4pi {{R}^{3}}}{3}.            B. V=frac{3pi {{R}^{3}}}{4}.                 C. V=pi {{R}^{3}}.               D. V=4pi {{R}^{3}}.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là: {{x}^{2}}={{R}^{2}}Leftrightarrow x=pm R.

Phương trình (C):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}Leftrightarrow {{y}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}.

Rightarrow V=pi int_{-R}^{R}{({{R}^{2}}-{{x}^{2}})dx}=2pi int_{0}^{R}{({{R}^{2}}-{{x}^{2}})dx}=2pi left. left( {{R}^{2}}x-frac{{{x}^{3}}}{3} right) right|_{0}^{R}=frac{4pi {{R}^{3}}}{3}.

Vậy V=frac{4pi {{R}^{3}}}{3} (đvtt). Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=(x-1){{e}^{x}} và hai trục tọa độ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.

    A. frac{{{e}^{2}}-5}{4}.                    B. frac{pi ({{e}^{2}}-5)}{4}.                       C. frac{3-{{e}^{2}}}{4}.                        D. frac{pi (3-{{e}^{2}})}{4}.

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y=(x-1){{e}^{x}} và trục hoành:

(x-1){{e}^{x}}=0Leftrightarrow x-1=0Leftrightarrow x=1.

Khi đó V=pi int_{0}^{1}{{{(x-1)}^{2}}{{e}^{2x}}dx}=pi I     (*)

Tính I=int_{0}^{1}{{{(x-1)}^{2}}{{e}^{2x}}dx}. Đặt left{ begin{array}{l}u={{(x-1)}^{2}}\dv={{e}^{2x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=2(x-1)dx\v=frac{1}{2}{{e}^{2x}}end{array} right..

Suy ra I=left. frac{{{(x-1)}^{2}}{{e}^{2x}}}{2} right|_{0}^{1}-int_{0}^{1}{(x-1){{e}^{2x}}dx}=-frac{1}{2}-J     (1)

Tính J=int_{0}^{1}{(x-1){{e}^{2x}}dx}. Đặt left{ begin{array}{l}u=x-1\dv={{e}^{2x}}dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=frac{1}{2}{{e}^{2x}}end{array} right..

Suy ra J=left. frac{(x-1){{e}^{2x}}}{2} right|_{0}^{1}-frac{1}{2}int_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=frac{1}{2}-left. frac{1}{4}{{e}^{2x}} right|_{0}^{1}=frac{3-{{e}^{2}}}{4}     (2)

Thay (2) vào (1) ta được: I=-frac{1}{2}-frac{3-{{e}^{2}}}{4}=frac{{{e}^{2}}-5}{4}         (3)

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Khám phá mẫu biệt thự vườn cấp 4 5 phòng ngủ tại Hải Phòng 2022 | Mytranshop.com

Thay (3) vào (*) ta được: V=frac{pi ({{e}^{2}}-5)}{4} (đvtt). Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4:Tính thể tích khối tròn xoay do elipse (E):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 quanh quanh Oy.

    A. V=frac{4pi a{{b}^{2}}}{3}.          B. V=frac{4pi {{a}^{2}}b}{3}.              C. V=frac{3pi {{a}^{2}}b}{4}.             D. V=frac{3pi a{{b}^{2}}}{4}.

Lời giải:

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1Leftrightarrow y=pm b.

          frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}.

      Rightarrow V=pi int_{-b}^{b}{left( {{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}} right)dy}=2pi int_{0}^{b}{left( {{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}} right)dy}=2pi left. left( {{a}^{2}}y-frac{{{a}^{2}}{{y}^{3}}}{3{{b}^{2}}} right) right|_{0}^{R}=frac{4pi {{a}^{2}}b}{3}.

Vậy V=frac{4pi {{a}^{2}}b}{3} (đvtt). Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.5 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H)quanh Ox với (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=sqrt{4x-{{x}^{2}}} và trục hoành.

    A. frac{35pi }{3}.                     B. frac{31pi }{3}.                          C. frac{32pi }{3}.                          D. frac{34pi }{3}.

Lời giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

             sqrt{4x-{{x}^{2}}}=0Leftrightarrow 4x-{{x}^{2}}=0Leftrightarrow x(4-x)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0\x=4end{array} right..

Từ đó ta có thể tích hình (H) cần tìm là

          V=pi int_{0}^{4}{left( sqrt{4x-{{x}^{2}}} right)dx}=pi int_{0}^{4}{(4x-{{x}^{2}})dx}=pi left. left( 4.frac{{{x}^{2}}}{2}-frac{{{x}^{3}}}{3} right) right|_{0}^{4}=frac{32pi }{3} (đvtt). Chọn C.

Ví dụ 2.6 (THPT Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Cho phần vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0;x=2, cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0le xle 2) ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bẳng xsqrt{2-x}. Tính thể tích của phần vật thể B.

    A. V=frac{4}{3}.                 B. V=frac{1}{sqrt{3}}.                 C. V=4sqrt{3}.               D. V=sqrt{3}.

Lời giải:

V=int_{0}^{2}{frac{{{left( xsqrt{2-x} right)}^{2}}sqrt{3}}{4}dx}=frac{sqrt{3}}{4}int_{0}^{2}{{{x}^{2}}(2-x)dx}=frac{sqrt{3}}{4}.frac{4}{3}=frac{1}{sqrt{3}}. Chọn B.

Dạng 3. Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế

Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-5t+10,(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    A. 0,2,m.                  B. 2,m.                       C. 10,m.                       D. 20,m.

Lời giải:

Thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t=0.

Thời điểm ô tô dừng lại ứng với {{t}_{1}}, khi đó v({{t}_{1}})=0Leftrightarrow {{t}_{1}}=2.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là

s=int_{0}^{2}{(-5t+10)dt}=left. left( frac{-5}{2}{{t}^{2}}+10t right) right|_{0}^{2}=10,m
Chọn C.

Ví dụ 3.2: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là s(t)=frac{-{{t}^{2}}}{10}+4t với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s,(km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng sông có vận tốc dòng nước chảy là 2,km/h. Tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi đó có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.

    A. 8,km.                  B. 10,km.                    C. 20,km.                    D. 30,km.

Lời giải:

Vận tốc của con cá là v(t)=s'(t)=-frac{t}{5}+4.

Vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng là v(t)-2=left( -frac{t}{5}+4 right)-2=-frac{t}{5}+2.

Quãng đường con cá bơi được trong khoảng thời gian t kể từ lúc bắt đầu là

s(t)=int_{0}^{t}{left( -frac{t}{5}+2 right)dt}=-frac{{{t}^{2}}}{10}+2t+c

Với s(0)=0Rightarrow C=0 và s(t)=-frac{{{t}^{2}}}{10}+2t=-frac{1}{10}{{(t-10)}^{2}}+10le 10.

Chọn đáp án B.

 

Ví dụ 3.3: Gọi (H) là phần giao của hai khối frac{1}{4} hình trụ có bán kính a, hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của (H).

    A. {{V}_{(H)}}=frac{2{{a}^{3}}}{3}.                             B. {{V}_{(H)}}=frac{3{{a}^{3}}}{4}.

    C. {{V}_{(H)}}=frac{{{a}^{3}}}{2}.                              D. {{V}_{(H)}}=frac{pi {{a}^{3}}}{4}.

Lời giải:


Đặt trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó phần giao (H) là một

vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a, thiết

diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông

có diện tích S(x)={{a}^{2}}-{{x}^{2}}.

Thể tích khối (H) là int_{0}^{a}{S(x)dx}=int_{0}^{a}{({{a}^{2}}-{{x}^{2}})dx}=frac{2{{a}^{3}}}{3}.

Chọn đáp án A.

 

Ví dụ 3.4: Gọi h(t) (m) là mức nước ở bể chứa sau khi bơm nước được t phút. Biết h(t)=frac{1}{24}sqrt[3]{t+27} và lúc đầu bể không có nước. Tính mức nước ở bể khi bơm nước được 37 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    A. h = 5,47 m.           B. H = 7,29 m.          C. H = 7,30 m.              D. h = 5,46 m.

Lời giải:

h(x)=int{frac{1}{24}sqrt[3]{t+27}dt}=frac{1}{24}int{{{(t+27)}^{frac{1}{3}}}dt}=frac{1}{24}.frac{3}{4}.{{(t+27)}^{frac{4}{3}}}+C=frac{1}{32}{{(t+27)}^{frac{4}{3}}}+C.

Do ban đầu bể không chứa nước nên ta có: frac{1}{32}{{.27}^{frac{4}{3}}}+C=0Rightarrow C=frac{-81}{32}.

Mức nước sau khi bơm được 37 phút là V=frac{1}{32}{{(37+27)}^{frac{4}{3}}}-frac{81}{32}=5,47m. Chọn A.

Leave a Comment