Phương trình của mặt phẳng, trắc nghiệm toán học lớp 12 2022 | Mytranshop.com

Or you want a quick look: A. Lý thuyết cơ bản

 

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vecto pháp tuyến – Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

- Vecto overrightarrow{n}ne overrightarrow{0} là một vecto pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của overrightarrow{n} vuông góc với (P).

- Hai vecto overrightarrow{a},,overrightarrow{b} không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P).

- Nếu overrightarrow{a},,overrightarrow{b} là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right] là một VTPT của (P).

Chú ý: Nếu overrightarrow{n} là một VTPT của (P) thì koverrightarrow{n},,(kne 0) cũng là VTPT của (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) và có VTPT overrightarrow{n}(A;B;C) có phương trình tổng quát:

A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0.

Nếu mặt phẳng (P) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 thì overrightarrow{n}(A;B;C) là một VTPT của (P).

3. Một số mặt phẳng thường gặp

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm A(a;0;0),,B(0;b;0),,C(0;0;c) với a,b,cne 0 là frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Mặt phẳng (P) được xác định bởi phương trình tổng quát Ax+By+Cz+D=0. Khoảng cách từ điểm {{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) đến mặt phẳng (P) được xác định bởi công thức:        d(M,(P))=frac{|A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P):,Ax+By+Cz+D=0 và (Q):,A'x+B'y+C'z+D'=0 được xác định bởi công thức cos left( (P),(Q) right)=frac{left| overrightarrow{n},overrightarrow{n'} right|}{|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{n'}|} trong đó overrightarrow{n}(A;B;C),,overrightarrow{n'}(A';B';C').

Chú ý: {{0}^{0}}le widehat{left( (P),(Q) right)}le {{90}^{0}}.

6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng(P):,Ax+By+Cz+D=0 và (Q):,A'x+B'y+C'z+D'=0. Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P),(Q) xảy ra các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: (P)equiv (Q)Leftrightarrow frac{A'}{A}=frac{B'}{B}=frac{C'}{C}=frac{D'}{D}.

- Trường hợp 2: (P)//(Q)Leftrightarrow frac{A'}{A}=frac{B'}{B}=frac{C'}{C}=frac{D'}{D}.

- Trường hợp 3: (P)cap (Q)Leftrightarrow A:B:Cne A':B':C'.

   Đặc biệt (P)bot (Q)Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0.

B. Bài tập

Dạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm {{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) và có VTPT,,overrightarrow{n}(A;B;C)

A. Phương pháp

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) và có VTPT overrightarrow{n}(A;B;C) có phương trình tổng quát:

A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0.

Chú ý:

(P)// (Q)Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=overrightarrow{{{n}_{Q}}} ((P) và (Q) có cùng VTPT).

(P)bot dRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{{{n}_{P}}} (VTCP của d là một VTPT của (P)).

(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn ABRightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=overrightarrow{AB} và (P) đi qua trung điểm của AB.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Mặt phẳng (P)qua A(1;2;3)và song song với mặt phẳng (Q):x-4y+z+12=0 là

    A. x-4y+z+4=0.                   B. x-4y+z-4=0.                 

    C. x-4y+z-12=0.                 D.x-4y+z-1=0.

Lời giải:

Cách 1:

(P)//(Q)Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(1;-4;1).

Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;2;3)và có VTPT,,overrightarrow{n}(1;-4;1) là: 

(x-1)-4(y-2)+(z-3)=0Leftrightarrow x-4y+z+4=0.

Chọn đáp án A.

Cách 2:

(P) song song với mặt phẳng (Q):x-4y+z+12=0nên (P) có dạng:

x-4y+z+D=0,,(Dne 12)

Vì (P) qua A(1;2;3) nên 1-4.2+3+D=0Leftrightarrow D=4.

Vậy (P) có phương trình là x-4y+z+4=0.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7);,B(4;1;3) là

    A. x+y-2z+9=0.                   B. x-y-2z-9=0.

    C. x-y-2z+9=0.                   D. x-y+2z+9=0.

Lời giải:

Giả sử (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Rightarrow VTPT của (P) là overrightarrow{AB}(2;-2;4).

Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I(3;2;5) của AB và có VTPT,overrightarrow{AB}(2;-2;4) nên có phương trình là x-y-2z+9=0.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    A. x+y+2z-3=0.                        B. x+y+2z-6=0.

    C. x+3y+4z-7=0.                      D. x+3y+4z-26=0.

Lời giải:

(P)bot ABRightarrow VTPT,của (P) là overrightarrow{AB}(1;1;2).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là

1.(x-0)+1.(y-1)+2.(z-1)=0Leftrightarrow x+y+2z-3=0.

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm {{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) và có cặp displaystyle VTCP,,,overrightarrow{a},overrightarrow{b}

A. Phương pháp

Tìm 2 vecto displaystyle overrightarrow{a},overrightarrow{b} có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó VTPT của (P) là displaystyle overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{a},overrightarrow{b} right].

Chú ý:

(P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right].

(P) vuông góc hai mặt phẳng (alpha ),,(beta )Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{alpha }}},overrightarrow{{{n}_{beta }}} right].

left{ begin{array}{l}(P)//d\(P)bot (Q)end{array} right.Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{d}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right].

(P) đi qua 2 điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (Q) Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{{{n}_{Q}}},overrightarrow{AB} right].

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;-1;3);,B(4;0;1);,C(-10;5;3) là

    A. x+2y-2z+6=0.                        B. x+2y+2z-6=0.

    C. x-2y+2z-6=0.                        D. displaystyle x+2y+2z+2=0.

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Xã hội Việt Nam trong cuộc khai thác lần thứ nhất của thực dân Pháp 2022 | Mytranshop.com

Lời giải:

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right]=(1;2;2).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;3) và có VTPT,,overrightarrow{n}(1;2;2) có phương trình là

1(x-2)+2(y+1)+2(z-3)=0Leftrightarrow x+2y+2z-6=0.

Chọn đáp án B.

Cách 2:

Giả sử mặt phẳng (P) có VTPT,,overrightarrow{n}(A;B;C), khi đó (P) có dạng Ax+By+Cz+D=0.

Vì (P) đi qua 3 điểm A(2;-1;3);,B(4;0;1);,C(-10;5;3) nên ta có hệ phương trình

displaystyle left{ begin{array}{l}2A-B+3C+D=0\4A+C+D=0\-10A+5B+3C+D=0end{array} right.,Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2A-B+3C+D=0\2A+B-2C=0\-12A+6B=0end{array} right.displaystyle Rightarrow left{ begin{array}{l}2A+B-2C=0\-2A+B=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}B=2A\B=Cend{array} right..

Chọn A=1Rightarrow B=C=2 Rightarrow overrightarrow{n}(1;2;2).

Khi đó (P) có dạng x+2y+2z+D=0.

Mà B(4;0;1)in (P) nên 4+2.0+2.1+D=0Leftrightarrow D=-6.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+2y+2z-6=0.

Cách 3 (Trắc nghiệm):

Thay tọa độ A(2;-1;3);,B(4;0;1);,C(-10;5;3) vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn.

Vậy chọn B.

Ví dụ 2.2: Viết phương trình mặt phẳng (alpha ) đi qua điểm M(3;-1;-5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) có phương trình lần lượt là 3x-2y+2z+7=0;,,5x-4y+3z+1=0.

    A. 2x+y-2z-15=0.                     B. 2x+y-2z+15=0.

    C. 2x+y+2z-15=0.                     D. 2x-y-2z-15=0.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của (alpha ) là overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=(2;1;-2).

Mặt phẳng (alpha ) đi qua điểm M(3;-1;-5) và có VTPT,,overrightarrow{n}(2;1;-2) có phương trình là:

2(x-3)+1.(y+1)-2(z+5)=0Leftrightarrow 2x+y-2z-15=0.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1),,B(-1;1;3) và mặt phẳng (P):,x-3y+2z-5=0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P) là

    A. 2y-3z+11=0.                           B. 2y+3z-11=0.

    C. 2y-3z-11=0.                           D. 2y+3z+11=0.

Lời giải:

(Q) đi qua A,B và vuông góc với (P)Rightarrow (Q) có VTPT,,overrightarrow{n}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{AB} right]=(0;-8;-12).

Phương trình mặt phẳng (Q) là 2y+3z-11=0.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua hai điểm E(4;-1;1),,F(3;1;-1) và chứa trục Ox. Phương trình nào là phương trình tổng quát của (P)?

    A. x+y=0.             B. x+y+z=0.                C. y+z=0.                  D. x+z=0.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có overrightarrow{EF}(-1;2;-2).

Trục Ox có vecto chỉ phương là overrightarrow{i}(1;0;0).

     Rightarrow left[ overrightarrow{EF},overrightarrow{i} right]=(0;-2;-2).

Mặt phẳng (P) đi qua điểm E(4;-1;1) và có VTCP,,left[ overrightarrow{EF},overrightarrow{i} right]=(0;-2;-2) nên có phương trình là: 0(x-4)-2(y+1)-2(z-1)=0Leftrightarrow y+z=0.

Cách 2:

Mặt phẳng (P)supset OxRightarrow (P) đi qua điểm O nên có dạng By+Cz=0 (Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C).

Vì E(4;-1;1),,F(3;1;-1) thuộc (P) nên left{ begin{array}{l}-B+C=0\B-C=0end{array} right.Rightarrow B=C.

Chọn B=C=1Rightarrow (P):y+z=0.

Chọn đáp án C.

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

A. Phương pháp

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0),,B(0;b;0),,C(0;0;c) với a,b,cne 0 là frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1.

Để viết phương trình mặt phẳng (P) thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn a,b,c.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),,B(0;-2;0);,C(0;0;3). Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (ABC)?

    A. frac{x}{3}+frac{y}{-2}+frac{z}{1}=1.                              B. frac{x}{-2}+frac{y}{1}+frac{z}{3}=1.

    C. frac{x}{1}+frac{y}{-2}+frac{z}{3}=1.                              D. frac{x}{3}+frac{y}{1}+frac{z}{-2}=1.

Lời giải:

Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;0),,B(0;-2;0);,C(0;0;3) có phương trình đoạn chắn là

frac{x}{1}+frac{y}{-2}+frac{z}{3}=1.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Cho điểm M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết rằng (P) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.

    A. 6x-3y+2x-18=0.                B. 6x+3y-2z+18=0.

    C. 6x+3y-2z-18=0.                D. 6x+3y+2z-18=0.

Lời giải:

Do A,B,C lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz nên giả sử A({{x}_{A}};0;0),,B(0;{{y}_{B}};0),,C(0;0;{{z}_{C}}).

Vì M là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có left{ begin{array}{l}{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}=3{{x}_{M}}\{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=3{{y}_{M}}\{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}=3{{z}_{M}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{{x}_{A}}=3\{{y}_{B}}=6\{{z}_{C}}=9end{array} right..

Mặt phẳng (P) đi qua A(3;0;0),,B(0;6;0),,C(0;0;9) có phương trình là:

frac{x}{3}+frac{y}{6}+frac{z}{9}=1Leftrightarrow (P):,6x+3y+2z-18=0.

Ví dụ 3.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt phẳng (P)qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I,J,K mà A là trực tâm của Delta IJK.

    A. 4x+5y+6z-77=0.                  B. 5x+4y+6z-76=0.

    C. 4x+6y+5z-76=0.                  D. 6x+5y+4z-73=0.

Lời giải:

Cách 1:

                         

Giả sử I(a;0;0),,,J(0;b;0),,K(0;0;c)Rightarrow (P):,frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1.     

overrightarrow{IA}(4-a;5;6),,overrightarrow{JA}(4;5-b;6);,overrightarrow{JK}(0;-b;c),,overrightarrow{IK}(-a;0;c).    

Ta có left{ begin{array}{l}frac{4}{a}+frac{5}{b}+frac{6}{c}=1\-5b+6c=0\-4a+6c=0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=frac{77}{4}\b=frac{77}{5}\c=frac{77}{6}end{array} right..    

Rightarrow (P):4x+5y+6z-77=0.

Cách 2:

Ta chứng minh được OAbot (IJK), suy ra vecto pháp tuyến của (P) là overrightarrow{OA}(4;5;6).

Mặt phẳng (P) qua A(4;5;6) và có VTPT,,overrightarrow{OA}(4;5;6) có phương trình là

4(x-4)+5(y-5)+6(z-6)=0Leftrightarrow 4x+5y+6z-77=0.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;4;1). Viết phương trình mặt phẳng (P)qua M và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại A,B,C tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho 4OA=2OB=OC.

    A. x+2y+4z-14=0.                  B. 4x+2y+z-17=0.

    C. 4x+2y+z-14=0.                  D. x+2y+4z-17=0.

Lời giải:

Ba điểm A,B,C nằm trên các trục Ox,Oy,Oz tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho 4OA=2OB=OC, suy ra A(a;0;0),,B(0;2a;0),,C(0;0;4a) với a>0.

Phương trình (ABC):,,frac{x}{a}+frac{y}{2a}+frac{z}{4a}=1Leftrightarrow 4x+2y+z-4a=0.

Mặt phẳng (ABC) qua M(2;4;1) nên 4.2+2.4+1-4a=0Leftrightarrow a=frac{17}{4}.

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 4x+2y+z-17=0.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B(0;3;0),,M(4;0;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa B,M và cắt các trục Ox,Oz lần lượt tại các điểm A và C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 (O là gốc tọa độ).

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Cơm rượu bao nhiêu calo? Ăn cơm rượu có giảm cân không? 2022 | Mytranshop.com

    A. left[ begin{array}{l}frac{x}{4}+frac{y}{3}-frac{2z}{3}=1\frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{z}{3}=1end{array} right..                           B. left[ begin{array}{l}frac{x}{-4}+frac{y}{3}-frac{2z}{3}=1\frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{z}{3}=1end{array} right..

    C. left[ begin{array}{l}frac{x}{-4}+frac{y}{3}-frac{2z}{3}=1\frac{x}{2}-frac{y}{3}+frac{z}{3}end{array} right..                         D. left[ begin{array}{l}frac{x}{-4}+frac{y}{3}-frac{2z}{3}=1\frac{x}{2}-frac{y}{3}-frac{z}{3}end{array} right..

Lời giải:

Giả sử A(a;0;0),,C(0;0;c). Do OABC là hình tứ diện nên acne 0.

Vì B(0;3;0)in Oy nên (P):,frac{x}{a}+frac{y}{3}+frac{z}{c}=1.

Điểm M(4;0;-3)in (P)Rightarrow frac{4}{a}-frac{3}{c}=1Leftrightarrow 4c-3a=ac,,,(1).

Thể tích tứ diện OABC là {{V}_{OABC}}=frac{1}{3}OB.{{S}_{ABC}}=frac{1}{3}.3.frac{1}{2}|ac|,=3

                                        ⇔|ac| = 6⇔ac = 6    (2) hoặc ac = -6   (3)

Từ (1) và (2) ta có hệ left{ begin{array}{l}ac=6\4c-3a=6end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a=-4\c=-frac{3}{2}end{array} right.,,vee ,,left{ begin{array}{l}a=2\c=3end{array} right..

Từ (1) và (3) ta có hệ left{ begin{array}{l}ac=-6\4c-3a=-6end{array} right. (vô nghiệm).

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn ({{P}_{1}}):,frac{x}{-4}+frac{y}{3}-frac{2z}{3}=1;,,({{P}_{2}}):frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{z}{3}=1.

Ví dụ 3.6 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2), mặt phẳng (P) qua M cắt các hệ trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C. Gọi {{V}_{OABC}} là thể tích tứ diện OABC. Khi (P) thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của {{V}_{OABC}}.

    A. min {{V}_{OABC}}=frac{9}{2}.                             B. min {{V}_{OABC}}=18.    

    C. min {{V}_{OABC}}=9.                             D. min {{V}_{OABC}}=frac{32}{3}.

Lời giải:

Giả sử A(a;0;0),,B(0;b;0),,C(0;0;c),,(a,b,c>0).

Mặt phẳng (P):,frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1.

Do Min (P) nên frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{2}{c}=1ge 3sqrt[3]{frac{2}{abc}}Rightarrow abcge 54.

{{V}_{OABC}}=frac{1}{6}abcge 9Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.7 (THPT Lý Tự Trọng – TPHCM) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(8;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (alpha )qua E và cắt nửa trục dương Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho OG nhỏ nhất, với G là trọng tâm tam giác ABC.

    A. x+y+2z-11=0.                          B. 8x+y+z-66=0.

    C. 2x+y+z-18=0.                          D. x+2y+2z-12=0.

Lời giải:

Gọi A(a;0;0),,B(0;b;0),,C(0;0;c) với a,b,c>0. Theo đề bài ta có: frac{8}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}=1.

Cần tìm giá trị nhỏ nhất của {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.

Ta có left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)(4+1+1)ge {{(a.2+b.1+c.1)}^{2}}Rightarrow 6.({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})ge {{(2a+b+c)}^{2}}.

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

                       sqrt{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)(4+1+1)}ge (2.a+b.1+c.1)

                        =(2a+b+c)left( frac{8}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c} right)ge {{(4+1+1)}^{2}}=36.

Suy ra {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}ge {{6}^{3}}.

Đẳng thức xảy ra Leftrightarrow frac{{{a}^{2}}}{4}={{b}^{2}}={{c}^{2}}Rightarrow a=2b=2c.

Vậy {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a=12,b=c=6.

Vậy phương trình mặt phẳng là frac{x}{12}+frac{y}{6}+frac{z}{6}=1 hay x+2y+2z-12=0.

Chọn đáp án D.

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

A. Phương pháp

Giả sử overrightarrow{n}(A;B;C) là VTPT của (P), khi đó (P) có dạng Ax+By+Cz+D=0.

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):,ax+by+cz+d=0

           Rightarrow (P):,ax+by+cz+D=0,,,(Dne d).

Khoảng cách từ điểm M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) đến mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 là:

 dleft( M,(P) right)=frac{|A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{D}^{2}}}}.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):3x+4y+2z+4=0 và điểm A(1;-2;3). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

    A. d=frac{5}{9}.                      B. d=frac{5}{29}.                       C. d=frac{5}{sqrt{29}}.                      D. d=frac{sqrt{5}}{3}.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

dleft( A,(P) right)=frac{|a.{{x}_{A}}+b.{{y}_{A}}+c.{{z}_{A}}+d|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{5}{sqrt{29}}.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4.2: Trong không gian Oxyz, khoảnh cách giữa hai mặt phẳng (P):2x+4y+4z+1=0 và (Q):x+2y+2z+2=0 là

    A. frac{3}{2}.                            B. 1.                                 C. frac{1}{2}.                                  D. frac{5}{2}.

Lời giải:

Mặt phẳng (P)//(Q) nên dleft( (P),(Q) right)=dleft( M,(P) right)=frac{|0.2+0.4+4.(-1)+1|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}=frac{1}{2} với displaystyle M(0;0;-1)in (Q).

Chú ý:
Hai mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0,,(Q):A'x+B'y+C'z+D'=0 song song với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể tính là

dleft( (P),(Q) right)=frac{|D-D'|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.

Áp dụng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

dleft( (P),(Q) right)=frac{|D-D'|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=frac{left| 2-frac{1}{2} right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=frac{1}{2}.

Ví dụ 4.3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q):,x-2y+2z-3=0 và điểm A(3;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và dleft( A;(P) right)=2.

    A. ({{P}_{1}}):,x-2y+2z-9=0;,,({{P}_{2}}):,x-2y+2z+3=0.

    B. ({{P}_{1}}):,x-2y+2z+9=0;,,({{P}_{2}}):,x-2y+2z-3=0.

    C. ({{P}_{1}}):,x-2y+2z-9=0;,,({{P}_{2}}):,x-2y+2z-3=0.

    D. ({{P}_{1}}):,x-2y+2z+9=0;,,({{P}_{2}}):,x-2y+2z+3=0.

Lời giải:

Vì (P)//(Q)Rightarrow (P) có dạng x-2y+2z+D=0,,,(Dne -3).

dleft( A,(P) right)=2Leftrightarrow frac{|3+D|}{3}=2Leftrightarrow |3+D|,=6Leftrightarrow left[ begin{array}{l}D=-9\D=3end{array} right..

Vậy ({{P}_{1}}):,x-2y+2z-9=0;,,({{P}_{2}}):,x-2y+2z+3=0.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 4.4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y+z=0 và cách điểm M(1;2;-1) một khoảng bằng sqrt{2}.

    A. x-z+1=0,,,5x-8y+3x=0.             B. x-z=0,,,5x-8y+3z=0.

    C. x-z+1=0,,,5x+8y-3z=0.             D. x-z=0,,,5x+8y-3z=0.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) qua O nên có dạng Ax+By+Cz=0,,,,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0).

Vì (P)bot (Q) nên 1.A+1.B+1.C=0Leftrightarrow C=-A-B,,,,(1).

dleft( M,(P) right)=sqrt{2}Leftrightarrow {{(A+2B-C)}^{2}}=2({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}),,,,,,(2).

Từ (1) và (2) ta được: 

                            

Từ (3) có B=0Rightarrow C=-A. Chọn A=1,C=-1Rightarrow (P):x-z=0.

Từ (4) suy ra 8A+5B=0. Chọn A=5,,B=-8Rightarrow C=3Rightarrow (P):,5x-8y+3z=0.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài x-z=0,,,5x-8y+3z=0.

Ví dụ 4.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M(-1;1;0),,N(0;0;-2),,I(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B và đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng sqrt{3}.

    A. x-y+z+2=0.    

    B. 7x+5y+z+2=0.

    C. x-y+z+2=0,,,,7x+5y+z+2=0.    

    D. x-y-z+2=0.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax+by+cz+d=0,,,({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0).

Ta có left{ begin{array}{l}Min (P)\Nin (P)\dleft( I,(P) right)=sqrt{3}end{array} right.

Từ (1), ta có phương trình mặt phẳng (P):x-y+z+2=0.

Từ (2), ta có phương trình mặt phẳng (P):7x+5y+z+2=0.

Ví dụ 4.6: Tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P):x+2y+z-1=0 và (Q):x+2y+z+5=0 là

Mytranshop.com khuyên bạn nên xem:  Lịch sử ra đời và phương pháp đo đo độ cứng Rockwell 2022 | Mytranshop.com

    A. x-2y+z+2=0.                             B. x+2y+z+2=0.

    C. x+2y-z+2=0.                             D. x+2y+z-2=0.

Lời giải:

Gọi M(x;y;z) là điểm cách đều (P) và (Q). Ta có:

               dleft( M,(P) right)=dleft( M,(Q) right)Leftrightarrow frac{|x+2y+z-1|}{sqrt{1+4+1}}=frac{|x+2y+z+5|}{sqrt{1+4+1}}

             Leftrightarrow x+2y+z-1=pm (x+2y+z+5) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x+2y+z-1=x+2y+z+5\x+2y+z-1=-x-2y-z-5end{array} right.

             Leftrightarrow -1=5 (vô lí) hoặc x+2y+z+2=0.

Vậy tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng x+2y+z+2=0.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

    A. 2x-y+z+6=0.                         B. 2x+y+z-6=0.

    C. 2x-y-z-6=0.                         D. 2x-y+z-6=0.

Lời giải:

Ta có dleft( O,(P) right)le OA.

Do đó d{{left( O,(P) right)}_{max }}=OALeftrightarrow OAbot (P).

Vì vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA.

Ta có overrightarrow{OA}(2;-1;1).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 2x-y+z-6=0.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;-1;2),,N(-1;1;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M,N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

    A. x+y-z+3=0.                           B. x-y+z+3=0.

    C. x+y-z-3=0.                           D. x-y-z+3=0.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

Ax+B(y+1)+C(z-2)=0Leftrightarrow Ax+By+Cz+B-2C=0,,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}ne 0).

N(-1;1;3)in (P),Rightarrow -A+B+3C+B-2C=0Leftrightarrow A=2B+C

Rightarrow (P):,,,(2B+C)x+By+Cz+B-2C=0

dleft( K,(P) right)=frac{|B|}{sqrt{4{{B}^{2}}+2{{C}^{2}}+4BC}}.

Nếu B=0Rightarrow dleft( K,(P) right)=0 (loại)

Nếu Bne 0 thì dleft( K,(P) right)=frac{|B|}{sqrt{4{{B}^{2}}+2{{C}^{2}}+4BC}}=frac{1}{sqrt{2{{left( frac{C}{B}+1 right)}^{2}}+2}}le frac{1}{sqrt{2}}.

Đẳng thức xảy ra Leftrightarrow B=-C. Chọn C=1.

Khi dó phương trình mặt phẳng (P) là x+y-z+3=0.

Chọn đáp án A.

Dạng 5. Góc giữa hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

A. Phương pháp

Góc giữa hai mặt phẳng (P):,Ax+By+Cz+D=0 và (Q):,A'x+B'y+C'z+D'=0 được xác định bởi công thức:

cos left( (P),(Q) right)=left| cos left( overrightarrow{n},overrightarrow{n'} right) right|=frac{left| overrightarrow{n},overrightarrow{n'} right|}{|overrightarrow{n}|.|overrightarrow{n'}|}=frac{left| AA'+BB'+CC' right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}.

trong đó overrightarrow{n}(A;B;C),,overrightarrow{n'}(A';B';C').

Chú ý: {{0}^{0}}le widehat{left( (P),(Q) right)}le {{90}^{0}}.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1: Cho hai mặt phẳng (P):x-5y+2z-4=0 và (Q):2x+y-z+9=0. Gọi varphi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P),(Q),,cos varphi  là số nào ?

    A. frac{sqrt{5}}{6}.                          B. frac{sqrt{6}}{5}.                            C. frac{sqrt{2}}{3}.                           D. frac{sqrt{3}}{5}.

Lời giải:

(P) có VTPT là overrightarrow{{{n}_{1}}}(1;-5;2).

(Q) có VTPT là overrightarrow{{{n}_{2}}}(2;1;-1).

cos varphi =cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right)=frac{|1.2-5.1-1.2|}{sqrt{1+25+4}.sqrt{4+1+1}}=frac{sqrt{5}}{6}.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox,Oy các góc tương ứng là {{45}^{0}}{{,30}^{0}}.

    A. sqrt{2}x+y+z-sqrt{2}-5=0.    

    B. sqrt{2}x+y-z+1-sqrt{2}=0.

    C. -sqrt{2}x+y+x+sqrt{2}-5=0;,,-sqrt{2}x+y+x+sqrt{2}+1=0.

    D. Cả 3 đáp án trên.

Lời giải:

Gọi overrightarrow{n}(a;b;c) là VTPT của (P). Các VTPT của trục Ox,Oy là overrightarrow{i}(1;0;0),,overrightarrow{j}(0;1;0).

Ta có left{ begin{array}{l}sin (Ox,(P))=frac{sqrt{2}}{2}\sin left( Oy,(P) right)=frac{1}{2}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}|a|,=sqrt{2},|b|\|c|,=,|b|end{array} right..

Phương trình mặt phẳng (P) là sqrt{2}(x-1)+(y-2)pm (z-3)=0

hoặc -sqrt{2}(x-1)+(y-2)pm (z-3)=0.

Ví dụ 5.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

(P):5x-2y+5z-1=0 và (Q):x-4y-8z+12=0. Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc alpha ={{45}^{0}}

    A. x-z=0.                                                   B. x+20y+7z=0.

    C. x-z=0;,,x+20y+7z=0.                   D. Đáp án khác.

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (R) có dạng ax+by+cz+d=0,,({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0).

Ta có (R)bot (P)Leftrightarrow 5a-2b+5c=0,,,,,,,,(1).

cos widehat{left( (R),(Q) right)}=cos {{45}^{0}}Leftrightarrow frac{|a-4b-8c|}{9sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{2}    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

                             7{{a}^{2}}+6ac-{{c}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a=-c\c=7aend{array} right..

Với a=-c, chọn a=1,b=0,c=-1Rightarrow (R):x-z=0.

Với c=7a, chọn a=1,b=20,c=7Rightarrow (R):x+20y+7z=0.

Chọn đáp án C.

Ví dụ 5.4 (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1),,B(0;4;0), mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y-2z+2017=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.

    A. 2x-y-z-4=0.                                        B. 2x+y-3z-4=0.

    C. displaystyle x+y-z+4=0.                                          D. x+y-z-4=0.

Lời giải:

Cách 1: Đáp án A, B và C loại do mặt phẳng không đi qua điểm A.

Cách 2: Gọi M là giao điểm của AB và mặt phẳng (P),H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P). Ta có widehat{AMH}=alpha  là góc tạo bởi AB và mặt phẳng (P).

Kẻ AI vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có widehat{AIH}=beta  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q). Dễ dàng chứng minh được góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) nhỏ nhất bẳng widehat{AMH} là góc tạo bởi AB và mặt phẳng (P).

Ta có sin alpha =frac{sqrt{6}}{3}Rightarrow cos alpha =frac{sqrt{3}}{3}. Gọi overrightarrow{n}(A;B;C) là VTPT của mặt phẳng (Q), khi đó

                          left{ begin{array}{l}overrightarrow{n}.overrightarrow{AB}=0\cos alpha =frac{sqrt{3}}{3}end{array} right.,,Leftrightarrow left{ begin{array}{l}-A+2B+C=0,,,,,,,,,,,,,,,(1)\frac{|2A-B-2C|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{3}}{3},,,,(2)end{array} right.

Từ (1)Rightarrow C=A-2B. Thay vào (2) ta được {{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}=0Leftrightarrow A=BRightarrow C=-A.

Khi đó overrightarrow{n}(A;A;-A)=A(1;1;-1). Phương trình mặt phẳng cần tìm là x+y-z-4=0.

Chọn đáp án D.

See more articles in the category: BLOG ĐIỆN TỬ

Leave a Reply