Để giải các bài toán về nguyên hàm ta cần lưu ý:
1.Định nghĩa nguyên hàm
• F(x) là nguyên hàm của f(x) trên tập xác định K.
⇔ F’(x) = f(x), ∀x ∈ K.
Nếu f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm khác sai biệt nhau bởi hằng số C tạo thành
một họ nguyên hàm của f(x), kí hiệu ∫f(x)dx.
Do đó : ∫f(x)dx = F(x) + C.
• F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của cùng hàm số f(x) trên D thì
F(x) = G(x) + C, ∀x ∈ D.
Ghi chú:
Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Từ định nghĩa trên ta suy ra :
1. Để tìm một nguyên hàm của f(x) với điêu kiện cho trước, ta phải viết nguyên hàm này ở dạng F(x) + C,
từ điều kiện đã cho ta suy ra giá trị hằng số C.
2. Để tìm họ nguyên hàm ∫f(x)dx ta phân biệt:
a) Nếu nguyên hàm phải tìm có trong bảng nguyên hàm thông dụng, ta chỉ cần áp dụng kết quả trực tiếp.
Các nguyên hàm của các hàm số thông dụng:
b) Nếu nguyên hàm phải tìm không có trong bảng thông dụng, ta tìm cách phân tích để f(x) thành tổng
những số hạng đơn giản và áp dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm như sau:
(∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f’(x)dx = f(x) + C
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
∫af(x)dx = a∫f(x)dx (a ≠ 0).
c) Trường hợp không phân tích f(x) được ra tổng các số hạng đơn giản, ta dùng đến phương pháp đổi
biến số bằng cách áp dụng tính chất:
f(x) có một nguyên hàm F(x) thì:
∫f(x)dx = F(x) + C, ∫f(u)du = F(u) + C, ∫f(t)dt = F(t) + C.
* Nếu ∫f(x)dx gần giống nguyên hàm thông dụng, chỉ sai biệt hằng số cộng hoặc nhân, ta đặt ẩn phụ là
biểu thức gần giống và biến tích phân đã cho thành dạng ∫g(t)dt mà có thể tính được trực tiếp.
* Trường hợp ∫f(x)dx không có dạng gần giống dạng thông dụng, ta có thể áp dụng phương pháp đổi
biến số như sau :
Nếu biến đổi f(x) được thành dạng tích hai số hạng f(x) = g[u(x)].u’(x) thì ta đặt biến số t = u(x) ⇒ dt =
u’(x)dx, khi đó ta đã biến đổi ∫f(x)dx = ∫g[u(x)]u’(x)dx thành dạng ∫g(t)dt mà ta có thể tính được
trực tiếp.
d) Trường hợp ta không phân tích f(x) được về dạng để đổi biến số, đặc biệt khi f(x) là tích của hai loại
hàm số khác nhau (hàm lượng giác, hàm mũ, hàm lôgarit, hàm đa thức), ta có thể áp dụng phương pháp
tính nguyên hàm từng phần như sau :
u = u(x) và V = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫udv = uv – ∫vdu
Ví dụ: Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx biết nguyên hàm này triệt tiêu khi
x = 
?
(A) F(x) = sinx (B) F(x) = -sinx (C) F(x) = sinx + (D) F(x) = sinx – 1.
Giải
Nguyên hàm phải tìm có dạng F(x) = ∫cosxdx = sinx + C.
F() = sin + C = 0 ⇔ C = -1. Vậy F(x) = sinx – 1.
Chọn (D).